區(qū)域坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型對比分析

王 萌，高 遠(yuǎn)，范咪娜

(山東正元數(shù)字城市建設(shè)有限公司，山東 煙臺 264670)

北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(BDS)于2020年成功組成完整星座系統(tǒng)，標(biāo)志著BDS在全球范圍內(nèi)具有了定位能力、在中國范圍內(nèi)具有了高精度定位能力[1-3]。GPS系統(tǒng)使用的坐標(biāo)系統(tǒng)為WGS-84系統(tǒng)，而我國組建的BDS系統(tǒng)的坐標(biāo)系統(tǒng)為CGCS2000[4-6]。隨著BDS的逐步普及，全國范圍內(nèi)的CGCS2000的建立就顯得尤為關(guān)鍵[7-10]。我國使用的1980西安坐標(biāo)系統(tǒng)將逐漸被CGCS2000取代，各地區(qū)已經(jīng)開展了相關(guān)的坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換工作；由于衛(wèi)星定位系統(tǒng)的坐標(biāo)系統(tǒng)由WGS-84轉(zhuǎn)化為了CGCS2000，因此也需要在這兩種坐標(biāo)系之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，以獲得某些控制點的CGCS2000坐標(biāo)值以提供靜態(tài)定位的初始值[11-12]。

區(qū)域坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換有多種數(shù)學(xué)模型，布爾莎四參數(shù)是最為常見、計算最為簡單的模型，隨著測區(qū)增大也可以增加為七參數(shù)[13-14]。四參數(shù)轉(zhuǎn)換模型屬于相似變化模型，不同坐標(biāo)系間的差別主要取決于兩個方面：坐標(biāo)系定位、定向、橢球參數(shù)及尺度因子；局部誤差和累積誤差，其中局部誤差屬于變形誤差，累積誤差來自測量控制網(wǎng)[15-16]。仿射六參數(shù)模型在布爾莎四參數(shù)的基礎(chǔ)上增加了兩坐標(biāo)軸的尺度因子，由于存在坐標(biāo)軸尺度因子使此種模型在布爾莎四參數(shù)的基礎(chǔ)上更為靈活[17-18]。多項式逼近模型是一種數(shù)學(xué)逼近模型，與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換原理無關(guān)，根據(jù)參數(shù)數(shù)量只要提供足夠的已知點數(shù)據(jù)，即可進(jìn)行預(yù)測，此方法的優(yōu)點是可以摒棄坐標(biāo)系統(tǒng)本身的系統(tǒng)誤差對坐標(biāo)轉(zhuǎn)換原理的誤差影響，得到更優(yōu)的計算結(jié)果。但在一些高精度的已知坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中，可能無法獲得高精度的轉(zhuǎn)換結(jié)果[19-20]。

本文以四川某區(qū)域施工坐標(biāo)系與CGCS2000的轉(zhuǎn)換工作為例，通過平面四參數(shù)模型、仿射六參數(shù)模型和多項式逼近模型的計算，探討此區(qū)域坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中的最佳計算方法，為建立CGCS2000提供經(jīng)驗。

1 轉(zhuǎn)換模型

1.1 平面四參數(shù)模型

(1)

令(1+m)Δx=a，(1+m)Δy=b，(1+m)cosα=c，(1+m)sinα=d，式(1)可簡化為：

(2)

由以上原理，只需要2個已知點，即可利用最小二乘法建立超定方程組求最小二乘解。

1.2 仿射六參數(shù)模型

仿射六參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式見式(3)：

(3)

式中，mx和my分別為兩坐標(biāo)軸的尺度因子。

利用最小二乘法進(jìn)行解算，至少需要3個已知點，將其化簡為相關(guān)的6個參數(shù)，稱其為仿射六參數(shù)模型。若只需要進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，可在求出6個參數(shù)后直接進(jìn)行轉(zhuǎn)換而不需求出原始的5個因子。與平面四參數(shù)模型類似，可以通過式(2)的方法簡化計算。

令(1+mx)Δx=a1，(1+mx)cosα=a2，(1+mx)sinα=a3，(1+my)Δy=b1，-(1+my)sinα=b2，(1+my)cosα=b3，式(3)可化簡為：

(4)

1.3 多項式逼近模型

多項式逼近模型如式(5)和式(6)所示：

(5)

(6)

式中，α0，α1，…，α5、β0，β1，…，β5為多項式系數(shù)；(xk，yk)0是變換中心附近一個點的坐標(biāo)。

2 實例計算

本次實例計算選用四川某城市控制網(wǎng)坐標(biāo)，已知數(shù)據(jù)如表1所示。特別說明，由于坐標(biāo)原始數(shù)據(jù)比較重要，表中坐標(biāo)值已經(jīng)經(jīng)過一定程度的變換，非原始坐標(biāo)。評價計算結(jié)果時，以計算值和真值的差作為殘差。

