實變函數課題式教學研究

曹廣福

實變函數課題式教學研究

曹廣福

（華南農業大學 數學與信息學院，廣東 廣州 510642）

課題式教學可以有效地解決課程的完整性與課時數不足之間的矛盾，實變函數課題式教學首先需要引導學生了解實變函數的產生與發展以及面臨的重要問題．理清實變函數的主要脈絡、把握實變函數的主要思想方法．通過測度論課題式教學案例說明如何實施課題式教學．強調不僅要學會發現問題，同時還能對問題的重要性與科學價值進行甄別，在分析問題的過程中學會思辨，掌握科學的思維方法．

勒貝格測度；可測函數；勒貝格積分；課題式教學

1 問題提出

隨著大學課程改革，很多課程的課時數大大壓縮，對學生自主學習的要求大大提高．實變函數作為大學數學專業學生普遍感覺難學的專業基礎課，其課時不僅大大壓縮，而且各學校的課時設置有著很大差別．如何在不同的課時內不降低課程要求的前提下完成該課程的完整教學內容是個有難度的問題，課題式教學是解決這一難題的合適方法，通過實變函數課程的教學說明如何開展課題式教學．所謂課題式的本質是課堂教學從宏觀上把握學科產生與發展的來龍去脈，圍繞著促使理論產生的一系列問題展開，通過問題的發現、分析與解決從而完成數學的再創造．課題式教學不僅回歸了教育的本質，而且極大增強了課堂的彈性，既適用于多課時也適用于少課時．

如文[1]所述，在課程內容開始之前，學生對課程應該有一個宏觀的了解，這就是文[1]的架構圖中所說的總覽．具體地說，學生應該清楚為什么要學這門課程？它為什么產生？為了解決什么問題？解決問題的關鍵是什么？問題的難點在哪里？無論教學課時多或少，這個過程是必不可少的，因為它涉及到對課程整體結構的了解．如果教學時數寬裕則需要精雕細琢，通過對問題的深入剖析詳細演繹出重要的思想方法，并得出相關的概念與定理．

2 實變函數教學的整體設計

從教法層面看，教師需要處理好幾個重要問題．

（1）理清實變函數的主要脈絡．思想是通過知識呈現的，要完整地展現某種思想，知識的主線少不了．例如，判斷集合可測的分割性條件；可測集與波雷爾集之間的關系；處理一般函數的最基本定理：葉果洛夫定理；架設連續函數與可測函數之間橋梁的魯津定理；勒貝格積分的精髓：控制收斂定理．這些知識內容構成了實變函數的主線，也是實變函數的精髓．

（2）把握實變函數的主要思想方法．如何通過知識的脈絡在有限的課時內盡展實變函數的思想方法？這是有難度的事情．首先需要把它的思想方法梳理清楚！那么，實變函數的基本思想方法是什么？從處理問題的角度看，它有3個核心思想：①以特征函數作為構成可測函數的基本單元，通過它可以構造所有的可測函數；②通過“微創”手術，將較弱的收斂性轉換成一致收斂性，這個“微創”手術刀就是葉果洛夫定理，它最成功的手術案例就是魯津定理與控制收斂定理；③將微積分中對函數定義域的分割轉為對函數值域的分割，不僅大大拓展了可積函數的范圍，也使諸如積分與極限交換順序等問題變得更簡單．

（3）篩選可講可不講的內容．一些比較淺顯，稍加點撥學生便能明白的知識點不必細究，指導學生看書便可．例如，集合的基本運算可以不作詳細介紹，僅介紹集合序列的極限概念．集合序列的極限可以從幾個維度來介紹：① 為什么會出現集合序列的極限概念？②如何合理地建立這個概念？③這個概念的內涵是什么？它的意義何在？對于諸如此類的重要概念、定理需要濃墨重彩地加以剖析，因為這才是精髓．

學習能力、數學素養的培養非常重要，教學不能囿于傳統的知識體系，要打破常規，圍繞著知識體系背后的東西展開教學，這就是思想．因此課堂教學過程中，呈現思想的載體就要有所取舍，選擇最能體現思想與最核心的部分．

實變函數課程通常有“集合論”“測度論”“可測函數”“勒貝格積分”等基本章節，有些教材也會介紹“抽象測度”．教師需要根據每一章的內容設計合適的問題，把每一章當成整個課程的子課題．

集合論中關于集合的運算并非難事，難在集合序列的極限以及集合的勢（基數）．集合因什么而產生？其間發生了什么事件？為什么會出現集合序列？如何合理地建立集合序列的極限概念？集合序列極限的內涵是什么？把這些問題解決了，實變函數中集合論的主要理論也就建立起來了．

