動(dòng)面問題中的重疊面積函數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì)

廣東省惠州市惠陽區(qū)華南師范大學(xué)附屬惠陽學(xué)校(516211) 鄭素萍

廣東省惠州市惠陽區(qū)教育局教研室(516211) 鐘文輝

1 內(nèi)容解析

初中幾何中的動(dòng)面問題是中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn),此類題綜合性強(qiáng),滲透了分類討論、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.研究此類問題,對培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有重要影響.

2 教學(xué)目標(biāo)

2.1 知識目標(biāo)通過本節(jié)課學(xué)習(xí),學(xué)生熟練掌握幾何中圖形平移和三角形相似、等邊三角形性質(zhì)、特殊三角函數(shù)和二次函數(shù)解析式等知識,通過例題的學(xué)習(xí)和變式訓(xùn)練,體會(huì)到建立函數(shù)模型是描述動(dòng)面問題的重要手段,是轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的關(guān)鍵橋梁.

2.2 技能目標(biāo)

(1)掌握動(dòng)面問題中求重疊面積函數(shù)的基本思路: 確定動(dòng)面運(yùn)動(dòng)方向——尋找動(dòng)面特殊位置——分類討論畫出各類圖形——尋找特殊的邊角關(guān)系——建立各類面積函數(shù)關(guān)系式;

(2)掌握表示面動(dòng)函數(shù)的方法: 動(dòng)中取靜,以靜制動(dòng),用點(diǎn)動(dòng)表示線動(dòng),用線動(dòng)表示面動(dòng).

3 教學(xué)疑難點(diǎn)分析

借助特殊三角函數(shù)求角度、用代數(shù)式表示動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中動(dòng)線的邊長以及動(dòng)面的面積,不重不漏地討論運(yùn)動(dòng)過程中的圖形的變化,及其對應(yīng)的線段關(guān)系和面積關(guān)系.

4 教學(xué)支持條件分析

為了讓學(xué)生更直觀地分析動(dòng)面的運(yùn)動(dòng)情況,確定特殊點(diǎn),可用幾何畫板輔助觀察.

5 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

5.1 教學(xué)流程圖如下

5.2 教學(xué)過程

5.2.1 創(chuàng)設(shè)情境,引入問題

問題1(自編輔例題)如圖, 在平面直角坐標(biāo)系中,直角三角形ABC從O點(diǎn)出發(fā),以每秒一個(gè)單位長度的速度,沿x軸正方向運(yùn)動(dòng);其中,∠C= 90°,AB= 4,BC=線段BC落在x軸上;設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,ΔABC與第一象限重合部分面積為S(平方單位),求S與t的函數(shù)關(guān)系式.

【解題思路】 確定動(dòng)面運(yùn)動(dòng)方向(沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)) ——尋找動(dòng)面特殊位置(分界線y軸) ——分類討論畫出各類圖形(如圖1-1、如圖1-2) ——尋找特殊的邊角關(guān)系(cos∠ABC=可得∠ABC= 30°)——建立各類面積函數(shù)關(guān)系式.

圖1-1

圖1-2

【設(shè)計(jì)意圖】問題1 設(shè)計(jì)直角三角形的平移問題引入,精選范例,構(gòu)架函數(shù)模型,學(xué)生初步掌握分類討論的關(guān)鍵是通過動(dòng)手操作畫圖,理清各種情況.同時(shí)掌握通過特殊三角函數(shù)值,發(fā)現(xiàn)特殊的邊角關(guān)系.

5.2.2 鋪設(shè)臺階,拓展問題

問題2(自編輔例題) 在問題1 的情境下, 增加條件:如圖,四邊形OEFG為矩形,設(shè)ΔABC運(yùn)動(dòng)過程中與矩形OEFG重疊部分面積為y,求y與t的函數(shù)關(guān)系式.

【解題思路】 確定動(dòng)面運(yùn)動(dòng)方向(沿x軸正方向運(yùn)動(dòng))——尋找動(dòng)面特殊位置(分界線y軸、EF)——分類討論畫出各類圖形(如圖3、如圖4) ——尋找特殊的邊角關(guān)系可得∠ABC= 30°)——建立各類面積函數(shù)關(guān)系式.

圖2-1

圖2-2

①當(dāng)點(diǎn)B在y軸右側(cè)、EF左側(cè)時(shí), 如圖2-1;S=②當(dāng)點(diǎn)B在EF右側(cè)時(shí),如圖2-2;

【設(shè)計(jì)意圖】問題1 到問題2,由直角三角形與無邊界的第一象限的重疊面積,變式為求解直角三角形與有邊界矩形的重疊面積, 逐步變式設(shè)問, 提高難度, 激發(fā)學(xué)生的求知欲,突破難點(diǎn)“利用相似和銳角三角函數(shù)知識,用變量t表示線段的長”,探究一題多解提高學(xué)生的解決綜合問題的能力.

