少數民族數學文化的理解與建構：基于文化活動的視角

何 偉，桑比東周，董連春

少數民族數學文化的理解與建構：基于文化活動的視角

何 偉，桑比東周，董連春

（中央民族大學 理學院，北京 100081）

探討了Alan Bishop提出的數學文化活動內涵，并從文化活動視角出發，分析藏文化中的計數活動與測量活動，展示文化活動視角下對少數民族文化的理解和建構．在此基礎之上，提出如下建議：第一，基于文化活動視角開展田野調查，建構少數民族數學文化體系，促進中國少數民族數學文化理論的發展；第二，通過文化活動連接少數民族文化與數學課堂，促進數學教學實踐中少數民族文化的融入．

文化活動；少數民族；數學文化；計數活動；測量活動

1 問題提出

數學文化教學對學生數學學習具有重要的積極影響[1-2]，有助于培養學生的數學觀和對數學學習的積極情感，而且能夠讓學生在數學學習中接受文化熏陶，提高學生綜合素養[3-5]．作為中華優秀傳統文化的一部分，少數民族數學文化一直受到數學教育研究者的重視．近年來，中國數學教育研究者針對少數民族數學文化開展了豐富而廣泛的研究[6-7]，取得了豐碩的研究成果[8-9]．中國少數民族文化和日常生活實踐中包含著豐富的數學元素和數學思想．少數民族數學文化的相關研究不僅充分挖掘和展示了中國少數民族優秀文化，積累了豐富多彩的數學文化素材[10-11]，同時也為少數民族文化融入數學教學提供了支撐和保障[12]．同時，西南大學數學文化研究團隊聚焦數學教材開發，在少數民族數學文化融入小學教材方面做了諸多探索研究，取得了豐富的開創性成果[13-15]．

但是，目前少數民族數學文化研究也存在一定的不足．首先，相關研究大多在“局外人”視角下完成．陳向明在討論研究者與研究對象關系時，對比了“局外人”與“局內人”的區別：“局內人”與研究對象有著共同或比較相似的生活經歷、生活習慣、思維方式和行為方式，能夠比較透徹地理解研究對象的思維習慣、行為意義以及情感表達方式；而“局外人”與研究對象往往有著不同的生活體驗，只能通過外部觀察和傾聽來了解“局內人”的行為和想法[16]．陳向明指出，“局外人”沒有長期在本地文化中生活浸潤的歷史，可能很難對當地的人和事中隱含的微妙之處有深刻的理解．當前，中國少數民族數學文化研究領域具有較大影響力的少數民族數學文化與教育研究團隊主要為貴州師范大學呂傳漢、汪秉彝團隊，西北師范大學呂世虎團隊，西藏大學房靈敏團隊，西南大學宋乃慶團隊，中央民族大學孫曉天、何偉團隊[8]等．雖然這些專家團隊均深入到少數民族地區進行大量深入而廣泛的調研，但仍然會不同程度地受到“局外人”視角的限制．

其次，已有少數民族數學文化研究主要關注少數民族文化中承載數學元素的實體，注重從數學知識角度審視少數民族數學文化元素，而對少數民族數學思想探討相對較少．例如，諸多研究分析了少數民族建筑、服飾、飲食、舞蹈、手工藝品中的數學元素（如數字、幾何圖案等），并分析了這些數學元素與數學知識關聯[17]．這些研究提供了豐富的數學情境素材[7，11]，但是難以深入探索少數民族數學文化元素中所蘊含的數學的理解和運用方式，無法全面展現少數民族歷史文化中所孕育的數學思想[18]．

再次，少數民族數學文化融入數學課堂教學實踐仍然缺乏有效途徑．姚閎耀與楊維平指出，當前課堂教學實踐中融入少數民族數學文化的方式主要有兩種：第一，呈現少數民族文化中的數學元素，如民族服飾和手工藝品中的幾何圖形等；第二，在數學問題情境中涉及少數民族背景知識，通過熟悉的文化情境引導少數民族學生從生活情境過渡到數學問題情境[19]．這兩種方式在很大程度上幫助少數民族學生構建了熟悉的文化場景，激發了少數民族學生對數學學習的興趣，增強了對數學學習的動機．但是，這樣的融入方式仍然沒有達成數學知識與少數民族文化的緊密有機結合，難以全面調動學生的復雜認知，同時容易造成少數民族數學元素與數學思想之間一定程度的割裂．

