專家型數學教師的研究與展望——李業平教授訪談錄

沈中宇，劉思璐，鄒佳晨

專家型數學教師的研究與展望——李業平教授訪談錄

沈中宇1，劉思璐2，鄒佳晨2

（1．華東師范大學 數學科學學院，上海 200241；2．華東師范大學 教師教育學院，上海 200062）

專家型數學教師的研究是教育研究的重要課題，通過對美國德克薩斯A&M大學李業平教授的訪談，探討了專家型教師的研究歷程和專家型數學教師的當代研究，并展望了未來的專家型數學教師研究．李教授認為：心理學研究是專家型教師研究中重要的研究背景；當代專家型數學教師的研究主題包括數學教學中專家知能的測評與發展等方面；在新時代教育改革的背景下，專家型數學教師的研究要面向未來，適應時代發展的需要．李教授建議：未來可以從專家型教師的數學學科素養、STEM視角下的專家知能、專家型數學教師的分類、數學教學專家知能的發展途徑以及不同文化背景下的數學教學專家知能等角度對專家型數學教師開展研究．

專家型數學教師；專家知能；發展途徑；國際比較

1 問題提出

數學教師的專業素養直接關系到學生的數學成就，隨著教育改革的深入發展，培養和造就更多的專家型教師，是教育實踐的迫切需要，也是教育研究的重要課題．20世紀70年代，國外開始出現專家型教師的研究，其后由于引入了認知心理學中對專家知能（expertise）的研究方法，專家型教師的研究開始在教育領域興起．所謂專家知能是指專家有別于新手的知識、技能與性格等．中國專家型教師的相關研究出現較晚，起于20世紀90年代對教師成長規律的探討[1]．目前，中國正在進行新一輪教師教育綜合改革，《中共中央國務院關于全面深化新時代教師隊伍建設改革的意見》指出：“到2035年，教師綜合素質、專業化水平和創新能力大幅提升，培養造就數以百萬計的骨干教師、數以十萬計的卓越教師、數以萬計的教育家型教師．”[2]數學教師是中國教師隊伍的重要組成部分，專家型數學教師的理論是數學教師成長與實踐的指南．新時代，如何把握專家型數學教師研究的“風向標”，已成為數學教育關注的核心．

李業平教授是現任國際重要教育研究雜志《國際STEM教育雜志》（）和《STEM教育研究雜志》（）主編、國內《數學教育學報》編委會成員．李教授熟悉中美兩國國情，曾先后主編《數學教學中的專家知能：國際的視角》（）、《中國人如何獲取和提升面向教學的數學知識》（）等書，對專家型數學教師的專業發展有著深刻而獨到的見解．2019年7月，正值李業平教授（下文簡稱“李”）在上海學術訪問之際，研究者（下文簡稱“研”）就“專家型數學教師研究”這一主題，對其進行了約180分鐘的訪談．李教授圍繞專家型教師的研究歷程、專家型數學教師的當代研究內容以及研究趨勢等，詳盡而深入地發表了自己的看法，這些觀點對國內專家型數學教師的研究有著重要的參考價值．

2 訪談內容

2.1 從絕對專家到相對專家：心理學中專家知能研究方法演進

研：李老師您好，非常榮幸能夠對您作專訪．近年來，專家型數學教師研究是數學教育研究的一個熱點話題[3–10]，您認為專家型教師的研究經歷了怎么樣的歷程？

李：專家型教師的研究在教育領域的研究歷史很短，但在心理學的領域已有一百多年歷史．相關的心理學文獻里記載了一些有關專家知能的研究．

在研究歷程方面，心理學家對專家知能的研究方法經歷了從“絕對的方法”（absolute approach）到“相對的方法”（relative approach）再到“信息處理方法”（information- processing approach）的過程．

研：您能具體描述一下各階段的研究方法嗎？

李：早期心理學家只研究一般的心理過程，他們研究專家知能的方法被稱為“絕對的方法”，即找絕對的專家，尋覓奇才．當時研究方法較少，主要靠觀察如愛因斯坦這種奇才的外在表現（如身體特征，腦部結構等）與別人有哪些不同．后來出現了IQ測驗，但其本身也存在爭議．

幾十年以后，心理學家逐漸有了新的方法叫做“相對的方法”，即觀察專家和新手在相同的問題上，有什么不同的表現特征．舉個例子，某位教授在他的領域內是專家，新進的大學生在該領域相對而言就是新手．

