基于小學生數學運算素養培育的課例比較研究——以“三位數乘兩位數”的同課異構為例

李保臻，馬登堂

基于小學生數學運算素養培育的課例比較研究——以“三位數乘兩位數”的同課異構為例

李保臻1，2，馬登堂2

（1．西北師范大學 西北少數民族教育發展研究中心，甘肅 蘭州 730070；2．西北師范大學 教育學院，甘肅 蘭州 730070）

選取“三位數乘兩位數”的同課異構課為教學案例，依據小學數學有效計算教學滿足的基本要求，從運算情境的引入與運算對象的理解、運算思路的探究與運算方法的選擇、運算原理的解析與運算法則的歸納、運算結果的總結與運算效果的評價4個方面對兩節課進行了比較分析．最后得出培育小學生數學運算素養的幾點啟示：運算情境的創設應有利于學生對運算對象的理解；運算方法應基于計算問題解決的實際需要合理選擇；算理與算法在運算中的相互關系及所起的作用應辯證看待；系統地總結與評價運算過程應為獲得良好的運算成效服務．

小學生；數學運算素養；培育；同課異構；課例比較

1 問題提出

數學運算是數學活動的基本形式，是演繹推理的特殊情況，也是獲得數學結果的重要手段[1]．而數學運算素養是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養[2]，是學生學習數學的前提與基礎，也是現代公民日常生活的必備素養．小學階段是數學運算素養培育的起點，也是關鍵階段，其培育成效直接關系到學生的長遠發展．關于小學生數學運算素養的內涵，王永春認為，小學生數學運算素養是指在理解算理和運算對象的基礎上，依據運算法則和運算律進行正確計算并解決問題的素養．主要包括：理解算理和運算對象，掌握運算法則，分析數量關系，選擇運算方法，求得運算結果等[3]．在小學數學教學中，數學計算一般顯得比較枯燥乏味，許多學生學習的積極性不高，從而影響了小學生數學運算素養的有效培育．因此，探究小學生數學運算素養培育的計算教學的有效性，就成為理論界與實踐界共同關注的熱點問題．

那么，一節課滿足什么條件才是有效的，對此問題學者們的觀點不盡一致．葉瀾認為，一堂好課沒有絕對的標準，但有一些基本的要求：有意義，即扎實的課堂；有效率，即充實的課堂；有生成，即豐實的課堂；常態化，即平實的課堂；有待完善，即真實的課堂[4]．王光明等認為，一堂好課滿足的條件是學生學習的主動性、有效的互動性、自行獲取知識的實踐性、學生真正的理解性、預備學習材料的良好組織性、學生學習的反思性[5]．陳力認為有效教學有6個“發生點”，即有效的情境導入，制造“沖突點”；有效的獨立嘗試，設計“啟發點”；有效的互動交流，捕捉“共鳴點”；有效的提煉概括，促成“內化點”；有效的應用拓展，挖掘“深化點”；有效的回顧小結，激活“反思點”[6]．而關于小學數學計算教學的有效性，學者們的研究主要聚焦在實施策略方面．如鐘玉坤認為提高小學數學計算教學的有效性，就應該聯系生活，創設學習情境；注重過程，鼓勵自主探索；重視交流，提倡算法多樣化；注重反饋，強化數感意識[7]．黃金票認為應該從創設情境，激發學生參與的積極性；找準起點，提高計算教學的實效性；直觀操作，溝通算理算法的統一性；多樣算法，凸顯計算教學的靈活性等方面提高小學生計算教學的有效性[8]．黃洪認為提高小學數學計算教學的有效性應做到：創設合適的教學情境，豐富教學資源；啟發學生自主探索，發現計算方法；提倡算法多樣化與適時優化，訓練學生思維品質；反思評價計算過程，培養學生計算習慣[9]．

可見，學者們就有效計算教學實施的策略從不同視角進行了探討，概括來講，大多數研究認為，有效的計算教學應該從恰當創設問題情境、注重理解算理算法、啟發引導學生自主探究、合理選擇運算方法及積極落實對學生的反饋評價等方面構建．基于此，提出小學數學有效計算教學滿足的基本要求為：（1）基于學生的認知特點恰當創設運算情境，真正明晰運算對象的內涵；（2）啟發學生自主探究運算思路，靈活選擇運算方法；（3）幫助學生深刻理解算理的本質，正確掌握運算法則；（4）引導學生精準表征運算結果，及時測評運算學習的成效．