表1 已知數(shù)據(jù)/m

2.1 平面四參數(shù)模型計算

將式(2)改寫誤差方程，如式(7)所示：

V=BX-L

(7)

求式(7)的最小二乘解，公式如式(8)所示：

X=(BTB)-1BTL

(8)

2.2 仿射六參數(shù)模型計算

2.3 多項式逼近模型計算

將式(5)改寫誤差方程，如式(7)。式中，V為改正數(shù)；

將式(6)改寫誤差方程，如式(7)。式中，V為改正數(shù)；

3 計算結(jié)果分析

將平面四參數(shù)模型、仿射六參數(shù)模型和多項式逼近模型計算殘差繪制折線圖，如圖1～圖2所示。

為更為詳細(xì)地評價三種模型的計算精度，引入觀測值的中誤差這一精度評價方法，其公式見式(9)：

(9)

式中，m為觀測值的中誤差；v為誤差；[]為求和符號；n為觀測次數(shù)。

計算三種模型的X坐標(biāo)與Y坐標(biāo)的中誤差，如表2所示。

表2 中誤差/m

由圖1可以看出，平面四參數(shù)轉(zhuǎn)換后X坐標(biāo)精度不高，出現(xiàn)了一些殘差達(dá)到±0.7～±0.8 m的坐標(biāo)點，X坐標(biāo)中誤差為0.468 m；仿射六參數(shù)X坐標(biāo)精度較低，出現(xiàn)了一些殘差達(dá)到-0.95～0.95 m的坐標(biāo)點，X坐標(biāo)中誤差為0.451 m；多項式逼近X坐標(biāo)精度很高，殘差集中在-0.3～0.3 m之間，X坐標(biāo)中誤差為0.138 m。

圖1 X坐標(biāo)誤差

由圖2可以看出，平面四參數(shù)轉(zhuǎn)換后Y坐標(biāo)精度不高，出現(xiàn)了一些殘差達(dá)到0.7～0.8 m的坐標(biāo)點，但負(fù)值范圍內(nèi)精度尚可，Y坐標(biāo)中誤差為0.408 m；仿射六參數(shù)Y坐標(biāo)精度不高，出現(xiàn)了一些殘差達(dá)到-0.5～0.95 m的坐標(biāo)點，Y坐標(biāo)中誤差為0.435 m；多項式逼近轉(zhuǎn)換后Y坐標(biāo)精度很高，殘差集中在-0.2～0.2 m之間，Y坐標(biāo)中誤差為0.106 m。

圖2 Y坐標(biāo)誤差

三種模型計算結(jié)果的殘差值如表3所示。

表3 三種模型計算殘差對比/mm

由表3可知，平面四參數(shù)模型計算X坐標(biāo)殘差最小值為-0.581 m，最大值為0.679 m；Y坐標(biāo)殘差最小值為0.037 m，最大值為0.557 m；仿射六參數(shù)模型計算X坐標(biāo)殘差最小值為-0.826 m，最大值為0.837 m；Y坐標(biāo)殘差最小值為-0.400 m，最大值為0.819 m；多項式逼近模型計算X坐標(biāo)殘差最小值為-0.246 m，最大值為0.126 m；Y坐標(biāo)殘差最小值為-0.112 m，最大值為0.163 m。綜合三種模型計算的殘差圖、殘差表、中誤差、最大最小值，多項式逼近模型精度較高，殘差大多維持在厘米級，轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)值可以用于實際工程測量中。

4 結(jié) 論

本文以四川某區(qū)域施工坐標(biāo)系與CGCS2000的轉(zhuǎn)換工作為例，通過平面四參數(shù)模型、仿射六參數(shù)模型和多項式逼近模型的計算，探討此區(qū)域坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中的最佳計算方法。通過實例計算發(fā)現(xiàn)，平面四參數(shù)和仿射六參數(shù)模型計算精度較低，原因是原始轉(zhuǎn)換坐標(biāo)為施工控制網(wǎng)坐標(biāo)，建立時不夠精確，會帶有一定的系統(tǒng)誤差，而平面四參數(shù)和仿射六參數(shù)均為按照坐標(biāo)轉(zhuǎn)換原理推導(dǎo)的數(shù)學(xué)模型，因此在該區(qū)域坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中效果較差；多項式逼近模型是一種純數(shù)學(xué)模型，可以更好地避免系統(tǒng)誤差，得到較好的區(qū)域坐標(biāo)轉(zhuǎn)換效果。

為進(jìn)一步提高坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度，下一步工作可嘗試對模型擬合點與檢核點的方案進(jìn)行討論，在已知點中選取若干擬合點進(jìn)行模型預(yù)測，使用檢核點評價模型精度，以確定該區(qū)域坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的最優(yōu)擬合點分布。