“球的體積公式及其應用”的教學設計、實踐與反思

上海市格致中學(201401) 林佳樂

上海市黃浦區(qū)教育學院(200023) 徐慶惠

1 教學目標和教學重點、難點

1.1 教學目標

(1)會運用祖暅原理推導球的體積公式; 會解決與球的體積有關的問題.

(2)經(jīng)歷運用祖暅原理構(gòu)造輔助體的過程,體會化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想;對球體積公式的應用,加強空間想象能力及運算能力.

(3)感受數(shù)學的文化價值,發(fā)展探索精神.

1.2 教學重點

利用祖暅原理推導球的體積公式;球與正方體、正四面體的幾個特殊的位置關系的問題.

1.3 教學難點

構(gòu)造符合祖暅原理條件的幾何體的過程.

2 教學過程(片段)

2.1 探究新知

已知球的半徑為R,求球的體積V.

師: 我們需要利用祖暅原理,祖暅原理中關鍵是兩個幾何體底面積相等,高相等,而球沒有底面,所以我們先來求半球的體積.

問題1: 我們根據(jù)祖暅原理,來推導半球的體積公式,那么我們需要構(gòu)造一個怎樣的幾何體呢? 這個幾何體需要滿足什么條件呢?

生1: 在任意等高處用一組平行平面去截兩個幾何體時,截面面積相等.

師: 那么也就是說這兩個幾何體符合祖暅原理的條件對不對?

生2: 對的.

師: 好,另外該幾何體體積應該可求的,所以我們需要借助熟悉的幾何體.該幾何體與半球夾在兩個平行平面之間,即要求該幾何體與半球等高.

(ppt 展示)我們知道該幾何體高應該是R,當用平行于底面的任意一個平面去截半球,我們思考下所得的截面面積如何求? 設截面與底面之間的距離為h(0＜h ＜R),我們用已知R和h表示面積S1,

師: 首先想想看截面是什么圖形?

生2: 是圓.

師: 那么這個圓的面積S1如何表示?

生2:S1=πr2=π(R2?h2).

師: 我們看這是兩項的差πR2?πh2, 可以表示什么圖形的面積差呢?

生2: 表示圓環(huán)的面積.

師: 非常好,具體來說這是兩個半徑分別為R和h的圓的面積之差,即圓環(huán)的面積.(ppt)

師: 而截面為圓的幾何體我們會想到什么幾何體?

生: (部分同學)圓柱和圓錐.

師: 好的,那么我們來看同底等高的圓錐和圓柱,觀察同底等高的圓錐、半球、圓柱,這三個截面,(h變化時截面變化幾何畫板動態(tài)演示)

我們發(fā)現(xiàn)圓柱截面面積是不變的,而圓錐的截面面積隨著的增大而減小,接下來同學小組討論一下,構(gòu)造怎樣的截面使得截面面積是πR2?πh2呢? 請同學們構(gòu)造一下這個幾何體.

問題2:πR2表示圓柱的截面,那么πh2這個圓在哪里?

學生小組討論

師: 你們找到πh2了嗎?

生3: 這個幾何體應該是圓柱里面挖去圓錐.

師: 能不能說明為什么?πh2在哪里?

生3: 圓錐的截面面積.

師: 圓錐的頂點和截面上的點分別為P和O,那么圓錐的半徑是多少?

生3: 是h.

師: 我們知道這個圓錐比較特殊,底和高均為R,所以母線和高所成的角為45°,PO等于多少?

生3:R ?h,哦,半徑是R ?h.

師: 對的,所以面積并不是πh2對吧.

生3: 嗯…是的(思考中)

師: 我們來看,如果圓錐的截面半徑剛好是h就是我們需要的,那就是說圓錐的頂點到截面的距離應該是h,而我們知道截面距底面的距離為h,即圓錐頂點應該在底面所在平面上,這說明什么呢?

生3: 哦…需要圓錐倒過來放.