基于以上分析，研究選取參加2019年“國培計劃”的兩名小學數學骨干教師Y教師和H教師執教的“三位數乘兩位數”同課異構課為典型案例，以小學數學有效計算教學滿足的基本要求為評價依據對兩節課進行比較分析，得出相關的結論，提出培育小學生數學運算素養的一些啟示，希冀為小學數學計算教學及小學生數學運算素養培育提供一些參考．

2 研究對象與方法

2.1 研究對象

以“三位數乘兩位數”為主題的兩節同課異構課為研究對象，教學內容選自人教版小學數學四年級上冊第四單元第一課時．這兩節課源自西北師范大學承擔的“2019年‘國培計劃’——小學數學骨干教師提升培訓項目”，其中同課異構課作為此次參訓學員在甘肅省蘭州市L小學跟崗研修的一項展示成果．執教這兩節課的參訓學員Y教師來自該省A小學，教齡13年，職稱為高級教師；H教師來自該省B小學，教齡15年，職稱也為高級教師．兩位教師都是借班上課，其中Y教師任教的四年級一班有48名學生，H教師任教的四年級二班有46名學生，且學生的綜合素質相當．“三位數乘兩位數”是整數乘法的最后一個內容，既是“多位數乘一位數”與“兩位數乘兩位數”的延續，也為學生后續學習“多位數乘多位數”奠定了堅實的算法基礎，是培育小學生數學運算素養的重要內容，因此該節課在小學計算教學中具有較好的代表性．

2.2 研究方法

研究主要采用課堂觀察法、案例分析法和訪談法．

課堂觀察法主要用于對兩節課的多維度觀察．即從情境創設、教學組織、師生互動、教學評價等方面對兩節同課異構課進行現場觀摩，并通過課堂量表記錄、教學視頻錄制、視頻語言整理等方式收集資料，進一步選取兩節課有特色的教學片段進行比較分析．

案例分析法主要用于對教學案例的分析．即依據小學數學有效計算教學滿足的基本要求，從運算情境的引入與運算對象的理解、運算思路的探究與運算方法的選擇、運算原理的解析與運算法則的歸納、運算結果的總結與運算效果的評價4個方面對這兩節課進行比較與分析．

訪談法主要用于對兩節課的教學效果進行師生課后訪談調查．為了使聽課學生樣本具有較好的代表性，依據平時學習表現為優、良、中、差類型對兩班學生進行了分層抽樣，每班依不同類型各選2名共16名學生作為訪談對象，訪談內容主要包括運算情境創設的認同、運算對象的辨析、算理的理解、算法的掌握等方面．對兩位教師的訪談主要包括教學重難點的把握、教學設計的意圖、教學過程的實施及教學效果的評價與反思等方面．

3 研究結果及分析

3.1 運算情境的引入與運算對象的理解

運算情境是以數學、科學、生活、文化等資源表征的，用以引出運算對象、建構運算關系的呈現方式；運算對象是指在分析運算情境的基礎上回答“誰參與運算”的問題．有效的運算情境引入是計算教學的源頭活水，能促使學生更好地理解運算對象，而運算對象的全面理解又有助于學生知悉運算情境創設的意圖，是解決計算問題的首要環節．“三位數乘兩位數”的運算對象是“三位數”與“兩位數”，理解“三位數乘兩位數”的運算對象主要涉及數位、位數、進位及運算符號等要素的理解．表1呈現的是兩位教師關于運算情境引入與運算對象理解的案例．