Alan Bishop教授，現為澳大利亞蒙納士大學（Monash University）教育學院榮譽教授，曾在英國劍橋大學教育學院任教長達23年，期間擔任過英國數學教育研究學會（The Mathematical Association，UK）主席、英國皇家學會（Royal Society）數學教育委員等職．Bishop的研究領域之一涉及數學教育的文化與社會層面，包括多語言課堂（multilingual classrooms）的數學教學，國際教育與跨文化教育，主編多部國際數學教育研究叢書[20]．Bishop從“數學活動文化相似性”出發，提出基于文化活動視角的由“局內人”審視和深入理解文化中的數學活動與數學思想，并給出6種具有文化普遍性的數學活動[21]，對于如何彌補中國少數民族數學文化研究的不足提供了一定的啟示．

這里分析、探討Bishop提出的文化活動視角的內涵，并以藏族文化為例，基于文化活動視角分析藏文化中的計數與測量活動，試圖展示如何使用文化活動視角理解和建構少數民族數學文化，并在此基礎之上討論文化活動視角對中國少數民族數學文化研究和數學課堂教學的啟示．

2 文化活動視角的內涵

2.1 數學活動的文化相似性

Bishop認為，對比不同文化的差異時，更加需要注意文化之間的相似性．他指出：“對比不僅告訴我們區別在哪里，而且也使我們認識到相似之處，因為兩種現象之間差異能夠顯現的前提是，它們在某種程度上必須是相似的．”[21]他在跨文化研究中發現，不同文化發展出了不同的語言，但是所有語言的發展都基于同一個活動：溝通交流．受此啟發，Bishop提出了一個平行的問題：“所有文化都發展數學嗎？”在這個問題中，Bishop并非關注不同文化中發展出的數學知識和成果，而是關注數學的產生過程，即哪些活動促成了數學的發展．換言之，Bishop認為數學活動對于數學發展的作用，在一定程度上等同于溝通交流活動對于語言發展的作用．

從文化的相似性出發，Bishop提出數學活動的文化相似性，認為“所有的文化都有從事數學活動的可能性”．他指出，所有文化都包含有數學活動，并且在數學活動中衍生出數學思想．Bishop提出了不同文化所共有的6種數學活動，分別為：計數（counting）、定位（locating）、測量（measuring）、設計（designing）、游戲（playing）、解釋（explaining）[21]．

Bishop指出這6種數學活動對于數學發展具有重要意義，代表了不同文化之間的相似性．所有這些活動背后均為人類社會所處環境中的現實需求，并且這些活動會反過來激發人類社會產生更多的環境需求．這些活動不僅僅把人類與自然環境聯系在一起，同時把人類社會中的個體與集體聯系起來．在參與活動過程中，人類需要調動多種認知過程，并且在活動中不斷提升認知能力．這6種活動在所有文化中均具有很高的辨識性，同時也是現代科學、工程、制造業、貿易、農業等的基礎．以下對Bishop提出的6種數學活動進行簡要闡述．

2.2 6種數學文化活動

2.2.1 計數活動

計數活動是數學發展中最常見的一個活動，也是文化研究中被研究最多的數學活動．雖然目前主要使用阿拉伯數字和十進制，但是不同文化發展過程中孕育出了大量的計數體系．即使在不需要使用非常大數量的社會中，也包含著豐富的計數活動．例如，Harris對澳大利亞土著數學的調查中發現了“一二多”計數體系的普遍使用，幾乎所有的澳大利亞土著民族語言“只包含兩到三個基數詞（cardinal number）”.雖然計數體系并不復雜，但說明了計數活動在不同文化的存在[22]．

2.2.2 定位活動

文化發展過程與人類對空間環境的認識有著密不可分的關聯，海上陸上航行、認識所生活的區域和尋找食物都是基本的生存需求．因此，定位活動普遍存在于不同文化中，其重要意義甚至超過了計數活動．

不同文化社會使用不同的方法來編碼和表征該社會所處的空間環境，這些方法復雜程度不一，會根據所處的地理位置不同而具有不同的側重點．例如，居住在高原地區的一些巴布亞新幾內亞民族，所處環境有非常多的山丘，因此，他們的語言中有不同的詞匯來表示不同斜坡的傾斜度，但其語言卻很難描述“水平”的概念．而生活在海島上的民族在描述“水平”概念方面卻非常容易．定位活動主要與幾何概念有關，該活動所呈現的數學思想被弗萊登塔爾稱為測繪學（topography）[23]．