師: 非常好,我們把圓錐倒過來放,這是截面半徑為h,那么截面面積為πh2對吧.(結(jié)合ppt)

師: 因此隨著截面高度h變化時,截得圓錐的截面圓的半徑始終是h, 圓柱的截面面積與圓錐的截面面積之差為S1=πR2?πh2和半球截面面積始終相等.

我們構(gòu)造的幾何體是與半球同底等高的圓柱挖去一個同底等高的倒置圓錐而組成的幾何體.(圓錐移到圓柱中幾何畫板動態(tài)演示).

由祖暅原理,我們知道半球的體積與構(gòu)造出的幾何體體積相等,而這個由圓柱挖去圓錐構(gòu)造出的幾何體體積我們?nèi)绾吻?

生4: 半球的體積等于圓柱的體積減去圓錐的體積(教師板書)V半球=V柱?V錐=πR3?

師: 很好,我們利用祖暅原理得出了球的體積公式,那么運用公式時只需知道球的半徑.接下來我們一起來研究和球體積有關的問題.

2.2 應用提升

例設正方體的棱長為a,求

(1)正方體內(nèi)切球的體積;

(2)正方體外接球的體積;

(3)與正方體的棱都相切的球的體積.

師: 大家思考下內(nèi)切球滿足什么條件?

生5: 內(nèi)切球球心到各個面的距離相等.

師: 球心在哪里?

生5: 在正方體的中心.

師: 很好,所以半徑為…

生5: 半徑等于正方體棱長的一半,

師: 很好, 所以代入體積公式可得內(nèi)切球體積V1=我們也可以畫出截面圖形是這樣的(ppt).

師: 接下來請你再思考下,正方體外接球呢?

生5: 我認為正方體外接球球心還是正方體的中心,半徑是球心到各個頂點距離,R=也可以求出體積.

師: 非常好,截面圖形是這樣吧(ppt).

師: 接下來我們思考,如果球與正方體各棱相切,想象一下,這個球怎樣能做到和正方體各條棱都相切?

思考30s

師: 能不能請一位同學給大家描述一下.

生6: 我覺得球心仍然是正方體的中心…(思考片刻)

師: 既然相切,切點位置在哪里?

生6: 切點在正方體棱的中點.

師: 對不對? 也就是說球心到各棱中點距離是相等的對吧,所以切點是各條棱的中點!

(教師拿出空的正方體教具演示)我們可以想象這個正方體中我們有一個氣球, 在吹這個氣球過程中, 我們要把氣球理想化想象成球體, 則氣球逐漸變大過程中, 到某一時刻氣球與各條棱均相切了, 所以我們求半徑即求球心到各棱中點的距離,容易求得的.(ppt)如圖所示,連接AB,因此該球的直徑大小為面對角線長度則

小結(jié): 正方體與球的幾種位置關系,需要確定球心位置,切點位置,轉(zhuǎn)化到平面圖形中,求出半徑.內(nèi)切球半徑為球心到正方體各個面的距離,大小等于棱長的外接球半徑為球心到正方體各個頂點的距離,大小為正方體體對角線的與各棱相切的球的半徑為球心到各棱的距離,大小為正方體面對角線的(如圖)

變式: 如果把正方體改為正四面體,設各棱長為a,三種情況下球的體積又為多少?

【設計意圖】本例題是關于球與正方體、正四面體的幾個特殊的位置關系的問題,是對球的體積公式的應用,也是對正方體、正四面體中尋找基本量所在的平面圖形的鞏固.從中體現(xiàn)類比、轉(zhuǎn)化的思想方法.

(學生畫圖求解,教師板書畫圖)

師: 我們需要如何找到這三種情況下的半徑呢?

生7: 先確定內(nèi)切球球心位置.

師: 非常好,球心在哪里?

生7: 球心在正四面體的高AN上.

師: 對的! 大家觀察老師用3D 打印這個正四面體和內(nèi)切球,當然其中一面是沒有開放不封閉的,我們從這個角度觀察,球心應該在正四面體的高上對吧?

師: 那么在各個面的切點在哪里?

生7: 在底面的切點為三角形的中心.