表1 兩位教師關于運算情境引入與運算對象理解的案例

由表1可知，在創設運算情境引出運算對象方面，Y教師首先以“兩位數乘一位數”與“兩位數乘兩位數”的兩個具體數學算式為例，復習鞏固了其算理和算法，然后結合一個實際問題引出了“三位數乘兩位數”的教學．而H教師在師生互動的基礎上，首先創設了與實際生活相聯系的“兩位數乘兩位數”問題情境，然后列出數學算式復習了其算理和算法，最后又結合實際問題情境引出了“三位數乘兩位數”的教學．關于如此設計的意圖，通過對兩位教師的課后訪談可知，Y教師目的是通過復習“兩位數乘一位數”和“兩位數乘兩位數”的算理與算法，進而將其算理與算法自然遷移到“三位數乘兩位數”的學習中．而H教師目的是啟迪學生已有的知識經驗，以便通過數學建模的方式幫助學生更好地理解運算對象．可見，兩位教師都是在復習已有知識的基礎上引出新的運算對象，但由于采用的方式不同故效果亦不同．通過對抽樣學生的課后訪談發現，一班多數學生認為，Y教師采用的方式使他們復習鞏固了“兩位數乘一位數”與“兩位數乘兩位數”的算理和算法，這樣為學習“三位數乘兩位數”的算理與算法奠定了基礎，但感覺“三位數乘兩位數”的運算對象與實際生活的緊密聯系不夠；而二班多數學生認為，H教師采用的方式能讓他們體會到“三位數乘兩位數”的運算對象與實際生活緊密聯系，感覺到“三位數乘兩位數”的數學模型就在自己身邊．

3.2 運算思路的探究與運算方法的選擇

運算思路是指學生對運算過程的認知建構，是由運算對象指向運算結果的思維過程，運算思路的探究是教師引導學生初步尋求解決計算問題的路徑嘗試；而運算方法是解決計算問題的具體措施，運算方法的選擇即學生依據自身認知水平選取措施以解決計算問題的認知活動．探究運算思路是選擇運算方法的邏輯基礎，而運算方法的選擇體現著學生運算思路探究的思維模式．教師如能根據計算問題引導學生合理探究運算思路并恰當選擇運算方法，就會達到事半功倍的效果．表2呈現的是兩位教師關于運算思路探究與運算方法選擇的案例．

表2 兩位教師關于運算思路探究與運算方法選擇的案例

由表2可知，在運算思路探究方面，兩位教師引導學生經歷了同樣的思維過程：都是首先引導學生采用已經學過的方法運算，達到了初步解決計算問題的目的，然后過渡到“三位數乘兩位數”筆算方法的探索，進入該節課的教學重點，整個過程培養了學生自主探究的能力．在運算方法選擇方面，Y教師引導學生嘗試用自己喜歡的方法運算，學生出現了3種不同的運算方法；而H教師針對具體的生活情境引導學生選擇估算的運算方法，探究過程中學生出現了3種不同的估算方法．通過與兩位教師的課后交流可知，Y教師的設計意圖是引導學生從多種思路、多種方法解決新問題，通過滲透轉化的數學思想拓展學生的數學思維；而H教師選擇估算方法是為了讓學生體會估算在實際生活中的應用價值，有助于學生數感的培養．兩位教師的設計意圖通過對兩班學生的課后訪談也得到了相應的反饋驗證．

3.3 運算原理的解析與運算法則的歸納

運算原理簡稱算理，是回答“為何如此算”的問題，是整個運算過程遵循的理據，也是運算法則歸納的依據；運算法則即算法，是回答“如何算”的問題，是依據算理提煉出來的具有普適性的運算規則．在小學計算教學中，算理、算法是小學生數學運算能力的一體兩翼，二者相輔相成，不可偏廢[10]．表3呈現的是兩位教師關于運算原理解析與運算法則歸納的案例．