2.2.3 測量活動

測量是數學思想發展的第三個具有普遍性和重要性的活動，它關注比較、排序，并對具有價值和重要性的對象進行量化．所有文化都認識到某些事物的重要性，但是不同的文化所表現出的重視程度不一樣，這很大程度上取決于當地的環境和需要．

通常地，本地環境提供要測量的對象以及測量單位．例如，人類身體部位可能是第一個被所有文化所利用的測量工具．英文中有ell（6手或24指寬）、cubit（腕尺，古代計量單位，指自肘指尖的距離）、digit（一指寬）、英尺、hand span（手面長度）、pace（步幅）和fathom（兩臂伸展的距離），所有這些都是方便進行的長度測量方式．這些或它們的同類詞在大多數社會都存在．

2.2.4 設計活動

設計活動關注家庭生活、貿易、裝飾、戰爭、游戲和宗教等目的的具有人為痕跡的物品、工藝品和相關技術．另外，設計可以應用于空間環境本身，例如房屋、村莊、花園、田野、道路甚至城鎮．設計的本質在于對自然的改變，即選擇一些自然物體，將其塑造成其它的形狀或樣式．設計活動的過程主要涉及到物體結構的改變，例如，設計者為了突出自然物體的某些部分而選擇剔除“不必要”部分，從而展現設計產品的本質特征．因此，設計活動的主要關注點是從自然環境中抽象出人為所需的物體．

所有文化都有設計，但不同文化設計出來的成品不同，設計的形式也不同．設計的內容取決于設計者的需求（如農業耕作或裝飾）和條件（如可用的材料）．這些需求催生了重要數學思想的出現，例如形狀、大小、尺度、測量以及其它幾何概念．

2.2.5 游戲活動

游戲是文化生活中一個非常重要的方面．所有的文化都包含游戲，世界上存在著大量游戲和玩游戲的記錄．

但是，游戲活動與其它類型的社交活動不同：游戲活動中，人們變成玩家，真實與虛擬之間存在明確的界限，玩家在游戲中必須同意和遵守特定的規則．這些特征在一定程度上是假設性思維的雛形．同時，游戲代表了對現實世界的脫離和抽象．維果茨基認為，游戲對兒童認知發展具有重要影響，因為在游戲過程中，兒童將行動（action）和意義（meaning）兩個概念區分開來，逐步形成抽象思維[24]．

2.2.6 解釋活動

解釋活動超越了對環境的體驗和簡單感知，提升了人類的認知．它把注意力集中在從其它活動中得到的實際抽象和形式化本身．前面提到的5種活動涉及到回答“多少”“在哪里”“什么”“如何做”這些相對簡單的問題．解釋活動是關于回答“為什么”等相對復雜的問題．

最常見的解釋活動是講故事．每一種文化都包含大量的民間故事以及故事講述者．而世界各地都很熟悉“很久以前……”這個詞，雖然實際的措詞可能會不同．從數學思想的發展來看，在講故事的過程中，語言能夠以豐富多樣的方式連接話語，從而催生出豐富的語言“邏輯連接詞”．語言允許命題被合并、擴展、限制、例證、闡述，等等．因此，解釋活動對命題與邏輯語言的形成與發展有著重要影響．

文化活動視角啟發研究者從少數民族文化內部出發，深入分析少數民族文化與日常活動中的數學活動，進而展現“局內人”視角下的少數民族數學文化，為少數民族數學文化研究提供參考和借鑒．同時，該視角提供的數學活動，還能夠建立起少數民族數學文化與數學課堂的關聯，為少數民族數學文化融入數學課堂提供活動素材．

3 文化活動視角下藏族數學文化田野調查：以計數與測量活動為例

基于文化活動視角，這部分主要解決以下問題：藏文化中有哪些與計數和測量有關的數學活動？

3.1 研究地點與研究對象

選擇了四川省阿壩州牧區一個純牧民部落進行田野調查，該部落包括三百多戶牧民．選擇該部落作為研究地點，還基于以下幾個原因．

首先，文章第二作者為藏族，來自四川省阿壩州牧區，作為“局內人”從小生活在牧區，熟悉藏族牧區生活實踐，對藏族牧區的語言與文化非常熟悉．其次，該村落的地理位置偏僻，人口流動較少，較好地保存了藏族文化特色．同時，當地許多年輕人依舊以放牧為生，很好地繼承了藏族的傳統文化．