直到20世紀60年代到80年代初，隨著計算機的引入，心理學家開始在研究專家的過程中采用“信息處理方法”．為了解人的內部心理操作機制，心理學家讓人出聲解答一個特定問題，并記錄其結果，再基于解題過程的文本分析來編程，讓計算機運行解同樣的問題，發現計算機的結果和人的結果在很多情況下一致．這樣就通過實證研究將計算機信息處理的系統與人腦處理信息的模型相聯系，由此產生了“長時記憶”和“短時記憶”的概念．人的短時記憶（對應計算機的內存）有限，實驗研究發現人的短時記憶容量為7±2個不相關字符；而人的長時記憶（對應計算機的硬盤）理論上是無限的，只不過大多數人沒有充分利用長時記憶的記憶庫．

研：您覺得以上研究方法的演進對專家研究有何重要意義？

李：對于專家本質的研究很重要．以往認為專家是天生的，只研究絕對的專家．后來承認有相對的專家，因此每個人都可能成為專家．

2.2 從解決策略到信息組織：心理學中專家知能研究內容擴展

研：在研究方法的嬗變過程中，所使用的問題具體發生了什么樣的變化？又有哪些發現？

李：心理學家在其研究中所使用的問題，經歷了從知識簡潔（knowledge-lean）型問題到知識豐富（knowledge-rich）型問題的過程．

從研究中所使用的問題角度，早期的心理學家在其實驗中所采用的問題是知識簡潔型問題，以游戲為主，如漢諾塔問題，該問題涉及的知識較少，因此心理學家早期研究的是這類問題的解決策略．

后來，實驗的問題慢慢轉為知識豐富型問題，比如數學或物理題．結果發現人腦中的知識結構對問題的解決很重要．比如國際象棋大師下棋經常贏，一般人可能認為是由于記憶能力比普通人強．而心理學家實施了一個國際象棋大師和新手在棋盤復原方面的比較實驗，結果發現：他們對于無序的棋盤，復原程度差不多；而對于實戰情況的棋盤，前者比后者復原的程度好得多．其原因為前者的大腦對實戰的棋盤有信息點[11]．

心理學家從以上實驗中發現，專家和新手之間的差異不在于一般記憶力，而是大腦中的組塊信息（chunk informa- tion）．這就說明人學習的過程不是單純吸取信息的過程，而是不斷重組和掌握這些信息的過程，當信息整合以后，人的大腦中會形成組塊信息．當新手成為專家以后，他的大腦中會具有大量結構良好的組塊信息．因此，心理學家就提出了認知結構理論．接著，心理學家通過實驗來估計作為一個專家具有的組塊信息數量，以及形成這些組塊信息所需要的時間，最終估計的時間為10年．

除了國際象棋大師之外，心理學家開始研究更具學術性的學科領域（如物理、數學）的專家，研究表明，他們解題的過程不純粹是結構化提取信息和使用信息的過程，也包括對問題表征的過程，這說明專家看問題的眼光和新手是不同的[12]．

心理學的研究表明，通過個體的刻意練習[13]、團隊協作[14]等手段可以發展專家知能．對于教師而言，不是所有的教師經過一定時間、經驗積累都能成為專家型教師．這涉及到常規專家（routine expert）和適應性專家（adaptive expert）[15]兩個概念．有些教師不會遷移，經過一定時間也只是教書匠，也就是常規專家；有些教師會反思，會貫穿不同的情境，經過一定時間就發展成教學專家，也就是適應性專家．

研：您覺得以上研究內容的擴展對專家研究有什么重要意義？

李：對于專家發展的研究比較關鍵．以往認為專家在問題解決的策略上表現出色，后來認識到專家在信息組織方面出類拔萃．在了解專家的本質以后，在心理學的基礎上，可以爭取發現一些使得新手成為專家的較快捷的途徑．

2.3 關注整體與重視劃分：數學教學專家知能測評研究的兩種取向

研：進入21世紀以來，國際上專家型數學教師的研究逐漸增多，據您了解，當代數學教育研究者對專家型數學教師開展過哪些研究？

李：教學中專家知能的研究情況和心理學中專家知能的研究是不太一樣的，早期幾乎沒有人研究過教學方面的專家知能．20世紀80年代，美國匹茲堡大學的萊因哈特（G. Leinhardt）等人用“信息處理方法”研究過課堂教學的專家知能[16]，但是未涉及學生層面．進入21世紀后，很多數學教育研究者開始關注數學教學的專家知能這一研究課題，涉及的研究主題包括數學教學中專家知能的測評與發展等方面．