表3 兩位教師關于運算原理解析與運算法則歸納的案例

由表3可知，兩位教師在算理解析與算法歸納的教學處理上有所不同．在算理解析方面，Y教師采用的方式是：教師引導學生說明145×12的算理→教師講解145×12的算理；H教師采用的方式是：教師引導學生說明145×12的算理→教師提問強調算理．可見，在算理解析中，Y教師和H教師均讓學生針對145×12進行了說理，不同點是Y教師通過詳細講解示范強調了算理，而H教師僅通過師生問答方式強調了算理．在算法歸納方面，Y教師采用的方式是：引導學生講解145×12的算法→師生問答互動→師生共同總結“三位數乘兩位數”的算法；H教師采用的方式是：引導學生講解145×12的算法→小組討論算法→同桌交流算法→師生共同總結“三位數乘兩位數”的算法．可見，在算法歸納中，兩位教師都是先引導學生歸納“145×12”的算法，然后經過類比、遷移，過渡到一般的“三位數乘兩位數”算法．不同點在于Y教師采用師生提問方式歸納算法，而H教師采用引導學生討論與交流方式歸納算法．通過與抽樣學生的交流可知，一班學生對算理理解較好，但對算法卻有些含糊；二班學生對算法掌握較好，但對算理的理解卻還不夠．再結合對兩位教師的課后訪談，Y教師認為該節課對算理落實較好，但考慮到時間問題，算法講解有所欠缺；而H教師認為該節課過分注重算法的訓練，而對算理落實不夠，可能導致學生對算理的理解不太理想．可見，兩位教師由于對算理解析與算法歸納的側重點不同導致了不同的教學效果．

3.4 運算結果的總結與運算效果的評價

運算結果是運算程序實施完成后的數量表征，運算結果的總結是計算問題的最終結果在原理、方法、思想等方面的概括與歸納，是學生系統掌握數學運算知識的有力保障；而運算效果是指在運算過程中學生學習成效的綜合表現，主要包括學生理解算理與掌握算法的情況，運算效果的評價是教師對學生運算情況做出的客觀診斷與反饋，是培育學生數學運算素養的催化劑．運算結果的總結是運算效果評價的基礎，而運算效果的評價又體現著運算結果總結的深度與廣度等．表4呈現的是兩位教師關于運算結果總結與運算效果評價的案例．

表4 兩位教師關于運算結果總結與運算效果評價的案例

續表4 兩位教師關于運算結果總結與運算效果評價的案例

由表4可知，在運算結果總結方面，兩位教師的側重點不同．Y教師通過正例的訓練與“四位數乘兩位數”的探究，總結了“三位數乘兩位數”的算理，并將其算法推廣到“多位數乘多位數”，升華了算理、推廣了算法．而H教師通過反例的辨析及實際問題中算法多樣化的討論，不僅強調了計算“三位數乘兩位數”應注意“數位”與“進位”等易錯的問題，而且在倡導運算方法多樣化的同時鼓勵學生選擇最優的方法．通過與兩位教師的課后交流可知，兩位教師一致認為該節課的教學重點是讓學生掌握“三位數乘兩位數”的算理與算法，只不過Y教師想通過強化學生對算理的理解來掌握算法，而H教師想通過算法的變式訓練來讓學生理解算理．在運算效果評價方面，兩位教師均對“三位數乘兩位數”的算理與算法掌握情況進行了反饋．通過對課堂中舉手及做題正確學生人數的統計發現：一班正確掌握算法的學生人數占比約為81%，二班約為87%；一班正確理解算理的學生人數占比約為69%，二班約為59%．可見，在“三位數乘兩位數”的學習過程中，一班學生對算理的理解情況要好于二班，而二班學生對算法的掌握情況要好于一班．課后對兩班16位學生的訪談也印證了這點，另外，訪談時還發現，兩班均存在部分學生能正確計算但說不清算理的現象．

4 研究結論及啟示

4.1 研究結論

第一，在運算情境引入與運算對象理解方面，兩位教師采用不同的情境引入方式過渡到對運算對象的理解．Y教師采用由數學情境到生活情境的方式讓學生理解運算對象，有助于運算對象從數學層面的自然遷移，但弱化了學生對運算對象實際模型背景的理解；而H教師采用由生活情境到生活情境的方式讓學生理解運算對象，有助于學生基于實際模型背景理解運算對象引入的必要性．

第二，在運算思路探究與運算方法選擇方面，兩位教師的處理各有特色．兩位教師均引導學生經歷了同樣的運算思路探究過程，但Y教師注重運算方法的多樣化，有助于拓展學生的數學思維；而H教師注重估算方法的應用，有助于培養學生的數感．

第三，在運算原理解析與運算法則歸納方面，兩位教師的側重點不同．Y教師在教學中出現了“重算理、輕算法”的現象，而H教師出現了“重算法、輕算理”的現象，這兩種現象都影響了學生對算理的精準理解及算法的有效掌握，不利于小學生數學運算素養的培育．

