核心素養視域下的不等式教學設計

廣東省東莞市東莞中學(523005) 趙銀倉

廣東省東莞市第六高級中學(523005) 黃佑鋒

1 問題起因

代數問題可分為等式問題與不等式問題,等式問題學生在分析中往往借助有關公式、定理、性質進行變形與轉化,化歸為熟悉的問題加以解決,找到解決問題的切入點.但不等式問題一般不直接套用公式,變形方向不容易找到,困難性自然就增大了.可見,不等式問題是高中數學的一個難點,因其推理要求較高,聯想知識遷移用于問題解決難度大,學生在學習中普遍感覺到有較大的困難性.在和學生訪談中發現普遍存在這樣的問題,做課本中習題不覺得特別難,但遇到課外練習題又感很困難.在教材中只講了基本不等式,在解決不等式有關問題如證明、求最值、求范圍等問題時大多要使用基本不等式,通過邏輯推理運算求解.研究不等式問題,解決方法的選擇大多與問題的結構有關,不同的結構要選擇與其對應的方法才能夠推理分析,變形求解.只掌握基本不等式,對一些問題的解決來說困難重重,不僅推理繁雜,而且有時望洋興嘆,無計可施,真有一籌莫展之感.如何在教學中提高學生在解決不等式問題時的邏輯思維、推理論證、運算求解能力,發展邏輯推理素養? 在教學的實踐中很多老師都在關注思考解決這個問題的方案.

2 教學案例

以人教A 版為例,課本上把一些常用的重要的不等式編入在定理、例題、習題中,在教學中若能將其中一些重要的結論加以適度的拓展延伸并能應用,讓學生在遷移知識用于解決問題的過程中將知識與方法融匯貫通,達到課內所學基礎知識與方法能夠分析和解決課外所遇到的問題,消除學習中的困惑,提高分析問題和解決不等式問題能力,提升邏輯思維、推理論證、運算求解等數學素養.下面以單元復習課“基本不等式的拓展及應用”的教學過程的設計為例來說明.

2.1 定理拓展,變式推廣

前面同學們已經學過基本不等式,對于解決有關兩數平方和與兩數積之間的關系問題,特別是兩個正數的算術平均數與幾何平均數的關系問題會非常方便.對于問題中出現了兩個以上變量的問題,則無效直接應對,因此需要探究基本不等式的拓展與推廣.

拓展: 已知a,b,c,d都是正數，且ad /=bc, 求證:(a2+b2)(c2+d2)＞(ac+bd)2.

注: 此結論為課本習題,普通高中課程標準實驗教科書《數學·選修4-5 不等式選講》(人民教育出版社A 版)中第23 頁第2 題.

證明:

等號成立, 須a2d2=b2c2, 但已知ad /=bc, 故等號不成立,所以(a2+b2)(c2+d2)＞(ac+bd)2.

由上面的證明可以看出,當ad=bc,不等式可以取得等號.

拓展為兩組平方和的積的問題,為二次不等式.將二次降為一次,對解決一次類似問題會簡單直接.

變式: 已知a,b,c,d都為正數, 則(a+b)(c+d) ≥當且僅當ad=bc即時等號成立.

變式是一個非常典型的不等式模型,使用這個不等式使許多結構與它一致或相近的不等式問題會得到非常簡便的解決.

推廣: 已知a,b,c,d,e,f都為正數, 則(a+b+c)(d+e+f) ≥, 當且僅當時等號成立.

從二元到三元結構的推廣,使學生深受啟發,可以建構多元結構的類似不等式,也可以嘗試用相似的方法證明,從而提升學生的思維深度,提升學習能力和思維品質.

2.2 深度應用,訓練思維

前面得到的拓展、變式和推廣不等式,它們的結構簡潔,形式優美,容易記憶.作為定理應用于解決其它問題便于聯想找到解決問題的思路,可作為橋梁,容易發現已知與結論之間的聯系通道,溝通彼此,知識融合,思維發展.下面分類探究,便于總結揭示內在規律.

2.2.1 探究某些類型的不等式的證明

例1證明下列不等式,并說明等號成立的條件.

(2) 設正數a,b滿足a+b= 1,求證:并說明等號成立條件.