勒貝格測度是建立勒貝格積分的關鍵，從理論體系看，它與抽象測度大同小異，所不同者，抽象測度會涉及到測度的分解理論，無論是多學時還是少學時的實變函數，在這一章都應該圍繞著幾個關鍵問題展開．

●如何度量歐氏空間中的一般集合？

●給出的這種度量合理嗎？回到熟悉的區間或矩形，這個度量與傳統的度量是否一致？

●這個度量是否繼承了傳統度量（長度、面積）的所有特征？

●是不是所有集合都可以度量？都具有這樣特征？

●可以度量的集合具有什么結構？

由于在開篇科普了勒貝格積分的思想，這一章首先要解決的一個問題便是如何度量一個集合？問題是自然出現的，但尋找合適的度量方法卻很不平凡，需要有對黎曼積分的透徹理解和一定的洞察力．對于尚不習慣主動思維的學生來說，靠他們自己來發現無疑是天方夜譚，他們即使課前預習過，也未必能搞明白為什么那樣度量集合．這就需要教師深入分析黎曼積分的定義，由于一般的集合無法像曲邊梯形那樣將函數的定義域分解成一些小區間從而得到一些小矩形條，它可能不含任何矩形（例如有理數集），合適的改進方法是什么？如果學生預習過，自此就明白教材為什么那樣定義外測度了．如果沒有預習，就要進一步提示，如何改進黎曼的方法，將定義域的分割改成用矩形外包替代，這就是外測度的來歷．

有了度量方法，接下來需要研究的問題自然是：它是不是研究者所要的度量？換言之，它是否滿足“長度”“面積”以及“體積”的固有特征？分析后發現遠沒有想象的那么簡單，出現了不滿足“長度”特征的集合——不可測集．不可測集的構造是天才的杰作，試圖獨立自主尋找構造的靈感恐怕不現實．有些東西（尤其是反例）是智慧的結晶，有時沒有道理可講．出現了不可測集使得問題變得復雜化了，正如微積分只能處理黎曼可積函數一樣，測度論只能處理可測集，導致不可測的原因是什么？是外測度的具體構造方法帶來的還是外測度本身固有的？從反例可以看出，不可測集的出現與測度的具體構造無關，換言之，無論你如何定義集合的度量，只要它滿足度量的幾個基本特征（非負性、單調性、次可加性），總會有一些集合是不可測的，所以只能將這些集合排除出去．

課題進行到這里才真正進入高潮：如何給出一種標準來判斷一個集合可測或不可測？黎曼積分能帶來什么啟發？顯然，黎曼的大和與小和可以借鑒過來作為一種判斷方法．這種判斷方法的優劣之處是什么？如何尋找更合適的判斷標準？

課堂正是在這樣一個又一個環環相扣的問題中展開的，所有的結果都是在分析問題的過程中得出的，所以無論是結果的先后還是證明的邏輯順序都有別于教材．課堂可以根據課時決定精雕細琢還是粗線條．

從黎曼大和與小和出發的確可以啟發學生通過引入內測度作為判斷集合可測的標準，但這個標準有兩個缺陷： ①推廣到高維時有點麻煩，因為一維時開集有結構性定理，由此結構性定理很容易定義內測度，而到了高維時就要再次討論開集的結構；②內外測度的可操作性不強，換言之，用它來判斷集合的可測性尤其是可測集性質的證明有點繁瑣．如何尋找更合適的判定方法？

有了分割性條件之后該做什么？建立一個概念后首先要做的事自然是辨析：它與研究者熟悉的對象之間是什么關系？或者說，研究者熟悉的那些集合是否可測？可測集是否的確具有與“長度”“面積”“體積”類似的特征？在這個分析過程中，所有結論的發現與教材并不完全一致，甚至有時候要采用“插敘”或“倒敘”的方式．例如在討論可測集對可數次并運算封閉的性質時并不似教材那樣按部就班地先討論互不相交的集合再討論一般集合，而是通過對一般性問題的分析，發現解決問題的關鍵．在集合不相交時可加性是否成立，轉而討論不相交集的測度可加性，順序正好是反過來的．

對于可測集的極限運算也是如此，課堂上不是從特殊集合序列（單調集列）出發，而是直接面對最一般的情形，通過上下極限的討論，發現問題歸結到對單調集列的討論，從而回到對特殊集列的討論上來．搞清楚特殊集列后，一般的集列自然就清楚了．