在數學教學中專家知能的測評方面，數學教育研究者對數學教學的專家知能提出了不同的框架并進行測評．2011年，我和德國漢堡大學的凱瑟（G. Kaiser）合作出版了《數學教學中的專家知能》[17]，這是全世界第一本研究數學教學的專家知能的書．書中分析了東方和西方文化背景下的數學教學專家知能的內涵及其異同．書中提到在東方背景下，研究者傾向于將教師的專家知能看作一個整體，關注教師在教學實踐中的表現，其中側重分析教師的課堂教學．在西方背景下，研究者主要將教師的專家知能分成不同的部分，包括知識、信念和教學表現等，尤其是關注教師的知識．

研：在東方背景下，數學教學中專家知能的測評方面有哪些主要的研究？

李：2009年，我和日本筑波大學的清水（Y. Shimizu）合作在雜志制作了關于中國、日本和韓國等東亞國家數學優質課的專輯，這一專輯探討了東亞各國數學優質課的界定、特點及其開發方式[18]．其中清水的研究發現重視學生的思維是日本優質課堂的關鍵[19]，韓國國立教育大學的彭（J. Pang）的研究發現韓國優質課堂教學的重要特征之一為學生在教師的指導下參與數學思考[20]．

之后，在《數學教學中的專家知能》這本書中進一步呈現了中國、日本、新加坡等東亞國家的相關研究．其中我和黃榮金等人研究了中國專家型教師的數學課堂教學特征，包括具有牢固的專業知識、恰當的識別和處理學生的學習難點、強調學生數學思維與能力的發展、使用數學問題的解決和提出來發展有效的課堂教學、強調和實施以學生為中心的教學和激發學生興趣等[21]．新加坡國立教育學院的林張（S. K. Lim-Teo）等人的研究發現新加坡的課堂重視學生的概念學習和學習動機[22]．

研：在西方背景下，數學教學中專家知能的測評方面的主要研究有哪些？

李：在《數學教學中的專家知能》這本書呈現了對美國、瑞士、以色列、奧地利、加拿大等國家的相關研究．其中加拿大阿爾伯塔大學的研究者西姆（E. Simmt）將專家知能界定為指向教學的數學知識，其為多層次嵌套的結構，以學科的理解為核心，依次嵌套于由個體之間相互交流產生的集體知識；不斷演化和發展的課程結構知識；更廣闊的數學文化知識[23]．

2008年開始，凱瑟等人參與了職前數學教師教育發展的國際比較研究項目（TEDS-M）．在TEDS-M的研究中提出了一個界定職前教師掌握知識和信念的框架，其中將知識分為數學內容知識、教學內容知識和一般教學知識，而信念則包括對數學本質的信念、數學學習的信念和數學成就的信念[24]．這一框架從某種程度上和專家知能很接近，只不過之前研究專家型教師，在TEDS-M中研究的是職前教師．

其后，凱瑟從事了進一步研究，提出另外一個概念：情境（situated），即根據社會文化的不同，不只將專家知能看成一個靜態的概念（包括知識和信念兩個部分），還要對教師進行課堂觀察，觀察專家知能在實際中怎么應用[25]．凱瑟等西方研究者開始從原來側重靜態的認知到兼顧對課堂的觀察．在2017年的第41屆國際數學教育心理學大會（The International Group for the Psychology of Mathematics Education）中，凱瑟牽頭，請我一起組織了一個研究論壇，主題為（未來）教師專業能力透視[26]，其中即介紹了課堂觀察的重要性．

美國加州大學伯克利分校的熊菲爾德（A. Schoenfeld）在課堂觀察方面做了一些研究，他強調從5個不同的維度觀察和分析教師的課堂教學．具體可以參閱他的“論課堂觀察”這篇文章，文中綜述了美國的8種課堂觀察方法，他挑了其中的3種方法，通過這3種方法來觀察分析同一門課，實際提供了一個工具，如果側重觀察專家型教師的這些方面，就可以得到一些結果[27]．

研：在以上研究中，您提到了東西方文化背景下數學教學中專家知能測評研究的兩種取向，您認為其對數學教學中專家知能的測評研究有哪些意義？

李：通過兩種取向的比較可以發現，在不同社會文化背景下，對專家知能內涵的界定可能是不同的，因此就需要了解不同界定的差異．在其背后也反映了不同國家在教學的觀念上有一定的差異．反思不同價值觀之間的差異，以后在一些方面也許可以改進．

