論數學解題教學的教學

陸 珺，胡晴穎

論數學解題教學的教學

陸 珺1，胡晴穎2

（1．蘇州大學 數學科學學院，江蘇 蘇州 215006；2．長興縣泗安鎮中心小學，浙江 湖州 313113）

數學解題教學的主要任務是教學生學習解題．數學解題教學的教學，主要任務是教職前數學教師學習如何教學生學習解題．職前數學教師在解題教學的學習中，面臨從會“解”到會教“解”的知能躍升和從會教“解”到會教“學解”的知能完善的兩重困境．數學解題教學的教學，可通過傳授啟發性提示語，開展示范教學和采用線索式板書等策略化解困境．

解題教學；教“學解”；啟發性提示語；示范教學；線索式板書

1 問題提出

解題是數學活動的基本形式和主要內容，也是其自身的存在目的和興奮中心[1]．數學學習離不開解題學習，故數學教學離不開解題教學．涂榮豹教授認為，在數學解題學習中，學生的主要任務并不是解題，而是學習解題，因此教師教的重點和學生學的重點，不在于“解”而在于“學解”．以“解”作為出發點，注重的是解題的結果；以“學解”作為出發點，注重的則是解題的過程[2]．照此，數學解題教學的主要任務不在于教“解”而在于教“學解”．那么，數學解題教學的教學，其主要任務就不在于教（如何）“教‘解’”而在于教（如何）“教‘學解’”．盡管這樣闡述不免有文字游戲的嫌疑，但從學生的解題學習關聯至教師的解題教學，再上溯到數學教師教育中解題教學的教學，個中邏輯是明白無誤的．3者各自的主要任務與其習慣性地被誤作主要任務的非主要任務的對照和闡釋見表1．

表1 “解題學習”“解題教學”“解題教學的教學”之 主要任務與非主要任務

2 教“學解”之研究概況

數學解題教學的研究可謂碩果累累，尤其是廣大一線教師為其傾注了寶貴的經驗與智慧，但聚焦于教“學解”這一主要任務的研究尚不多見．文[2]認為“學解”最有效的方法是“在解題中學習解題”，即在盡可能不提供現成結論的前提下，親身獨立地進行數學解題活動，從中學習解題，學會“數學地思維”，哪怕解題最終沒有到底，也會有所發現，有所體驗；文[3]認為重視各種具體的解法技巧，輕視普遍的解題思維方法是數學解題教學的一大誤區，指出解題教學要充分暴露解題思維過程，顯示為什么要這樣做和怎么做的思維過程，突出解題中的探索環節及解題方法被發現的過程，以培養學生解題思維中的調控能力；文[4]認為數學解題過程包含具體的認知過程和更高層次的元認知過程，學生解題能力的差異實質在于學生元認知水平的差異，并借助例題分析闡明加強元認知的培養與訓練是提高數學思維能力和解題水平的“超越”手段，是波利亞解題思想的延伸和發展．上述研究集中在2000年左右，如果要從其論點中提取關鍵詞，大概非“（解題）思維”和“元認知”莫屬，而這兩個詞語的結合，不難使人轉而關注波利亞的啟發性提示語．

文[5]認為在解題教學中，教師為學生所能做的最大好事是通過比較自然的幫助，特別應當反復經常地使用波利亞的提示語，促使學生自己想出一個好念頭．而這些提示語，部分是針對問題具體內容的，也就是“客體水平”的，屬于認知性的；還有部分是以解題者自身為對象，針對主體內部心理抽象認識過程的，屬于元認知性的．研究者認為對于元認知性的提示語的經常自覺地運用，是提高解題元認知能力的有效途徑．為此，在文[6]中提出了兩套著重幫助學生理解題意的元認知提示語．一是如何著手解題，即當遇到一個陌生的新問題時，最先開始時應該如何思考；二是如何理解題意，包括解題者能用自己的語言重述問題的表層理解和把問題的每一陳述綜合成條件、目標統一的心理表征的深層理解．這兩項研究產生于2002—2006年間．