通過對問題1、問題2 的解決后進(jìn)行反思,引導(dǎo)學(xué)生梳理“動(dòng)面問題中求重疊面積函數(shù)”解題基本思路確定動(dòng)面運(yùn)動(dòng)方向——尋找動(dòng)面特殊位置——分類討論畫出各類圖形——尋找特殊的邊角關(guān)系——建立各類面積函數(shù)關(guān)系式.

5.2.3 自主思考,探究問題

問題3(第二屆廣東省中小學(xué)青年教師教學(xué)能力大賽初中數(shù)學(xué)決賽說題比賽題目)如圖,矩形ABCD的兩邊AB、BC的長為方程的兩個(gè)解(AB ＞BC),點(diǎn)E在CD上,且DE:EC= 2 : 1,AC交BE于點(diǎn)F.平行于AB的直線l從A點(diǎn)出發(fā),以每秒1 個(gè)單位長度的速度沿A →D方向平移,到點(diǎn)D時(shí)停止.直線l與線段AC,BE分別相交于M,N兩點(diǎn),以MN為邊作等邊ΔMNF,點(diǎn)F在線段MN下方.設(shè)直線l的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,MN的長度為y(單位長度),ΔMNF和ΔABC重疊部分的面積為S(平方單位).

(1)求BC、CE的長度;

(2)求y與t的函數(shù)關(guān)系式,求當(dāng)t=2 時(shí),y的值;

(3)求S與t的函數(shù)關(guān)系式.

【解題思路】

(1) 解方程, 得x1= 4,x2=

(2) 由ΔOAB∽ΔOCE, 可得三角形對應(yīng)高之比等于相似比, 從而OH= 3,OI= 1; 確定動(dòng)線運(yùn)動(dòng)方向(沿A →D方向平移) ——尋找動(dòng)線特殊位置(分界點(diǎn)O點(diǎn),t=3)——分類討論畫出各類圖形(如圖3-1、圖3-2)——尋找特殊的邊角關(guān)系——建立各類線段函數(shù)關(guān)系式(方法1: 借助三角形相似的性質(zhì);方法2: 借助銳角三角函數(shù)).

圖3-1

圖3-2

(3)確定動(dòng)面的運(yùn)動(dòng)方向(沿A →D方向平移)——尋找動(dòng)面特殊位置(分界線1:F點(diǎn)在線段AB上(如圖3-3);分界線2:MN運(yùn)動(dòng)到過O點(diǎn)(如圖3-4))——分類討論畫出各類圖形(如圖3-5、圖3-6、圖3-7)——尋找特殊的邊角關(guān)系——建立各類線段函數(shù)關(guān)系式(方法1: 借助三角形相似的性質(zhì),方法2: 借助銳角三角函數(shù)如圖3-8,圖3-9、圖3-10、圖3-11、圖3-12).

圖3-3

圖3-4

圖3-5

圖3-6

圖3-7

圖3-8

圖3-9

圖3-10

圖3-11

圖3-12

5.2.4 問題解決,歸納方法

【議一議】通過上述問題的處理,說說處理動(dòng)點(diǎn)問題中面積計(jì)算(最值)問題分哪些步驟進(jìn)行? 可以采取什么方法解決這個(gè)問題? 涉及到哪些數(shù)學(xué)思想方法?

(1)動(dòng)面問題中求重疊面積函數(shù)的一般步驟:

(2)動(dòng)中取靜,以靜制動(dòng): 圖形運(yùn)動(dòng)變化的過程中,蘊(yùn)含著某些固定的邊角關(guān)系,通過相似三角形,三角函數(shù)可以表示出所需的邊角關(guān)系.

(3)將面動(dòng)轉(zhuǎn)化為線動(dòng),線動(dòng)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)動(dòng): 利用點(diǎn)動(dòng)軌跡表示出線段長度,用線段長表示出面積大小.

(4)尋找分界線的標(biāo)準(zhǔn): 運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)現(xiàn)變化的臨界線就是邊界,既要考慮運(yùn)動(dòng)圖形的最前端,又要考慮圖形的最末端;有多個(gè)多界的時(shí)候,每個(gè)邊界都要考慮.

5.2.5 變式訓(xùn)練,運(yùn)用新知

問題4(問題2 變式)在問題2(輔例題) 的情境下, 將矩形OEFG進(jìn)一步特殊化, 改成正方形OEFG, 邊長為2,其他條件不變,求重疊面積y與t的函數(shù)關(guān)系式.

【解題思路】確定動(dòng)面的運(yùn)動(dòng)方向(沿x軸正方向平移)——尋找動(dòng)面特殊位置( ①點(diǎn)B與點(diǎn)E重合; ②點(diǎn)C與點(diǎn)O重合; ③點(diǎn)C與點(diǎn)E重合)——分類討論畫出各類圖形(如圖4-1、圖4-2、圖4-3)——尋找特殊的邊角關(guān)系——建立各類線段函數(shù)關(guān)系式(方法1: 借助三角形相似的性質(zhì),方法2: 借助銳角三角函數(shù)).