證明(1)因為

設計意圖此例是訓練學生能在較復雜的問題中發現使用變式不等式的結構,進行推理論證.兩個小題結構總體一致,已知兩個正數的和為定值,求與這兩個正數有關的兩個式的和或積的最值問題.訓練學生通過觀察、聯想、變形、推理等思維過程,分析問題結構特征,與已知之間的聯系,運用變式不等式求證.第(1)小題, 訓練學生能通過觀察發現特點: 待證不等式左端式子中兩個分式的分母都為正數,而且之和為常數;兩個分式的分子和分母都是一次式.基于兩個特點,可對不等式左瑞進行分拆變形,找到可以使用變式不等式的形式.此小題形式及系數設計,在推理及運算中有一定的困難性,其目的就是增強學生思維的難度,訓練學生的數學理解能力及推理能力,同時要讓學生體會到對于復雜的題目往往要通過對已知或求證進行變形才能找到之間的聯系.第(2)小題要進行兩次不等式處理, 在應用變式不等式后,還要再次使用或用基本不等式,在不等式傳遞的過程中要注意等號能夠成立.雖然還有其它解法,但這種解法顯得更為簡潔.旨在訓練學生能廣泛聯想,嚴謹慎密推理.

2.2.2 探究某些類型的最值問題

例2(1)求函數y=的最大值.

教師常去關注學生的“成功”，而卻易忽略學生的“錯誤”。公式的應用不熟練會導致學生解題出錯，教師要抓住學生的錯誤之處，有意制造錯誤，以加深學生對公式的理解把握，有利于培養學生思維的深刻性。學生在思維不全面時，會有遺漏特殊問題的情況出現，這會導致解答的不完整，教師要引導學生剖析這種“以偏概全”，分析出錯的原因，培養學生思維的嚴謹性。如在求圓的兩條平行弦之間的距離時，學生往往只考慮兩弦在圓心同側這種情況，而忽視了兩弦在圓心異側的情況，導致解題不嚴謹。

(2)設正數a,b滿足0＜a ＜1,0＜b ＜1,且求的最小值.

解(1)y2=(32+42)(2x ?1+5?2x) ≤100, 所以y≤10, 等號成立當且僅當因此,當時,y的最大值為10.

(2) 因為正數a,b滿足0＜ a ＜1,0＜ b ＜1,且所 以(1?a) + (1?b) = 2?(a+b) ≤, 等號成立當且僅當a=b.因為((1?a)+(1?b))≥4, 等號成立當且僅當(1?a)2= (1?b)2,即a=b.因此等號成立當且僅當a=b.所以,當時,u取得最小值

設計意圖此例是訓練學生能在條件隱蔽的問題中發現隱性關系,使用變式不等式推理運算,求解最值.第(1)小題,旨在訓練學生的觀察能力,培養思維的靈活性.要能從問題中挖掘出隱含條件: 兩個根號下的兩個式子都非負,它們的和為定值,逆用變式不等式求解.本例中若用導數完成,運算量會偏大,應用變式不等式則十分簡潔,這類問題有時要圍繞拼湊系數來進行變形.第(2)小題, 旨在訓練學生深度觀察、廣泛聯想和綜合分析能力,深度學習的能力,培養思維的發散性與深刻性.聯想到用變式不等式能實現由兩個倒數和到一個倒數的結構轉變,再應用基本不等式與條件聯系起來.

2.2.3 探究某些類型的參數的取值問題

例3(1) 對于任意的正實數x,y, 不等式恒成立,求實數a的取值范圍.

(2) 若正實數a,b,c滿足求的取值范圍.