此后十余年，出現了若干著重于啟發性提示語的應用研究．如文[7]提出教師應提煉具有層級的元認知提示語用以克服數學啟發式教學中的偏差現象，并以“正切函數的圖像和性質”為例簡單列舉了元認知提示語的設計；文[8]梳理了啟發性提示語的起源與發展，并就“任意角的三角函數”示范了其在不同教學階段的應用；文[9]探索了啟發性提示語在解題中的應用，認為其轉換的問題，不是簡單的文字瀏覽和在思想上的一掠而過，而是對每一個對象的意義、性質、不同對象的關系的深入思考與探究，特別是能否轉化為其它的意義與關系，同時指出這種貫穿于所有問題之中的思考是數學解題最基本的思考方法，當然不是萬能的方法；文[10]通過課堂觀察和記錄稿分析，發現專家型教師較熟手教師善于運用元認知提示語使學生經歷“思維和情感”的困惑，注重思維過程和思維策略的引導；文[11]呈現了將元認知提示語運用于初中數學解題的一則案例．

從學界目前的研究來看，第一，關于教“學解”的研究甚少，遠沒形成氣候．究其原因，大概是受應試教育的功利驅動，研究目光基本投注在解題教學的一般方法與策略上，鮮有人能深刻認識解題教學的意義并為其從長計議；第二，波利亞的啟發性提示語之于解題教學的研究，已有較為權威的理論闡述和少量的實踐探索；第三，解題教學的教學研究處于無人問津的狀態，即缺乏對數學教師的解題教學知能該如何養成這一問題的思考．該研究若不予啟動，對解題教學的研究恐怕多半是徒勞．譬如就教“學解”而言，教師在踐行解題教學主要“教什么”之前，總得先認同“為什么”且掌握“怎么教”，這是職前數學教師教育應有的擔當，不能一味期望由在職培訓來完成教學信念重塑與行為糾偏．

3 解題教學之學習困境

數學課課型不外乎新授課、習題課和復習課，幾乎沒有一堂數學課可以跟解題撇清關系，并且“中學數學教學首要的任務就是加強解題的訓練”[12]，因此，數學解題教學知能是職前數學教師的一項必修基本功．然而，因長久以來包括數學教師發展者在內的眾人的認識誤區與疏漏，其學習過程中存在兩大困境．

3.1 會“解”≠會教“解”

“解”是以自我為中心的個體活動，教“解”則是以學生為主體的師生互動．會“解”是針對數學問題，按照自身的知識和能力水平去處理信息，求得解題思路與方法；會教“解”是針對數學問題與學生情況，按照學生的知識和能力水平去處理信息，實現學生對題意的理解，對解題方法的消化和對解答過程的掌握．兩者絕然不能等同．職前數學教師在經過4年數學專業學習后，興許能輕松勝任大部分初等數學題的求解，但要將內隱的解題知能外化為教學語言卻非易事．若沒有專門的訓練，便只能靠個人摸索和模仿，而最終表現如何還得看悟性程度．另外，職前數學教師所擁有的作為學習者的經驗不容小覷，豐富、強大的經驗系統易導致其教學初期的表現成為他人教學的影射，即“用他們以前被教的方式進行教學”[13]．如此，一些有失偏頗的教學方式可能得以沿襲，譬如用告訴、呈現代替了啟發、引導．因而，數學教學論教師及時有效的專業指導的介入，對于職前數學教師實現從會“解”到會教“解”的知能躍升無疑是必要的．

3.2 會教“解”≠會教“學解”

數學解題活動，作為一種數學的思維活動，是個體頭腦中數量豐富、生動活潑的元認知活動的短時積聚．但凡經精心編制，能給學習者造成一定困難的數學題，成功求解的背后，總有解題者的“該從哪里突破”“問題的條件足夠了嗎”“所有條件都考慮進去了嗎”等大量對自我思維趨向的提示，其不僅預測、調節、監控解題活動的進程，更直接作用于解題思路的生成．尋找解題思路正是解題活動最重要又最困難的環節．缺乏該環節的解題教學止步于教“解”，即滿足求解過程的講解，互動中只需指向具體信息加工的認知性提示語．而教“學解”則意在解題思維的訓練，另需上述自我詰問式的元認知提示語的參與．只會教“解”的教師，教給學生的是在模仿中解題，是“魚”“漁”之成分；而會教“學解”的教師，教給學生的是在解題中創造，是帶有個人創見的“漁識”．從會教“解”到會教“學解”的知能完善過程將是頗費心力的攀登，因為這不僅需要扎實的數學功底和熟練的解題技能，更要深諳學生的認知特點，尤其是清楚其思維走向中的坡道、坦途和可能的彎路、岔路．