2.4 實踐驅動與研究引領：數學教學專家知能發展研究的兩類途徑

研：在數學教學中專家知能的發展方面，研究者實施過哪些相關的研究？

李：在此方面，數學教育研究者提出了多種數學教學專家知能的培養方式．2011年，我和以色列的研究者埃文（R. Even）合作在雜志中發表了一個專輯，其內容涉及韓國、中國、澳大利亞、德國等東西方不同國家培養數學教學專家知能的途徑，其中東方國家大部分以實踐驅動，西方國家以研究項目為主[28]．

在東方國家，韓國研究者彭研究了案例教學法對職前小學數學教師專家知能的影響，在案例教學中，首先基于已有的數學教學案例讓職前教師展開討論，接著讓教師將在案例討論中所學習的知識應用到教學實踐中，研究結果表明經過案例教學之后，參與的職前教師對課堂分析從關注一些課堂的表面特征轉向了注重數學課堂的實質特征[29]．我和唐彩斌等人研究了中國的名師工作室對教師專家知能的影響，研究發現名師工作室促進了參與教師對初等數學內容及其結構的理解[30]．

在西方國家，澳大利亞天主教大學的克拉克（D. Clarke）等人開展了讓職前教師參與基于任務的對學生一對一評估訪談的研究項目，從中培養教師有關學生理解、評估和發展兒童思維能力的專家知能．研究結果顯示職前教師通過訪談提升了學科內容知識和教學內容知識[31]．美國杜肯大學的波士頓（M. D. Boston）等人開展了以數學任務為中心的教師專業發展研究項目，教師在其中學習挑選和實施具有認知挑戰性的數學任務，研究結果表明，教師經過學習提高并保持了挑選高水平數學教學任務的能力[32]．

2012年，在新加坡舉辦的PME-36中，由我牽頭，凱瑟和我一起組織了一個專家知能的研究論壇，主題為數學教學中專家知能的概念化與發展[33]，其中來自葡萄牙、以色列、中國臺灣、韓國和新加坡的研究者也進一步介紹了其在專家知能的培養與發展方面的研究．

研：在以上研究中，您強調了東西方不同國家在數學教學中專家知能發展研究方面的兩類途徑，您認為其對數學教學中專家知能的發展研究有何意義？

李：通過比較不同的途徑，可以明晰各種途徑之間的優缺點，從而借鑒其他國家在數學教師培養方面好的舉措．在職前教師培養方面，韓國做得很不錯．中國為在職教師的專業發展提供了很多支持．澳大利亞和美國等國家則較為重視教師的研究性學習．

2.5 數學的“高觀點”和跨學科的知識：數學教學專家知能的研究方向

研：在專家型數學教師的研究中，有關專家知能的研究始終是教育界探討的重要話題．斯滕伯格（R. J. Sternberg）提出過專家型教師的原型觀（prototype view）[34]，在新時代教育改革的背景下，您認為專家型數學教師研究有哪些研究趨勢？

李：在新時代教育改革的背景下，對教師的數學教學專家知能也提出了新的要求．首先，教師不僅需要掌握數學的知識，還需要有數學的“高觀點”．其次，教師不只需要具備學科知識，還需要有跨學科的知識．這些新的要求也為研究者提供了新的研究方向．

研：您能否結合具體的例子給我們解釋一下什么是數學的“高觀點”？

李：教師需要有數學的“高觀點”，即對于知識的本質具有統領性的認識．數學的內容雖然是相同的，但是看數學的角度不同、意義不同．掌握數學的“高觀點”可以幫助教師理解數學的主要內容并且將數學中不同的內容聯系起來．

比如數的概念，按照課程安排就是數數、一一對應、概念表征和表征之間聯系，再從整數過渡到分數．但是如果掌握了單位的觀點，從單位的角度去看數的概念，就會理解不管是整數或者分數，它們的大小都是以單位作為基礎的，當說它的大小是1的時候，是將其作為1個單位，若說它的大小是10，是因為把它平均分成10份，每份是1個單位．