第四，在運算結果總結與運算效果評價方面，兩位教師的關注點不同且運算效果有所差異．Y教師側重對算理的升華與算法的推廣，而H教師不僅強調了運算方法多樣化與最優化，并且強調了計算過程中的“數位”與“進位”等問題；同時兩位教師均設置了考查算法與算理的題目，相比較來看，一班學生的算理理解情況要比二班好，但二班學生的算法掌握情況要比一班好．

4.2 啟示

4.2.1 運算情境的創設應有利于學生對運算對象的理解

全面理解運算對象是施行正確數學運算的前提，也是培育小學生數學運算素養的出發點．運算對象的呈現往往并不獨立，其通常是伴隨著特定的運算情境而引出的，這就要求教師對運算情境的創設應有利于學生更好地理解運算對象．通過比較分析兩位教師的教學過程發現，不同的運算情境創設往往對學生理解運算對象的程度是有差異的，與Y教師相比，H教師創設了與實際生活緊密聯系的運算情境，有助于學生從數學建模的角度更好地理解運算對象．可見，創設恰當且有效的運算情境能夠幫助學生合理辨析數學與現實世界的聯系，啟發引導學生開展數學思考，進而正確地表征數學運算對象．一般來說，有效的小學數學運算情境應滿足以下幾個條件：第一是科學性，即教師應創設科學無誤的運算情境才能有助于小學生正確地理解運算對象；第二是適宜性，即教師創設的運算情境應符合小學生的年齡和認知特點；第三是情趣性，即教師創設的運算情境應緊密聯系小學生的生活實際且有助于提高其學習興趣及激發其求知欲望．

4.2.2 運算方法應基于計算問題解決的實際需要合理選擇

運算方法是運算原理與運算法則在問題解決層面的策略體現，也是完整數學運算過程可持續進行與求得運算結果的關鍵所在．因此，合理地選擇運算方法對解決計算問題有至關重要的作用．通過對兩節同課異構課的比較發現，Y教師引導學生選擇多樣化的運算方法解決問題；而H教師則引導學生選擇估算的運算方法解決問題．由此可見，運算方法的選擇并沒有絕對的標準，一般應基于以下兩個原則去考慮．第一，教師要引導學生根據計算問題解決的實際需要去選擇．如若要解決“購物時收銀員應收多少錢”的問題，可選擇精確計算的方法；若要解決“購物時所帶錢是否夠用”的問題，可選擇估算的方法．第二，教師要引導學生處理好運算方法多樣化與運算方法最優化之間的關系．首先，教師應鼓勵學生針對同一問題盡可能尋求多角度解決的方法，然后，教師應引導學生比較分析不同方法的特點與優劣，做出合理的價值判斷，進而找到解決問題的最佳方法[11]．若有針對性地開展此類解題訓練，無疑會對學生優化運算過程、開啟運算智慧、培養運算思維品質等具有重要的促進作用．

4.2.3 算理與算法在運算中的相互關系及所起的作用應 辯證看待

為了培育小學生的數學運算素養，最重要的是讓學生理解算理，掌握相應的算法．理解算理是整個數學運算得以實施的理論依據，掌握算法是保證學生順利進行運算的關鍵，兩者都是培育小學生數學運算素養的有力抓手，其在運算中所處的地位及所起的作用都很重要，這就要求教師應辯證地看待這兩者的關系．在實際教學中，教師可從理論和實踐兩個層面來把握算理與算法．第一，從理論層面來說，教師需真正理解算理與算法的內涵及關系，搞清楚算理本質上是回答“為何如此算”的問題，而算法是回答“如何去算”的問題．算理是算法的理論依據，算法是算理的提煉和概括，算法必須以算理為前提，算理必須經過算法實現優化，二者是相輔相成的[12–16]．所以應避免出現如Y教師“重算理、輕算法”和H教師“重算法、輕算理”的現象．第二，從實踐層面來說，首先，教師要做出示范，通過典型案例的講解讓學生理解算理與算法的內涵，正確辨析兩者之間的邏輯關系；其次，教師要加強對學生學習過程中的啟發與引導，如通過自主探究、鞏固練習等方式讓學生切身體會算理與算法的關系及作用．