縱觀勒貝格測度，其邏輯線條非常清晰，勒貝格積分的定義帶出了歐氏空間中一般集合的度量問題，改進黎曼積分的分割求和方法得到了外測度，通過外測度與“長度”的類比發現了不可測集，從不可測集的構造發現不可測集與測度的具體構造無關，僅與外測度固有的特征（非負性、單調性、次可加性）有關，可見這是不可逾越的障礙！只能將不可測集剔除．進而帶出了如何判斷可測性的問題，于是出現了內測度與卡氏分割性條件．這個條件是不是判斷可測性的合適條件？換言之，滿足這個條件的集合是不是就是研究者要的可測集？可測集對于集合的運算（包括極限運算）是不是封閉的？測度與極限可否交換順序？當這些問題搞清楚后，最后的問題便是：這些集合到底是什么？從勒貝格測度的構造性定義能看出什么？把這些問題搞清楚，對勒貝格測度理論的來龍去脈基本就有了一個全局的了解．

假如勒貝格測度沒有誕生，擬個相關課題，取一個什么樣的題目合適？也許叫做“R中集合的度量”比較合適．上述問題邏輯關系清晰，搞清楚這些問題，測度理論也就建立起來了，這就是從課題研究的視角看測度．

在可測函數章節，由于勒貝格積分的定義中出現了形如{|<()≤}的集合，故提出下面一個自然的問題．

（1）這些集合是否可測？

由此可見，在課程的開篇宏觀上介紹一下勒貝格積分理論的來龍去脈是必要的，這為后續各章節的討論提供了邏輯基礎．有了合適的定義，接著便是概念的辨析．

（2）可測函數與熟悉的函數是什么關系？

考察這個問題有兩個角度，一個角度是來自微積分的連續函數，這正是該章后半部分需要研究的問題，另一個角度則是基于函數與集合的關系，從這個角度研究時首先需要將黎曼積分的大和、小和轉換成實變函數的語言重新表述，即將分割區間得到的和看成小區間對應特征函數的線性組合（分段函數）的積分，這是理解“可測函數是簡單函數極限”的基礎，也是理解后續介紹的勒貝格積分為什么可以有兩種定義方式以及兩種方式為什么等價的基礎．

（3）一個處處收斂或幾乎處處收斂的函數序列與一致收斂性差別有多大？

在對這個問題的分析中涉及一個實變函數中非常重要的思想方法，如何將函數序列不收斂的點用集合的語言表示出來？如何從這個表示中剔除不一致收斂的點集？而且還要保證被剔除的點不能太多（測度可以充分小）．這個思想方法堪稱實變函數的精髓，不僅對溝通可測函數與連續函數關系以及勒貝格積分中控制收斂定理的證明至關重要，在很多現代數學理論中也是很常用的思想方法．

另一個精彩的定理是溝通微積分與實變函數關系的橋梁——魯津定理．它源自下面一個很自然的問題．

（4）可測函數與連續函數的差別有多大？

魯津定理的重要性是不言而喻的，沒有這個定理，便無法建立可測函數與微積分之間的關系．傅立葉分析、調和分析等理論的產生也無從談起．

集合論、測度論、可測函數都是因勒貝格積分理論的建立不可避免要觸及的，有了這些準備之后，就可以呼應課程開始時的勒貝格積分理論介紹中面臨的問題了．

●如何建立新型的積分？

●勒貝格積分與黎曼積分是什么關系？

●勒貝格積分是否具有與黎曼積分類似的性質？

●什么樣的函數是勒貝格可積的？

●函數序列的極限與積分何時可以交換順序？

其中也包括黎曼可積函數是什么樣的函數等微積分遺留下來的問題．所有這些問題解決之后便圓滿完成了課題的研究，課堂教學過程也就完成了．

課題式教學不僅一改以傳授知識為主的經典教學方式，而且極大增加了課堂教學的彈性，無論是少課時還是多課時的課程都可以按照這樣的模式開展教學，對于少學時課程可以采取粗線條的方式，但需要學生課后花更多的時間，對于多學時課程，則可以圍繞著問題深入剖析，細節化展示概念、定理的建立過程，這才是真正意義上數學的再創造．

3 測度論課題式教學案例

勒貝格測度是實變函數課程的重要組成部分，它不僅對于可測函數與勒貝格積分理論具有舉足輕重的意義，自身也是數學的一個十分重要的分支．盡管此前已經有若當測度、波雷爾測度，并且這些測度仍然被經常使用，但這些測度與勒貝格測度相比都有著與黎曼積分類似的缺陷：它們都是不完備的．勒貝格積分恰恰克服了這一缺陷，而且為抽象測度奠定了基礎．概率論正是建立在抽象測度基礎上的，由此可見勒貝格測度的重要．