很多教師能夠從單位的角度向學生講授整數概念，但講到整數的運算時，教師一般會著重講解一些規則．比如，在教學中一般認為3加4等于2是錯的．但是如果從單位的角度看整數的運算，就會理解任何兩個整數加起來等于另一個整數都可以是對的，3加4其實可以等于2，比如3個一角，4個五分，就等于2個兩角五分．

因此，強調單位的觀點可以加深對數的概念、整數運算以及分數運算的理解，同時，也為學生從整數運算過渡到分數運算打下了基礎．教師一旦對單位理解得比較好，他在處理整數教學和分數教學的時候，就可以幫學生很好地將兩者聯系起來．如果教師沒有這種觀念和理解，只是就事論事，教整數就是教整數，教分數就是教分數，學生就很難將兩者聯系起來．

研：針對跨學科的知識，您能否也給我們作進一步講解？

李：如今，在STEM的背景下，對教師提出了新的要求．實際上，現在培養的是全科型的小學教師，而不是小學數學教師，小學職前教師除了公共課、實踐課，還有語文、英語、數學、科學等課程．學科教學中講究學科內部的完整性，而非學科之間的融合性．過去的幾十年都是這么實施的，但現在情況不同了，雖然知識的獲取還是需要的，但很多知識可以通過網絡檢索獲得，不需要將大腦變成儲存器來記住大量信息．同時，跨學科是現在社會發展和工作上的需要，在實際工作中很難找到一個問題是純數學或純化學問題，很多問題需要綜合利用不同知識．因此，STEM很可能是未來教育的趨勢[36]．在STEM中包含了數學、科學、工程、技術，它是基于學科的，又是跨學科的，這就對教師提出新的要求，不是走進不同教室教不同的課，而是走進一個教室教STEM．因此在教師培養的時候，如果沒有教跨學科的知識，還是和之前一樣只是教學科知識，培養就會與社會需求脫節．我們需要培養一個不僅可以教分科教學還可以教STEM的教師．STEM教師很重要，現在很多教育學院面臨著為學校輸送STEM教學人才的挑戰[37]．

研：您在以上內容中提到數學的“高觀點”和跨學科的知識，是否有相應的研究背景？對于今后此方面的研究，存在哪些困境或挑戰？

李：數學的“高觀點”有很多研究背景．在美國《州共同核心數學標準》中提到精確性，其含義包括概念理解的清晰性和流利性[38]，指的就是從數學的“高觀點”理解概念．2010年美國數學教師教育工作者協會曾發布《小學數學專家標準——教師資格認證和學位課程的參考》[39]，其中數學教學內容知識的部分只是羅列了一些知識點，我覺得是不夠的，在教師培養中，不僅僅需要傳授知識，更需要培養觀點[40]．但是很多時候，教師掌握的只是知識，很難具有數學的“高觀點”，課程準備與教學現實之間存在脫節現象[41]．有關教師對數學的“高觀點”的研究任重而道遠．

跨學科知識則與目前的STEM研究結合緊密，但是，同樣存在著很多挑戰．首先，從專家知能的角度看，以前心理學研究中一直是先找到專家型的人才（開始是特異奇才，然后是相對的專家），數學教學專家知能的研究也是如此．但現在都找不到STEM的專家型教師，所以，研究STEM的專家知能，一個很重要的問題是找不到STEM的專家型教師．其次，以前研究專家型數學教師，數學是一個完整的知識體系，但是因為STEM不是一個學科，所以另一個問題是不知道什么是STEM知識．傳統心理學研究中基于學科的專家知能，對于STEM而言都不適用，所以在研究中需要新的理論框架和導向[42]．國內在STEM方面的研究起步稍晚，有很多項目可以開發．STEM為專家型數學教師的研究提供了無限的研究空間．

2.6 適應時代發展和比較文化差異：數學教學專家知能的研究建議

研：最后，您對未來專家型數學教師的研究有哪些建議？

李：首先，剛剛也講到專家型教師需要掌握良好的數學學科知識，但還需要進一步研究專家型教師對其掌握的程度．

其次，專家知能的概念本身是發展的，需要適應時代發展的需要．以前的研究可以參照，但不能作為教條，現在培養的專家型教師和30年前培養的專家型教師是不同的，作為一個研究者要有開放的眼界．未來，肯定還會有一些從STEM角度論專家知能的研究．