4 解題教學的教學之應對策略

從日常課堂教學行為中析出的導入、提問、結束、語言、板書等屬于微觀知能，而由教學內容所區分的概念（命題）教學、解題教學、思想方法的教學等屬于中觀知能，其實踐需要綜合運用各項微觀知能，同時又是學習備課、說課等宏觀知能的基礎．所以，在職前數學教師教育中，解題教學的教學本身是一項承上啟下的核心任務．以下3項策略可用以應對解題教學的學習困境．

4.1 傳授啟發性提示語

現實教學中，多數教師對“如何尋找解題思路”要么避而不談，要么講解不清，其根源基本在于啟發性提示語的缺位．波利亞的啟發性提示語包含認知提示語和元認知提示語．前者聚焦具體策略和方法，不同于簡單機械、無關痛癢，甚至冗長耗時的一般性提問，它指向清晰、邏輯連貫，能有效觸發思維錨點，展示思維過程，暴露思維盲點；后者超越具體對象而具有普適性，符合學生思維特征和問題解決規律，從而獲得誘導出正確念頭的可能，有助于推動思維進程，更利于形成一種思維習慣，在潛移默化中使學生學到比任何具體數學知識更重要的東西．兩者共同作用于認知目標的達成和解題思維的訓練．善用的前提是會用，那么解題教學的教學就要為此提供機會．數學教學論教師可基于波利亞解題理論的教學，在解題教學的講解與示范中突出呈現相關的啟發性提示語，并布置必要的解題教學練習用以強化職前數學教師對啟發性提示語的捕捉、整理與表達．

4.2 開展示范教學

說一千道一萬，不如做示范．示范教學是教師有目的地以示范技能作為有效刺激，充分調動學生的視覺和聽覺，形成表象及聯系，使其在觀察、思維、模仿、操作中領悟理論精髓，掌握技能要領．教師知識與專業發展的特點決定了示范教學方法尤其適用于教師教育技能的初期學習．因此在解題教學的教學中，教師與其向學生反復說道如何運用啟發性提示語，如何提問、等待、回應，如何設計課件和進行板演等，不如在理念傳達之后選用合適材料，親自上陣或邀請專人現場演繹，通過技能的真人化動態演示，帶給學習者生動直觀的認識，從而彌補空洞說教之不足．

4.3 采用線索式板書

隨著現代教育技術的日益普及和頻繁更新，“零板書”現象在高校課堂中已比比皆是，尤其是很多文科課程的教學，其精彩紛呈的課件與干凈無痕的黑板形成了鮮明的對比．殊不知，教師在“快速電子小黑板”的播放中，忽視了對教學內容的全景式呈現與教學思維的精細化剖析，而學生，常在麻木呆滯的觀看中被打亂思維節奏，放棄了積極思考．事實上，現場性與生成性的融合使得板書具有課件所無可比擬的優勢，尤其是通過串接知識主干以展現教學內容的邏輯順序或相互關系的線索式板書，能夠將復雜過程化繁為簡，便于理解與識記[14–19]．所以無論是中小學數學課堂的解題教學，還是數學教學論課堂對解題教學的示范，都可以構思線索式板書，在呼應教學語言和課件的同時，讓學生的思維跟隨教師的現場板演而活動得通透明白．

5 解題教學的教學之課例呈現

下文呈現一則數學解題教學的教學課例．限于篇幅，對課例內容擇要闡釋．

5.1 內容與課時安排

教學的內容與課時安排見表2．這里有兩方面考慮．第一，解題是有邏輯的，解題教學要循邏輯而教．對于解題教學的教學，亦應使內容編排符合最易為學生所接受的邏輯．對數學解題學習的認識是理論教學的重點，啟發性提示語的教學既為重點又為難點，因此理論課時的第1課時在內容重要性上高出一籌．進入第2課時，教學內容的理論段位和實踐難度逐次降低，學生的成就感將隨學習進程得到增強．第二，學科教育學教學中，一味灌輸教育理論或片面追求技能訓練均是極端的做法，理論教學和實踐訓練須置于同等地位，相互穿插，確保理論有實踐的生動反饋，實踐有理論的有效支撐．考慮到小組規模與模擬教學后的多元評價的開展，安排2課時的實踐教學最為適宜．