4.2.4 系統地總結與評價運算過程應為獲得良好的運算 成效服務

運算的最終目的是求得精準的運算結果進而取得良好的運算成效，而系統地總結與評價運算過程是達成該目的的有力保障．因此，要保證運算結果的精準得出并獲得良好的運算成效，教師在系統總結與評價運算過程時可從以下4點著手．第一，教師要引導學生系統把握運算環節．一個完整的運算過程主要包括仔細閱讀題目信息、分析題目中蘊含的數量關系、根據數量關系列出算式、對算式的邏輯推理、求得運算結果幾個環節，各環節緊密聯系不可或缺，教師只有引導學生系統把控運算環節的完整性，才能為精準得出運算結果設定前提條件．第二，教師要引導學生科學分析運算要素．完整的運算環節架構固然重要，但教師引導學生對運算系統中諸如運算對象的辨析、運算原理的理解、運算法則的歸納、運算思路的探究、運算方法的選擇、運算結果的表征等要素的科學分析也至關重要，如果這其中的任何一個要素分析出現了偏差，都會影響運算結果的正確性．第三，教師要引導學生自覺養成良好的計算習慣．這些習慣包括仔細審題、正確列式、規范推理、自覺驗證、不斷反思等．第四，教師應樹立積極評價學生運算效果的意識．如教師可采用恰當的方式、激勵性的語言，從運算的態度、運算的創新性、運算的規范性、運算的習慣等方面積極評價學生的計算學習情況，有助于其運算興趣的培養與數學運算素養的提高．

5 結語

總之，小學生數學運算素養的培育不是一蹴而就的，而是一個長期、系統與漸進的過程．明晰運算對象、理解運算原理、掌握運算法則、探究運算思路、選擇運算方法、求得運算結果、反思運算成效這幾個方面既是小學生數學運算素養的構成要素，也是培育小學生數學運算素養的重要舉措．教師在教學中只有根據計算類問題的實際特點與小學生的認知特點，以創設恰當的運算情境為學生問題解決的動機點，以明晰運算對象為學生問題解決的出發點，以理解算理掌握算法為學生問題解決的突破點，以求得運算結果為問題解決的落腳點，大膽實踐、不斷探索、及時總結，才能使數學課堂真正成為培育小學生數學運算素養的“主陣地”．

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Comparative Analysis of Teaching Cases Based on the Cultivation of Primary School Students’ Mathematical Competence Related to Operations——With a Focus on Different Designs of the Lesson on the Topic of Three-Digit Numbers Times Two-Digit Numbers

LI Bao-zhen1, 2, MA Deng-tang2

(1. Research Center for Educational Development of Ethnic Minorities, Northwest Normal University, Gansu Lanzhou 730070, China;2. College of Education, Northwest Normal University, Gansu Lanzhou 730070, China)

This paper reports a study of teaching cases with different designs of the lesson about the topic of three-digit numbers multiplied by two-digit numbers. Based on the requirements of effective teaching of mathematical operations, we conducted a comparative analysis of the lesson with two designs on the topic according to four aspects: the introduction of the operation situation and the understanding of operation objects, the exploration of the operation idea and the selection of operation methods, the analysis of the operation principle and the induction of the operation rule, and the summary of operation results and the evaluation of the effects of operation. We gained the following insights on cultivating primary school students’ mathematical competence related to operations: the creation of operational situations should be conducive to students’ understanding of operational objects; the calculation method should be reasonably selected based on the actual needs of solving calculation problems; the relation and function of the calculation principle and the algorithm in operation should be treated dialectically; systematically summarizing and evaluating the operational process should foster the accuracy of operations.

primary school students; mathematical operation competence; cultivation; same lesson with different designs; lesson comparison

G622

A

1004–9894（2021）02–0008–06

李保臻，馬登堂．基于小學生數學運算素養培育的課例比較研究——以“三位數乘兩位數”的同課異構為例[J]．數學教育學報，2021，30（2）：8-13．

2020–10–18

2018年度教育部人文社會科學研究規劃基金項目——西北民族地區農村中小學教師專業成長支持體系研究（18YJA880039）

李保臻（1972—），男，甘肅莊浪人，教授，博士，碩士生導師，主要從事數學課程與教學論、教師教育研究．

[責任編校：周學智、陳漢君]