再次，剛剛提到適應性專家這一概念，但還不清楚在數學教學中的適應性專家具有什么樣的特質，這方面的研究有助于探索如何成為一名真正的專家型教師而不是普通的經驗型教師．

同時，教學專家知能的發展也是一個值得研究的領域，研究者還需要對目前已經開發出來并行之有效的發展途徑和實踐有更多的認識和了解．

最后，專家知能的內涵在不同的國家和文化背景下有很大差異，因為教學本身是文化活動，所以數學教學專家知能在不同文化下應該是有差異的．因此這樣的課題是很有意義的，可以進行長期研究．可能再過兩三年可以出另外一本有關中國數學教學專家知能的書，甚至視角拓展一點，比較東亞國家數學教學專家知能之間的差異．《數學教學中的專家知能》研究了東西方數學教學專家知能，所以閱讀的人相對而言比較多，但是每個人讀了以后有什么收獲就是讀者的事情了．在此之后，還有很多工作，需要數學教育工作者繼續努力．

3 結語

從以上訪談中可以了解到，在專家型教師的研究歷程中，心理學是不容忽視的研究背景．同時，心理學中專家知能的研究方法和研究內容經歷了演進和擴展的過程．當代專家型數學教師的研究主題包括數學教學中專家知能的測評與發展等方面，同時，研究者需要在不同文化背景下進行比較研究．在專家型數學教師的研究趨勢中，李業平教授提到要將專家型數學教師的內涵看成一個動態發展的概念，要面向未來，適應時代發展的需要．在未來，專家型數學教師的研究是一個廣闊的研究領域，專家型教師所具有的數學素養、STEM方面的專家知能、專家型數學教師的分類、數學教學專家知能的發展途徑以及不同國家和文化背景下數學教師所具有專家知能的共性與差異都是未來值得研究的課題．

以上內容為中國專家型數學教師的研究提供了啟示．一方面，專家型數學教師的內涵是一個不斷更新發展的概念，在中國新一輪教師教育綜合改革的背景下，需要結合目前對教師專業發展的需要，既要總結專家型數學教師已有的先進教學經驗，也要吸收專家型數學教師對教育教學改革的真知灼見，從而為未來專家型數學教師的發展提供方向．另一方面，專家型數學教師的概念受到東西方不同社會文化的影響，中國學生在PISA等國際測試中表現良好，高質量的中國課堂教學在其中起到了關鍵的作用，因此，需要進一步研究中國數學教學專家知能的內涵，揭示中國數學教學專家知能發展的有效途徑．從而展示專家型數學教師課堂教學的中國智慧，提供數學教師專業發展途徑的中國方案．

致謝：李業平教授對此次訪談給予了大力支持并親自審核確認了訪談錄的內容．在此，對李業平教授的關心和指導表示由衷感謝．

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Research on Expert Mathematics Teachers: Trends and Prospects——An Interview with Professor LI Ye-ping

SHEN Zhong-yu1, LIU Si-lu2, ZOU Jia-chen2

(1. School of Mathematical Science, East China Normal University, Shanghai 200241, China;2. College of Teacher Education, East China Normal University, Shanghai 200062, China)

Research on expert mathematics teachers is an important topic in educational research. Through interviewing Professor LI Ye-ping at Texas A&M University, this paper probes deeply into the research process and contemporary research of expert mathematics teachers and looks forward to future research on expert mathematics teachers. In the view of Professor Li, psychological research provides an important research background for research of expert teachers; the research topics of expert mathematics teachers include conceptualizing and developing expertise in mathematics instruction; and, under the context of education reform in the new era, research of expert mathematics teachers should face the future and meet the needs of present developments. Professor Li also provides suggestions for the future research about expert mathematics teachers.

expert mathematics teachers; expertise; development approach; international comparison

G451

A

1004–9894（2021）02–0061–06

沈中宇，劉思璐，鄒佳晨．專家型數學教師的研究與展望——李業平教授訪談錄[J]．數學教育學報，2021，30（2）：61-66．

2020–10–20

上海市第四期雙名工程高峰計劃項目——上海市中小學數學專家型教師課堂教學表征研究；上海高?！傲⒌聵淙恕比宋纳鐣茖W重點研究基地之數學教育教學研究基地研究項目——數學課程與教學中落實立德樹人根本任務的研究（A8）；云南省哲學社會科學教育科學規劃項目（青年項目）——基于實踐共同體的職前職后教師專業發展一體化研究（AD19002）

沈中宇（1991—），男，江蘇蘇州人，博士生，主要從事數學教師教育、數學史與數學教育研究．

[責任編校：周學智、陳雋]