表2 內容與課時安排

5.2 教學過程

第1個理論課時的教學過程見表3．5個教學階段由生疑釋疑，求知再生疑，再求知再釋疑構成的多個教學環節所串接．教學階段的區分以師生行為為依據，教學內容的序號表示內容性質的分類，兩者不作嚴格對應．表3只呈現教學內容的梗概，但清晰刻畫每一個教學環節的“教”與“學”，這是以“教與學對應的原理”作為教學研究方法論思想的體現．兩處教學結束（教學環節五、七）中，給予學生充分思考和討論的總結方式體現了教學的主體性原則．課末，提供分別聚焦于數（式）、形推導的高、初中習題各一道，供學生按個人的思維偏向和從教意愿等進行選擇練習．事實上，既為學生把關練習材料的質量，又給予其一定的自主選擇權，這應是教師在布置學習任務中一以貫之的做法．

表3 教學過程（第1個理論課時）

5.3 示范教學

5.3.1 教師的示范教學

例1是教師進行示范教學的例題，其對應的啟發性提示語的設計文本見表4．以該三角函數綜合題為載體進行啟發性提示語應用的第一次示范教學是合適的．首先，應用伊始的問題串以偏短為宜，所以構成求解第一問的4組提示語數量適當．其次，求解第二問需要的提示語數量加倍，這是新知運用中一個必要的爬坡，并且此時學生以準教師的身份進行教學觀摩，師生雙方將以比較平等的姿態共同討論確定所有的提問、分析與解答，因而不必有過多難度方面的擔憂．第三，該題的解題回顧是比較容易進行的，如文本中的兩問便是多數解題者的想法．

（1）求+的值；

表4 啟發性提示語的設計文本（1）

5.3.2 實習教師的示范教學

例2是用于第二次示范教學的具備中考題難度的綜合幾何題，其對應的啟發性提示語的設計文本見表5．因為是第二次應用，問題串可適當變長，但又需考慮此時由實習教師（同專業大四學生）扮演初中數學教師，參與課堂的學生扮演初中學生，所有的提問、分析與解答都將在雙方的角色扮演中一氣呵成地獲得，所以問題串又不宜過長．于是，分別由5組、7組提示語構成的兩個問題串，首先符合了數量要求．再者，該示范屬于擬實驗教學，其順利與否在很大程度上由“師生”雙方的互動有效性所決定，因此對每一問的提問方式作了細致考慮．另外，從例1到例2，從函數轉向幾何，從高中數學變為初中數學，學生的角色由準教師切換為初中生，其“學”的任務由觀摩、討論調整為觀摩、合作，仿若數學的變式教學般作了多重“變式”，目的是確保學生對啟發性提示語的確切掌握．

如果說第一次示范教學能夠掀起課堂教學的一個小高潮，那么第二次示范教學將當之無愧地成為課堂教學的高潮，學生的課堂參與度和思維興奮度都將在此時段到達巔峰．因為第一次示范教學，除了示范還包含一定比例的講解，屬于為解釋或強調而作的旁白．但是第二次示范教學，則是實習教師的一場專注、傾情的現場“演出”，是一次純粹且流暢的示范．并且因為和主演身處同一時空場域，學生個個能夠親身參演與現場觀演，這一“課中課”的形式將使他們獲得遠勝于通過閱讀教學文本或觀看教學視頻而得的感受．此外，受邀“演出”的實習教師是在全國或省級師范生教學技能競賽中獲獎的同專業大四學生，不僅知識基礎扎實，教學技能過硬，“演出”前還需在教師指導下打磨講稿，試講數次，所以作為在專業內小有名氣的優秀學長和胸有成竹躍躍欲試的新手教師，其所奉獻的這場課堂“真人秀”無疑將是關于榜樣效能的一次完美彰顯．