師: 在圖中用字母表示(如圖所示)M,N分別為切點,所以內(nèi)切球半徑為?

生7: 半徑為ON或OM.

師: 我們再看外接球的半徑是什么?

(思考片刻…)

生7: 線段OA.

師: 能不能解釋下? 我們知道O是內(nèi)切球球心,你的意思是O也是外接球球心? 能不能說說原因.

生7: 是的, 因為AM=DN,OM=ON, 所以RtΔAOM和RtΔDON全等,所以OA=OD.

師: 很好, 那么與OB,OC相等為什么呢? (教師連接OB,OC)

生7: 因為BN=CN=DN,所以三個直角三角形全等,所以OB=OC=OD.

師: 具體是哪三個直角三角形全等?

生7:三角形ONB,ONC,OND全等.

師: 非常好, 請坐! 我們知道ON是公共的直角邊,BN=CN=DN,所以OB=OC=OD.

那么也就是說內(nèi)切球球心也是外接球球心,那么大家思考下是不是與棱相切的球的球心呢?

(部分同學回答: 是的)

師: 沒錯,此時球心也是O,我們可以證明的.那么與棱相切的切點在哪里?

(部分學生回答: 棱的中點)

所以我們所求半徑是哪條線段?

生8: 可以取AD的中點Q,OQ是半徑.

師: 很好,還可以是哪條線段?

生8:OP.

師: 對的! 請坐! 那么我們看,這三個半徑我們都可以轉(zhuǎn)化到哪個平面圖形中求解呢?

(學生齊聲回答: 平面APD中)

師: 對的! 那么ΔAPD又是一個什么三角形呢?

(部分學生答道: 等腰三角形! )

師: 沒錯! 由于AP=PD,這個等腰三角形三邊已知,那么我們要求的三個半徑如果能求出其中一個,另外兩個是否可求呢?

(學生點頭)

師: 好,那么我們再思考,例題中是正方體與球的幾種特殊的位置關系,那么正四面體與正方體之間有沒有什么關系呢?

(部分學生回答: 正四面體可以放入正方體中)

師: 有同學說可以放入正方體中,也就是說,正方體中有沒有正四面體?

(學生齊聲回答: 有的)

(教師ppt 展示正方體中的正四面體)

師: 那么我們看,正四面體的外接球和正方體有什么關系?

生9: (思考片刻)也是正方體的外接球.

師: 能解釋下為什么嗎?

生9: 因為各個頂點都在球上, 球心到各個頂點距離相等.

師: 很好! 所以半徑應該可以求出來嘍,正四面體的棱長為a,那么正方體的棱長為…

生9: 正方體棱長為然后體對角線為所以球半徑為

師: 嗯! 所以代入體積公式可求體積對吧! 那么我們再思考下, 正四面體與棱相切的球和正方體有什么位置關系嗎?

生10: 正四面體與棱相切的球是正方體的內(nèi)切球!

師: 很好! 他認為這個球是正方體的內(nèi)切球,(ppt 展示),切點在棱的中點也就是正方體的各個面的中心對吧,所以這個球與正方體的各面相切,是內(nèi)切球! 從而我們也可以求出半徑和體積對不對? (學生點頭)

師: 那么相應的正四面體的內(nèi)切球半徑通過外接球或者與棱相切的球的半徑可求,大家課后思考下,正四面體的內(nèi)切球半徑還可以通過什么方法求解嗎?

小結(jié): 通過對正四面體內(nèi)切球,外接球,與棱相切的球的研究,我們發(fā)現(xiàn),內(nèi)切球半經(jīng)為球心O到等腰三角形APD腰的距離, 外接球半徑為球心O到等腰三角形APD底邊頂點的距離,與棱相切的球的半徑為球心O到等腰三角形APD頂點的距離或底邊的距離,這三種情況均可以轉(zhuǎn)化到平面圖形中去解決.而內(nèi)切球半徑與外接球半徑之和為正四面體的高.另外,可以將正四面體放入正方體中,轉(zhuǎn)化到正方體和球的位置關系進行相應計算.