講授式教學往往停留在知識傳授的層面，講清楚測度的概念及其基本性質就可以了，但勒貝格測度為什么產生？它的意義與價值是什么？課堂應該圍繞著什么進行？這是測度論課堂教學中應該思考的問題．

實變函數課程與其它很多課程一樣，學時數由原來的72學時削減到了64學時甚至32學時不等，在如此少的學時數內如何在保證質量的前提下完成該課程主要內容和思想的教學？這是個大難題．能不能找到一種合理的方法在32課時的時間內不降低課程要求的情況下完成該課程的完整教學？如果像往常一樣按部就班進行教學，最多講授到可測函數章節就差不多了，如果似走馬觀花過一遍，學生學到的實變函數必然流于膚淺，有沒有一種兩全其美的方案？這正是課題式教學的初衷．多次實踐證明，采用課題式教學是兼顧課時與課程完整性的行之有效的方法．課題式教學的心臟是問題，如何發現問題、如何判斷問題的科學價值、如何分析問題與解決問題是課題式教學的內核．數學思想正是在分析問題的過程中得以展現，學生的數學直覺、數學審美、思辨、演繹與計算以及數學的價值判斷能力也將在這個過程中得到培養與提升．

歐氏空間R中測度論的建立至少需要解決如下幾個問題：

●在R中，如何度量一個集合的大小（外測度概念的建立）？

●外測度是不是我們需要的度量方式（不可測集的發現）？

●可測集的判斷標準是什么（內測度的發現及卡氏分割性條件的建立）？

●可測集是否具有與經典的長度、面積與體積類似的特征（可測集的性質）？

●可測集的外延有多大（可測集的結構）？

把上述問題解決了，測度論也就建立起來了，這就是所說的課題式教學．實際的課堂教學圍繞著下列問題展開．

在一維、二維、三維歐式空間中，常用的度量方式是區間的長度、平面區域的面積和空間立體的體積．但這種方式并不適用于一般的集合，比如Cantor三分集．那么一般的集合應該如何度量呢？

這個度量方式是否合理呢？至少需要從兩個維度來考量：① 新的度量方式是否能涵蓋原來的度量方式？換言之，對于區間、矩形或長方體，新舊兩種度量是不是一致的？ ②長度、面積或體積的性質是否被繼承了下來？長度、面積和體積具有哪些共同特征？不難抽象出這3個概念的幾個共同特征：非負性、單調性以及可加性．那么Lebesgue外測度是否也具有這3個性質？

根據Lebesgue外測度的定義，非負性和單調性幾乎是顯然的，外測度的“次（可數）可加性”也不難得到，即

從上述勒貝格不可測集的反例可以看出，勒貝格測度并不總具有可數可加性．但這個性質不僅是經典的長度、面積與體積的本質特征，也是黎曼積分的本質特征之一，正因為面積具有可數可加性，才能采取先分割再疊加求和，進而求極限，再求出黎曼積分．那么，出現上述問題的根源是什么？是外測度構造方法的問題，還是外測度固有的問題？從演算可以看出，演繹過程與外測度的具體構造無關，只要外測度滿足非負性、單調性與次（可數）可加性，便總有一些集合不滿足（可數）可加性．唯一能做的便是將這些集合排除在外，把他們稱為不可測集，只考慮那些具有可加性的集合．問題是，如何判別集合是否可測（滿足可加性）？這就自然帶出了下面的問題．

問題2：什么樣的集合具有測度（可數）可加性？如何判定？

從邏輯上看，這個定義的引入是自然的，但從卡氏分割性條件很難看出可測集內在的結構與性質來．因此需要回答下面幾個基本問題．

●常見的集合是不是可測的？

●可測集與通常的長度、面積、體積概念是不是相容的？

●可測集對于集合的運算是否封閉？

●它是否的確滿足可加性？

除了長方體體積與測度是否相等的問題稍顯麻煩，上述問題的解答幾乎是平凡的，但他們的確可以幫助學生對可測集有個初步的體驗，了解這個概念符合人的直覺．但在回答開集、閉集是否可測這個問題之前，需要先回答上述4個問題中的后兩道，即可測集的性質，于是自然轉入了對下列問題的研究．