收集四川省阿壩州牧區牧民在日常生活中有關計數與測量的實踐活動．在觀察的基礎上也有對部分人群進行簡短的訪談，并選擇6人進行了進一步的深度訪談．其中4位為男性，2位為女性；年齡最小的為31歲，最大為82歲．受訪對象均為當地土生土長的牧民，沒有長期離開過自己的家鄉，沒有上過學．

3.2 研究方法與數據收集

主要使用文獻分析法和田野調查法．

3.2.1 田野調查法

研究者深入選取的村落并居住兩個月，觀察并參與村民日常生活中有關計數與測量的生活實踐活動，同時針對這些活動與村民進行個案訪談．

3.2.2 文獻研究法

查閱有關藏族數學與文化的相關文獻，梳理藏文化中與計數和測量有關的活動以及背后的文化思想．主要參考的藏文著作與典籍包括：《東噶·洛桑赤列文集（藏文）》[25]，《格薩爾王精選本（藏文）》[26]，《諾章·吾堅文論集（藏文）》[27]，《俱舍論注釋（藏文）》[28]，《天文歷算學（藏文）》[29]．

下面討論的兩種數學活動，來源于田野調查，并從上述藏文化典籍中得到印證．

3.3 藏族文化生活的數學計數活動

藏文化中，計數法主要根據計數工具不同，有結繩計數法、刻木計數法、畫痕計數法、手指計數法、念珠計數法和石子計數法等，其中結繩計數法、刻木計數法、畫痕計數法是在藏區還沒有書面文字前主要使用的計數法．而如今，藏區日常實踐活動中常見的計數活動主要有念珠計數、石子計數、數字3作為基數的計數、“數牛”計數．

3.3.1 念珠計數

這種計數方法是最常用的計數方法．念珠是藏族人最常用的一種計數工具．在日常生活中計算各種事物，時常會取下佩戴在脖子上或手上的念珠進行計數和簡單的加減計算．使用念珠計數最大可以數到億．

（1）念珠的構造．

圖1為當地牧民的念珠及其示意圖．念珠的實物圖在當地牧民家中拍攝，為了便于說明念珠的計數方法，念珠示意圖中標記了表示各數位的珠子名稱．念珠有6個組成部分，分別是“頂珠”“百位珠”“千位珠”“萬位記子”“百萬位珠”以及其它108顆普通珠子．頂珠位于中間，并且最大．念珠總數108顆，每撥動一顆計數一次．

圖1 阿壩州牧區藏民所使用的念珠與念珠示意圖

“百位珠”“千位珠”分別位于頂珠左右兩側，由兩根帶子組成，每根帶子分別附有10顆珠子，稱為“扎木”（????）．兩根帶子中，末尾帶有鈴鐺式樣的常用來計算百位，為“百位珠”（????????????????????????????）；末尾帶有金剛式樣的常用來計算千位，為“千位珠”（???????????????????????????）．計數滿100次，“百位珠”撥動一顆；“百位珠”共10顆，撥動10顆后，對應“千位珠”撥動一顆．

念珠中間附有一條細繩，稱為“萬位記子”（?????????????????????????），計數開始時，“萬位記子”在頂珠一側緊挨著頂珠，隨著計數的進行，每計數1萬，“萬位記子”位置順次移動一顆珠子．同時，念珠還附有一個金屬夾片，為“百萬位珠”（???????），計數開始時，百萬位珠在頂珠一側緊挨著頂珠，隨著計數的進行，每計數100萬，百萬位珠位置順次移動一顆珠子．

（2）念珠計數具體方法．

用念珠計數的具體方法是：從頂珠一側開始，用大拇指往頂珠撥動一顆珠子，計數一次，當拇指到頂珠的另一側時，計數為108次，近似記為100，稱為“一個珠圈”（??????????????），此時把“百位珠”上的小珠子往上撥動一顆，表示一個100．此后，在此從頂珠一側開始，繼續計數，依此循環進行．