例2 在△中，∠=45°，∠=60°，=2，點為延長線上的一點，且∠=∠，⊙為△的外接圓．

（1）求的長；

（2）求⊙的半徑．

5.4 課件與板書設計

啟發性提示語外化于教學行為的鮮明特征是用帶有啟發性的教學語言有序激發學習者的解題思維．以例1第一問的教學示范為例，圖1左圖的4個文本框將跟隨師生互動逐個呈現，同時伴隨分析、解答的過程，教師用數學符號與公式進行簡單板書（圖2）．于是，配合著圖1左圖動畫的依次播放，教師同步完成板書（1）~（11）（序號表示板演順序）．接著，在回顧圖1左圖和板書（1）~（11）中講解、板書（12）、（13），頓時令學生感悟啟發性提示語之于解題的作用．隨后，課件切換至圖1右圖，一幅“自頂部”緩緩展開的流程圖將“啟發性提示語的設計有哪些原則”的疑問自然拋出，充分討論之后，教師水到渠成地歸納、板書（14）~（17），末尾以圖1右圖中一個動畫的播放強調核心原則：由遠及近，成為這一階段教學的點睛之筆．

如格言“I hear, I forgot; I see, I remember”所言，精心設計的啟發性提示語若只從聽覺通道進入學習者大腦，刺激力度是微弱的，但配合使用課件、板書等視覺呈現方式，經由視、聽覺碰撞而獲得的將是1+1＞2的效果．當然，多種刺激的編排方式需用心研究．實際上，語言的聽覺傳遞與課件、板書的視覺呈現是教學的兩條明線，而學習者的解題思維活動是一條暗線，明線應為牽引暗線而設計、運作．

表5 啟發性提示語的設計文本（2）

圖1 課件設計

6 結束語

數學是思維的科學．數學解題活動是數學的思維活動．數學解題教學應聚焦思維活動過程，致力于教學生學習解題．因而，數學解題教學的教學，應有之義是圍繞教學的主要任務——教職前數學教師學習如何教學生學習解題，遵循數學思維活動的規律，進行教學文本和活動的設計．

圖2 板書設計

[1] 羅增儒，羅新兵．作為數學教育任務的數學解題[J]．數學教育學報，2005，14（1）：12–15．

[2] 涂榮豹．數學解題的有意義學習[J]．數學教育學報，2001，10（4）：15–20．

[3] 邵光華．論數學解題教學的誤區及教學策略[J]．課程·教材·教法，1999，19（5）：22–24．

[4] 沈南山．發掘元認知實現對波利亞解題思想的超越[J]．數學教育學報，2001，10（3）：40–42．

[5] 涂榮豹．數學解題學習中的元認知[J]．數學教育學報，2002，11（4）：6–11．

[6] 涂榮豹，王光明，寧連華．新編數學教學論[M]．上海：華東師范大學出版社，2006：120，124–125．

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[17] 馬文杰．反思與“重構”數學學習錯誤矯正原則[J]．數學教育學報，2020，29（2）：11-17．

[18] 劉喆，蘇新冰，杜炫杰．智慧教室環境下的數學課堂教學行為研究[J]．數學教育學報，2020，29（4）：44-51．

[19] 曹廣福，劉丹．課題式教學法探析[J]．數學教育學報，2020，29（3）：32-36．

On the Teaching for Mathematical Problem Solving

LU Jun1, HU Qing-ying2

(1.Soochow University, School of Mathematical Sciences, Jiangsu Suzhou 215006, China;2. Central Primary School of Si’an Town of Changxing, Zhejiang Huzhou 313113, China)

The main purpose of teaching for mathematical problem solving is to help students become problem solvers. Learning to teach for mathematical problem-solving is to help preservice mathematics teachers how to teach their students for problem solving. Preservice mathematics teachers face two challenges when they learn to teach for problem solving: a) transform from “able to solving” to “able to teach how to solve,” and b) transform from “able to teach how to solve” to “able to teach how students can learn to solve.”. Teaching heuristic prompts, model lessons, and board design of instructional presentations can all be used to foster preservice teachers’ learning to teach for students’ problem solving.

teaching for problem solving; teach how students can learn to solve; heuristic prompts; model lessons; board design of instructional presentations

G451

A

1004–9894（2021）02–0055–06

陸珺，胡晴穎．論數學解題教學的教學[J]．數學教育學報，2021，30（2）：55-60．

2020–10–08

國家社科基金教育學一般課題——中學生學科核心素養的評價研究（BHA170150）

陸珺（1984—），女，江蘇蘇州人，博士，主要從事數學課程與教學論、數學教師教育研究．

[責任編校：周學智、陳漢君]