2.3 課堂小結(jié)

我們來總結(jié)一下今天所學的內(nèi)容:

我們利用祖暅原理推導出了球的體積公式,在構(gòu)造幾何體時要符合祖暅原理的條件,通過圓柱挖去倒置的圓錐來求出半球的體積,從而得出了球的體積公式.另外應用球的體積公式解決相關問題,球與正方體、正四面體的三種位置關系下的體積計算,關鍵是確定球心,找到切點,轉(zhuǎn)化到平面圖形中求出不同情況下球的半徑.

3 教學反思

3.1 關于課堂的環(huán)節(jié)

(1)“球的體積公式”是教材中“由祖暅原理和圓柱、圓錐的體積公式可得球的體積公式”這樣一句話帶過,而筆者認為,祖暅原理的應用的重要性可以從課本中基本的公式的推導體現(xiàn),因此將根據(jù)祖暅原理推導半球的體積公式的整個過程呈現(xiàn)在課堂中,希望學生在經(jīng)歷公式推導的過程中,加深了對祖暅原理的理解,體會其中蘊含的數(shù)學思想方法.另外,對于構(gòu)造符合祖暅原理條件幾何體也是一個開始,后面可以根據(jù)學生的能力對高考題目中出現(xiàn)的祖暅原理的應用進行拓展訓練,培養(yǎng)學生自主探究解決問題,對任何事物要養(yǎng)成知其然而更知其所以然的習慣.

(2)公式推導過程中,學生在教師的引導下,一步步完成構(gòu)造與半球體積相等的幾何體,這也是本節(jié)課的難點,實際上在構(gòu)造幾何體時,符合祖暅原理條件的可能不是圓柱中挖去圓錐,可以構(gòu)造四棱錐等方法求解,所以如果這一環(huán)節(jié)能夠大膽放手讓學生自主構(gòu)造,培養(yǎng)學生主動探索的精神,同時也可以課后讓學生自己再構(gòu)造一個幾何體,注重知識的發(fā)生.

(3)求正四面體的內(nèi)切、外接、與棱相切的球的半徑時,球心相同,這個地方也是需要嚴格證明的,由于課堂時間以及重點內(nèi)容的關系, 這個說理過程可以課前或者課后說明.而通過教具模型的展示,學生應該可以從直觀上觀察得到這個結(jié)論.

(4)正四面體中的三個半徑均轉(zhuǎn)化到等腰三角形中求解,而這三個半徑已知任意一個半徑,可求出其他兩個半徑,因此將三種情況一起考慮,可以先將正四面體的情況轉(zhuǎn)化為正方體的情況來求解.而在求內(nèi)切球半徑時可以利用等體積方法求解,可以作為課后思考讓學生自主探索研究完成.

3.2 立體幾何教學中提升核心素養(yǎng)的思考

(1) 立體幾何不光是空間想象能力, 空間邏輯推理、分析、說理的能力同樣重要

立體幾何的教學,往往很多人認為只要學生能想出來即可,然而立體幾何中不光要有空間想象能力,對于空間中的邏輯推理,說理能力要求才是真正體現(xiàn)核心素養(yǎng)的地方.核心素養(yǎng)中的“直觀想象”中也要蘊含邏輯推理、分析說理等素養(yǎng).

(2)在日常教學中培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng),滲透數(shù)學思想方法

核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與三維目標的建立、數(shù)學思想方法的滲透、數(shù)學能力的培養(yǎng)等是息息相關,應該體現(xiàn)在日常的教學中,需要我們教師不斷思考,從日常教學中能夠體現(xiàn)核心素養(yǎng)的內(nèi)容,掌握好方式方法,尤其對于立體幾何是提升直觀想象素養(yǎng)的重要載體,而本節(jié)課中數(shù)學抽象、數(shù)學運算(轉(zhuǎn)化為平面圖形中計算相關問題)、邏輯推理(構(gòu)造幾何體的截面面積與半球的截面面積相等)等核心素養(yǎng)也相應得到體現(xiàn),這些需要在日常教學中不斷滲透和培養(yǎng).