當把“百位珠”的10顆小珠子都往上撥完后為10個100，即為1?000，稱為“一個十圈”（?????????????），此時再把“千位珠”上的小珠子往上撥動一顆．當把所有“千位珠”的10顆小珠子都往上撥完后為10個“十圈”，即為1萬．此時把“萬位記子”從頂珠一側往另一側移到一顆珠子前．

當“萬位記子”移動到頂珠的另一側時為108個1萬，即為108萬，近似記為100萬．此時把“百萬位珠”從頂珠一側往另一側位移到一顆珠子前．依此進行下去，當把“百萬位珠”移動到頂珠的另一側時為108個100萬，即為“一億零八百萬”，近似記為1億．這樣，很多藏族人即使不識字，也能通過從100到1億算得很清楚．

計數過程中，體現了進制與近似的思想．普通念珠撥動108次為一個循環，近似記為100，“百位珠”撥動一顆珠子；10個循環為10個100，記為1?000，“千位珠”撥動一顆珠子；100個循環為10個1?000，記為10?000，“萬位記子”移動一個位置；10?000個循環之后，萬位記子移動108次（近似記為100次），計數100萬，此時“百萬位珠”移動一個位置．當“百萬位珠”移動108次（近似記為100次）后，計數1億．

（3）念珠計數中的進制．

在使用念珠進行計數的過程中，十進制和百進制兩種進制交替使用．

首先，念珠計數中使用了百進制．普通念珠每撥動100次記為100，此時“百位珠”上撥動一顆珠子．

其次，念珠計數中使用了十進制．“百位珠”上的一顆珠子表示100，“百位珠”撥動10顆珠子后，為1?000，此時“千位珠”上撥動一顆珠子；“千位珠”上的一顆珠子表示1?000，“千位珠”撥動10顆珠子后，為10?000，此時“萬位記子”移動一次．

再次，念珠計數中使用了第二次百進制．“萬位記子”移動一次為1萬，“萬位記子”移動100次記為100萬，此時“百萬位珠”移動一次；“百萬位珠”移動100次，為1億．

3.3.2 石子計數

在藏區家庭和寺院中經常可以見到石子計數的情景，如圖2所示．

圖2 藏區家庭中的小石子

用于計數的石子總共20顆，分上下兩個區域（也有分左右區域的）并分別放置10顆石子．計數活動開始時將這兩個區域的石子放置于各區域的左端．每計數一次人們將下方區域的一顆石子往右放，計數滿10次，則下方區域的10顆石子都在右側．此時，將上方區域中的左邊的小石子往右邊放置一個，表示10，然后又將下方區域的石子每計數一次往左放一顆．計數滿10次，下方區域的10顆石子都在左側，即為第二個10、以此類推，第三個10、第四個10……當上方區域的10顆小石子都放置在右側時，表示總共計數100次．

整個計數過程用的都是十進制的方法．即上方區域的一顆石子表示“10”，而下方區域中的一顆石子表示“1”．

3.3.3 數字3作為基數的計數

在藏文化中，數字3被認為是一個很吉利的數字．同時，數字3作為基數在藏區日常生活中的應用十分廣泛．日常數一些事物的數目時，常常會使用數字3作為基數，并且對數字3以及3的倍數都能迅速說出來．

需要數較多的牛或羊時，很多人會“三，六，九，十二，十五，……”這樣三個三個數，并且數得很快．此外，談論年齡時也經常使用數字3．比如，藏族諺語中，“男大五三一十五1藏語中，語序為“五三一十五”而非“三五一十五”，本文保留原始語序。時，不問父其法；女大五三一十五時，不求母其食（????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ????）．男大五三一十五時，可馭“寶鳶”駿馬；女大六三一十八時，可辨牛奶之溫（????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????）．女滿六三一十八歲，是適嫁人非獨守（?????????????????????????????????????????????????????????????????????）”．

父母教育孩子時，也經常能聽到這樣的話，“你都已經五三一十五（六三一十八）歲了，怎么還這樣呢？”等，而不直接說15歲或18歲．

3.3.4 數牛計數

藏族牧區，人們生活依靠飼養家畜，主要有牛、羊、馬等．為了防止丟失，需要定期清點數目．其中馬的數目一般比較少，多數家庭只有不到10匹或10~20匹左右，所以一看便知．羊因其天性基本不會有離開羊群的現象，所以一般情況下，“數羊”活動比較少見．牛的數目比較大，藏區牧民需要定期清點牛群中牛的總數目，如果發現牛的數量不夠，還需要知道牛群中到底缺少哪些牛．為了這樣的實際需求，藏族牧民就有了一套大家基本共用的清點牛群的方法，稱為“數牛法”（?????????）．“數牛法”最大的特點是牛群按一定的標準分類，然后再進行分類計數．