解(1)由題設知對于x=y= 1, 不等式成立, 所以又因為x,y為正實數, 所以(x+y)(1+1) ≥即綜上,所求實數a的最小值為

等號成立當且僅當a=c.因此得0, 解得,等號成立當且僅當a=c且,解得所以正實數的取值范圍是

設計意圖此例是訓練學生能通過變形化歸,使用變式不等式求解參數的范圍.第(1)小題,旨在訓練學生的化歸及思辨能力,培養思維的靈活性與創新性.這個解法頗有新意,由特殊值發現成立的必要性,用結論則證明了其成立的充分性,改變了往往能夠觀察到a取能夠成立,但為什么最小卻說理不充分的窘迫.第(2)小題, 旨在訓練學生的深度聯想,創新建構不等式分析問題與解決問題的能力,培養思維的深刻性與創新性.此題難度較大,使用變式不等式構造了二次不等式,實現了問題的突破,另解是在深層觀察的基礎上,變形分拆,使用變式不等式化為二次不等式求解問題,培養學生綜合分析能力,邏輯推理能力及創新能力.

2.2.4 探究某些特殊結構的競賽數學問題

例4(1)求函數的最大值.

(2) 設a,b,c均為正數, 證明:a2+b2+c2+并確定a,b,c為何值時, 等號成立.

所以,y≤11,等號成立當且僅當x+27=9(13?x)=4x,解得x=9.因此,當x=9 時,y的最大值為11.

(2)證明: 因為a,b,c均為正數,所以

設計意圖此例是訓練學生能通過化歸使用推廣不等式解決特殊結構的競賽數學問題, 旨在訓練觀察與聯想能力,培養學生思維的開放性與創新性.第(1)小題,通過系數的拼湊,構造推廣不等式的結構是解決這類最值的常用方法,注意選擇系數能夠使含有一個未知數的方程組有解,滿足等號成立.第(2)小題,訓練學生整體思維策略,從研究三個元的平方和與它們之間倒數和的平方之間的聯系入手,自然想到將用推廣不等式將三元平方和轉化為三元和平方,訓練學生思維的廣度、寬度與深度.

2.3 課堂檢測,評價教學

1.設a ＞0,b ＞0, 若是3a與3b的等比中項, 則的最小值為____.

2.設x,y ∈R,則函數的最小值為____.

3.設x,y為實數,若4x2+y2+xy= 1 則2x+y的最大值是____.

4.若a ＞0,b ＞0,a+b=2,則下列不等式對一切滿足條件的a,b恒成立的是____(寫出所有正確命題的編號).

設計意圖通過課堂練習檢測學生對三個重要不等式的掌握情況,學生在練習中增強分析問題與解決問題的能力及理性思維能力,在聽取教師評講的過程中完善知識,難度適中.

3 教學思考

3.1 邏輯推理素養的落實源于教學中讓學生弄清知識間的邏輯關系

數學是高度邏輯化的學科,知識的發生、發展與形成都離不開邏輯,數學的定理是在概念與原有知識的基礎上經過邏輯推理產生的,數學知識間都存在著某種邏輯關系內在緊密聯系著.學習數學,就是要理順弄清知識間的內在聯系,不僅要學習知識,更是要提升邏輯思維的能力.數學教學,就應引導學生探究知識間內在邏輯關系,使知識融合為一體,明白知識的來龍去脈,數學知識與數學方法間的關系,在學生解決有關問題時才能得以應手地使用知識和方法去分析問題,尋找解決方案,在思考與表達時做到“重論據、有條理、合邏輯”,更好地發展邏輯推理素養.

3.2 注重不同推理形式的應用及教學評價,促進邏輯推理素養發展

“數學是鍛煉思維的體操”,學習數學,能使學生增長知識形成能力,同時能促進思維的發展,促進形成使人終身受益的邏輯推理素養.思維的發展離不開邏輯推理,數學推理形式有合情推理和演繹推理,它們在思維的發展中相互補充,互相促進.合情推理中的歸納推理實現特殊到一般的猜想,而類比推理實現由此到彼的推斷,這兩種合情的想象為科學的發展插上了翅膀,使我們在現有認知基礎上猜想或推斷可能正確的結論.而演繹推理幫助我們辨別猜想或推斷的真偽,去證明其成立性或找出反例說明其錯誤性,可見在教學中要注重不同推理形式的應用,以促進思維的全面發展.在教學中會發現學生經常出現推理的錯誤或不嚴謹的思維方式,要重視學生課堂回答問題或課后解答問題的評價,讓學生明白自己錯誤的根源,達到表達規范,思維慎密,推理嚴謹,合乎邏輯,以促進邏輯推理素養的發展.