問題3：可測集是否對集合的運算封閉？對集合的極限運算呢？

圖1 兩個可測集的并

證明兩個集合的情形后，可測集關于集合并、交、差、補運算的封閉性很容易推廣到有限個的情形，即

根據集合序列極限的定義以及可測集對集合運算的封閉性很容易看出可測集序列的極限仍然是可測的．但有一個問題并不平凡．

問題4：可測集序列的極限與測度是否可以交換順序？

從集合序列的極限定義可以看出，如果能對單調集列搞清楚這個問題，一般情形也就不困難了．

圖2 可數個可測集的并

上述證明與反例都是在分析過程中逐步尋找到的，這也是數學研究的常規方法，對于提升學生分析問題并在分析問題的過程中找到解決問題方法的能力無疑是有益的．

從上述分析可以看出，分析過程與證明過程的順序是不同的．課堂是對教材證明的解讀，教學過程是對隱藏在表象知識背后思想的挖掘，通過這個分析過程不僅幫助學生理清了教材中定理證明的思路，更重要的是教學生學會通過對問題的探索，有邏輯地思考問題．

至此上述4個問題得到了完滿的解答，但還有一個重要問題尚需要回答，這就是可測集的結構問題．

問題5：可測集具有什么樣的結構？

進一步，一般的可測集具有何種結構？外測度無疑為這個問題的分析提供了線索．采用開集與閉集互補的關系，也可以從內部用Borel集按測度逼近可測集，具體做法不妨讓學生課后自己研究解決．

解決了上述5個基本問題，勒貝格測度論就基本建立起來了．

4 總結

實踐證明，課題式教學法是實現弗賴登塔爾“數學教育是數學的再創造”理論的有效途徑（參見[4]），但誠如研究者在[5]中所說：“數學教育是數學的有限再創造”，在學生知識積累與認知能力都有限的情況下，需要教師的有效引導才能實現這種再創造．課題式教學使得整個課堂圍繞著問題展開，教學過程充滿了思辨，這對于培養學生的數學思維能力是至關重要的．同時，課題式教學使得課堂具有了足夠的彈性，教師始終圍繞著促使概念、定理產生的核心問題展開教學，除了概念的辨析，對定理的詳細證明過程則可根據學情與課時的充裕程度決定是否完整給出．

課題式教學的好處是可粗可細，所謂“粗”指的是教師圍繞著主要問題展開，略過枝節性的問題；所謂“細”是指在分析問題的基礎上詳細給出定理的證明．這樣的課堂教學需要學生的有力配合，課時不足的情況下，教師只能粗，而學生則需要在課外花更多的時間，因為要掌握一門課程，適當的時間是必不可少的．課內不夠只能課外補，教師的任務則是幫助學生解決課程的難點以及透過書本表象知識看清本質，即挖掘隱藏在知識背后的問題、思路和方法，這就是知識所反映的數學思想．只有師生的共同配合與努力，才能真正完成好一門課程的課題式教學．

[1] 曹廣福，劉丹．課題式教學法探析[J]．數學教育學報，2020，29（3）：32-36．

[2] 華東師范大學數學系．數學分析（上冊）[M]．北京：高等教育出版社，2016：202-203．

[3] 曹廣福．實變函數論與泛函分析（上冊）[M]．北京：高等教育出版社，2011：31-35．

[4] 弗賴登塔爾．作為教育任務的數學[M]．陳昌平，唐瑞芬，譯．上海：上海教育出版社，1999：107-110．

[5] 曹廣福，張蜀青．問題驅動的中學數學課堂教學（理論與實踐卷）[M]．北京：清華大學出版社，2018：103-104．

Project-Based Instruction for Real Variable Functions

CAO Guang-fu

(School of Mathematics & Information, South China Agricultural University, Guangdong Guangzhou 510642, China)

Project-based instruction can effectively deal with the tension between the entirety of content coverage in a course and insufficient allocation of time for the course. Project-based instruction of the real variable functions first needs to guide students to understand the historical development of the real variable function and the usefulness of applying them to solve problems faced. It requires of identifying big ideas in real variable functions and understand major thought processes. Through presenting a teaching case of measure theory, this paper explains how to actually design and deliver project-based instruction. Through the teaching case, it emphasized not only the facilitation of fostering students’ problem posing, but also identifying the value and importance of the posed problems, hence, help students to learn how to reason and think mathematically.

Lebesgue measure; measurable function; Lebesgue integral; project-based instruction

G642

A

1004–9894（2021）02–0032–06

曹廣福．實變函數課題式教學研究[J]．數學教育學報，2021，30（2）：32-37．

2020–10–09

國家“萬人計劃”人才項目——問題驅動的數學課堂教學理論與實踐；國家應用數學中學粵港澳大亞灣應用數學中心項目——問題驅動的中小學數學教育研究（2020B1515310020）

曹廣福（1960—），男，江蘇海安人，教授，博士生導師，首屆國家教學名師，入選第二批國家“萬人計劃”教學名師，主要從事數學研究與數學教育研究．

[責任編校：陳雋、陳漢君]