數牛法中，對牛具體分類的方法如下．

（1）母牛首先按是否帶有小牛分成兩類：無帶小牛的母牛，統稱為“干母牛”（?????????）；帶有小牛的母牛，統稱為“帶小牛的母牛”（???????）．

（2）“帶小牛的母牛”又按它的小牛的歲數來分成兩類，母牛一般兩年生一次小牛，所以分為帶有0歲小牛的母牛，統稱為“帶犢母牛”（??????????），帶有1歲小牛的母牛，統稱為“帶‘亞’（?????為一歲小牛的統稱）母牛”（????????）兩類．

（3）其余的0~7歲按年齡來分類，0歲的小牛統稱為牛犢（????????），1歲的統稱為“亞熱”（?????），2歲的牛統稱為“單牙”（???），3歲的牛統稱“雙牙”（????????），4歲的牛統稱為“四牙”（???????），5歲統稱為“六牙”（???????），6歲的牛統稱為“齊牙”（??????）．2歲和3歲的牛又按性別分類，分為“單牙”母牛，“單牙”公牛，“雙牙”母牛，“雙牙”公牛．從4歲開始母牛就會生小牛，所以按母牛的分類標準分類．

（4）一般公牛到了7歲以后會賣掉很多，只留幾頭作為運輸工具的公牛，統稱為“馱牛”（??????）．

數牛過程中體現了分類的思想，牛的分類有嚴格的標準，使得整個計數過程變得有序且不易出錯．

3.4 藏族文化生活中的數學測量活動

藏區日常生活中普遍使用的測量活動主要有4種：長度測量、重量測量、面積測量、體積測量．限于篇幅，這里主要討論長度測量，包括物體長度的測量和時間長度的測量．

3.4.1 物體長度的測量

在藏族文化中，物體長度測量單位從最短的“極微塵”到最長的“壩克蔡”，一共有16個單位．這16個單位又分為兩類，前7個單位稱為“細致”的測量單位（???????????????），后9個稱為“粗略”的測量單位（???????????????）．

“細致”的測量單位：極微塵（???????????）、微塵（?????????）、金塵（??????????）、水塵（????????）、兔毛塵（????????????）、羊毛塵（?????????）、牛毛塵（?????????）．“粗略”的測量單位：日光塵（????????）、虱子蛋（??????）、虱子（???）、青稞粒（????????）、指節（???????）、肘（????）、弓（?????????）、江查（??????????）、壩克蔡（???????）．單位之間相互換算關系如下．

在藏區日常生活實踐中最常用的長度測量單位有：指節、卡、肘、弓、江查和壩克蔡，這些都基于藏族日常生活中的實物，下面進行具體介紹．

（1）指節．

指節是藏文化中最基本的測量單位之一．1指節為1一個手指的寬度，約為半寸．常用4個長手指一起來測量，為4個指節，如圖3所示．

（2）卡．

1卡即大拇指尖和食指尖張開的長度．這是測量比較小的物體長度的最常用的一個長度單位．圖4為當地裁縫正在以卡為單位測量布料．

圖3 四個指節

圖4 卡

（3）肘．

1肘即從中指尖到肘彎處的長度．看書時，書與眼睛的距離要有一肘之長（如圖5）．

（4）弓．

1弓即成人兩臂左右平伸時兩中指尖張開的距離．這是藏區最常用的長度單位．圖6為當地婦女正在用弓測量衣服．

圖5 肘

圖6 弓

例如，在做帳篷時，要使用弓、卡、指節這樣的長度測量單位．開始做牛毛線用弓來測量線的長度，做完線后，紡織牦牛毛布料也用弓來測量布的長度，最長的有18弓，一位勤勞的婦女一天最多能紡織2弓，所以18弓長度的布能在10天內織完．而布料的寬度則用卡來測量，一般做搭帳篷的牦牛毛布料的寬度在3卡左右．裁剪布料過程中則用弓來測量，比如帳篷的長度、寬度和線條長度．帳篷左右相連的線長度則用卡，一般控制在左右各一卡半，總長3卡．還有一些線頭和角落的設計細致到用指節來測量．圖7為一個藏區帳篷．

圖7 牧區帳篷

（5）江查．

1江查有兩種解釋法，一種是1個江查的長度為500個弓，而另一種民間說法是一個音量較大之人的喊聲所能傳達的距離．比如：由于僧人和普通人在生活習慣上有很大的不同，所以在藏區，一般寺院與村落的距離至少要有1江查的距離．按統一長度單位，1江查約為1公里．

（6）壩克蔡．

1壩克蔡長度為8個江查，是藏文化測量單位中最大的單位．在很多藏族民間故事里經常見到“從一個國家走了多少多少千壩克蔡后到了另一個國家，又走了多少多少千壩克蔡后到了另外一個國家”這樣來描述國家與國家之間的距離．

除了上述的長度測量單位外，在藏區也有一些其它的長度測量方法，像聲音、視野、馬程、射程等．在描述與鄰居的距離時常常會“喊能聽的見，望能看得見”．兩地的距離常常用步行或馬程等來計算，比如“阿壩到拉薩的距離有一個人兩個多月徒步的路程”“從夏季牧場到寺院的距離有一個人一天的腳程”“夏季牧場到冬季牧場有半天的馬程”“毛兒蓋到拉卜楞寺的距離有一匹駿馬18天的馬程”，屬于安多藏區四大草原之一的熱爾草原據說就有一天馬程的長度．因此也有一句“人情世故只有深思才知道，路的長度只有走了才知道（?????????????????????????? ?????????????????????????）”這樣的諺語．

3.4.2 時間的長度

關于時間的測量主要集中在藏族歷算．藏族歷算中主要有；息（?????）、漏分、漏刻、晝夜、月、年、饒迥（一饒迥為60年）．

其中，“息”定義為壯年男子一呼一吸所需的時間．藏族歷算學中測定一晝夜為21?600息，即每分鐘15息．藏族歷算中，測量單位的換算關系為：

1晝夜=60個漏刻；1漏刻=60漏分；1漏分=6息．

在日常生活中，藏族人白天主要以太陽的位置作為時間點，而晚上主要看月亮或星星．比如，人們常說：“初八的月亮照明至上半夜，下半夜晨明星照亮至天亮．”還有一些牧區婦女通過一種會在凌晨4點左右鳴叫的鳥聲作為鬧鐘，聽到這種鳥叫聲就起床開始擠牛奶．還有一夜時長為“肉眼看手心的紋理，從看不見手心紋理到看得見手心紋理為一夜時長”等．

藏族文化中，最短的時間叫“一瞬間”（??????????），定義為壯年男子打響指速度的六十五分之一，并有著“時間極限一瞬間”（???????????????????）的說法．

3.5 小結

基于文化活動視角，由“局內人”主導對藏文化中計數與測量活動進行分析．藏族文化生活中念珠計數、石子計數、“數牛”等計數活動體現了藏族文化中的進制、近似和分類討論思想；藏族文化生活中物體長度測量和時間長度測量活動體現了藏族文化對長度的認識和對度量衡的數學思考．

4 對少數民族數學文化研究與課堂教學實踐的啟示

文化活動視角沒有局限于少數民族文化中數學元素的呈現，而是聚焦少數民族文化生活與數學的緊密聯系，分析少數民族文化生活中如何使用數學知識，進而體現了少數民族文化中的數學思想．下面討論文化活動視角對于中國少數民族數學文化研究和課堂教學實踐的啟示．

4.1 基于文化活動視角建構少數民族數學文化體系 促進少數民族數學文化理論的發展

為了進一步促進中國少數民族數學文化研究，可以考慮基于文化活動視角開展以“局內人”主導的田野調查和文獻研究，以數學活動為載體對少數民族數學文化進行理解和建構．首先，研究人員構成上，應當以具有共同文化背景的“局內人”為主體，盡可能全面準確地展現“局內人”對本民族數學文化的理解．其次，在研究方法上，“局內人”需要深入到能夠體現本民族文化生活的場所和情境中進行較長時間的跟蹤調查，對本民族文化生活活動進行細致地梳理、理解和反思，并與本民族文化的傳承者進行個案訪談，同時還要查閱與本民族文化有關的典籍文獻．最后，在研究結果呈現上，通過綜合田野調查和文獻分析，聚焦6種數學活動，全面梳理本民族文化中的6種數學活動并反映活動背后的數學思想．

最終可以針對每個特定少數民族構建以6種數學活動為載體的少數民族數學文化體系，不僅可以展示某一民族的數學文化特征，同時能夠在不同民族中的優秀數學文化之間建立有機聯系，橫向對比不同少數民族文化中同一類型數學活動的相似之處和各自特點，實現不同少數民族數學文化的多元整合，形成多元統一的少數民族數學文化體系，進而從整體上推動中國少數民族數學文化理論的進一步完善．

另外，Bishop在討論6種數學活動種類時指出，不同文化之間共有的數學活動可能不止6種，通過對數學文化活動的進一步研究可能會補充更多的數學文化活動．中國具有較為豐富的少數民族文化資源，能夠支撐對Bishop數學文化活動類型的拓展和豐富，構建除了6種數學活動以外的其它活動類型，進一步完善數學文化活動理論．

4.2 以數學文化活動為載體 促進數學教學實踐中少數民族文化的融入

數學教學實踐中融入少數民族文化的關鍵在于加強數學課程內容與少數民族文化中的數學思想之間的聯系[30–32]．數學文化活動能夠在少數民族文化與數學課程之間建立起溝通的橋梁．Bishop提出的6種數學文化活動，均與中小學數學課程內容有著密切的聯系．例如，計數活動與數學課程中數的認識、數的運算相關，測量活動與幾何圖形、時間的認識等相關．因此，通過數學文化活動建構少數民族數學文化體系，本身就包含活動屬性，提供了與數學課堂融合的情境和載體，能夠將少數民族數學思想融入到數學課堂教學中，不僅讓少數民族學生感受到數學與生活的緊密聯系，同時能夠讓學生從文化層面認識和理解數學．

一方面，基于多元統一的少數民族數學文化體系，建立豐富多樣的數學文化活動教學資源庫．教學資源庫以數學文化活動為主體，圍繞不同數學內容創設適用于中小學課堂的數學活動方案．學生在完成不同數學活動的過程中，體會不同民族的數學思想并在此基礎上建構對數學知識的理解．

另一方面，已有研究表明教師數學文化素養是培養學生文化素養的決定性因素[33–34]，因此可以考慮將數學文化活動理論及其研究成果加入到全國數學師范生培養和教師培訓課程體系中，加強教師數學文化素養，提升數學教師對中華民族優秀文化的認識和理解，推動中華民族優秀文化在數學課堂教學中的融入，最終促進學生文化素養的提升．

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Interpreting and Constructing Mathematics Culture of Ethnic Minorities: A Perspective of Cultural Activity

HE Wei, Sang Bi Dong Zhou, DONG Lian-chun

(College of Science, Minzu University of China, Beijing 100081, China)

This article introduces the mathematical cultural activity theory proposed by Alan Bishop and analyzes counting and measuring activities in Tibetan culture from the perspective of cultural activities in an effort to show how to use the perspective of cultural activities to interpret and construct ethnic minority culture. It discusses the implications of cultural activities for the research of mathematics culture of ethnic minorities and for mathematics classroom instruction. This article proposes the following suggestions. First, studies should carry out field surveys based on the perspective of cultural activities, a system of ethnic minority mathematics culture should be constructed, and the development of ethnic minority mathematics cultural theory should be promoted. Second, ethnic minority culture should be connected with mathematics classrooms through cultural activities to promote the integration of ethnic minority cultures in mathematics classroom practice.

cultural activity; ethnic minorities; mathematics culture; counting activity; measuring activity

G752

A

1004–9894（2021）02–0071–07

何偉，桑比東周，董連春．少數民族數學文化的理解與建構：基于文化活動的視角[J]．數學教育學報，2021，30（2）：71-77．

2021–02–23

中國基礎教育質量監測協同創新中心重大關注課題——數學文化對小學生數學素養發展作用的測評研究（2016-06-009-BZK01）

何偉（1963—），女，蒙古族，黑龍江齊齊哈爾人，教授，主要從事數據挖掘、少數民族數學教育研究．董連春為本文通訊作者．

[責任編校：周學智、陳雋]