圖4-1

圖4-2

圖4-3

【設(shè)計(jì)意圖】熟練運(yùn)用“動(dòng)面問題中求重疊面積函數(shù)”的一般解題思路解決問題,內(nèi)化學(xué)生的技能,突出中考的重點(diǎn)、突破難點(diǎn),培養(yǎng)學(xué)生一題多解、通性通法和綜合能力,讓學(xué)生體會(huì)分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想以及建模思想.

5.2.6 引申鞏固,課后作業(yè)

問題5(《新課程學(xué)習(xí)輔導(dǎo)》九年級下冊學(xué)業(yè)水平考試模擬卷一,2019)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中, RtΔABC和正方形GDEF的其中一條邊都在x軸上,其中點(diǎn)G與原點(diǎn)O重合,∠C= 90°,AC= 4,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(?3,0),(5,0).若將RtΔABC沿x軸正方向以每秒1 個(gè)單位長度的速度平移,當(dāng)頂點(diǎn)C落在線段DE上時(shí)停止移動(dòng).

(1)在沒有開始移動(dòng)RtΔABC時(shí),BC與FG交于點(diǎn)M,求∠MBE的度數(shù).

(2)在移動(dòng)RtΔABC的過程中,求頂點(diǎn)C恰好落在四邊形GDEF的邊上所需要的的時(shí)間.

(3)在移動(dòng)RtΔABC的過程中,設(shè)RtΔABC與正方形GDEF重疊部分面積為S,移動(dòng)的時(shí)間為t(t ＞0)s,求S關(guān)于t的函數(shù)解析式.

【解題思路】分類討論畫出各類圖形:

圖5-1

圖5-2

圖5-3

【設(shè)計(jì)意圖】

問題5 是問題4 的進(jìn)一步變式,將直角三角形直角邊與x軸重合,變式為斜邊與x軸,同時(shí),將正方形的邊長放大,進(jìn)一步讓學(xué)生理解分類討論思想(討論不同時(shí)刻重疊圖形的變化)、轉(zhuǎn)化思想(四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積)、數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)模型.

問題6(2019 年惠州市惠陽區(qū)青年教師解題比賽第25題)RtΔABC與RtΔDEF的位置如圖所示, 其中AC=∠D= 90,其中,RtΔDEF沿射線CB以每秒1 個(gè)單位長度的速度向右運(yùn)動(dòng),射線DE、DF與射線AB分別交于點(diǎn)N、M兩點(diǎn),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)B重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng).

(1)當(dāng)RtΔDEF在起始時(shí),求∠AMF的度數(shù);

(2)設(shè)BC的中點(diǎn)為P,當(dāng)ΔPBM為等腰三角形時(shí),求t的值;

(3)若兩個(gè)三角形重疊部分面積為S,寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)自變量的取值范圍.

【解題思路】分類討論畫出各類圖形

(2)等腰ΔPBM的三種情況:

圖6-2-1

圖6-2-2

圖6-3-3

(3)重疊面積變化

圖6-3-1

圖6-3-2

圖6-3-3

【設(shè)計(jì)意圖】

問題6 是問題3 和問題4 的變式引申,將問題4 中固定不動(dòng)的矩形變?yōu)橹苯侨切?將問題3 中的動(dòng)等邊三角形變?yōu)橹苯侨切?運(yùn)用“動(dòng)面問題中求重疊面積函數(shù)”解題基本思路解決問題,進(jìn)一步內(nèi)化為學(xué)生解題的技能,培養(yǎng)學(xué)生解決問題的綜合能力.

問題7(自編)如圖, ΔABC是邊長為4 的等邊三角形,點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn),連接AD.點(diǎn)E是射線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),沿A →C方向,以每秒1 個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

圖7-1

圖7-2

(1)過點(diǎn)E作EF//AB,交BC于點(diǎn)F,以EF為邊長,構(gòu)造如圖所示的等邊ΔEFG;ΔEFG與ΔABD重疊部分面積為y,求y與t的函數(shù)關(guān)系式.

(2)過點(diǎn)E作EF ⊥AB,交AB于點(diǎn)F,設(shè)ΔAEG與ΔABD重疊部分面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式.

【解題思路】分類討論畫出各類圖形

(1)等邊ΔEFG與直角ΔABD重疊的幾種情形:

【設(shè)計(jì)意圖】

問題7 是通過動(dòng)點(diǎn)E,引起線段EF的運(yùn)動(dòng),構(gòu)造動(dòng)面等邊ΔEFG;從而分類討論動(dòng)等邊三角形與定直角三角形重疊面積函數(shù).且將點(diǎn)在線段AC上運(yùn)動(dòng),縱向遷移到點(diǎn)在射線AC上運(yùn)動(dòng),進(jìn)一步拓展學(xué)生的思維.

6 教學(xué)反思

(1)在日常教學(xué)中注意提升學(xué)生的計(jì)算能力,培養(yǎng)學(xué)生簡化運(yùn)算的意識;

(2)在中考疑難問題的教學(xué)注意搭設(shè)梯子,逐級增加難度,讓學(xué)生夠得著、學(xué)得到,增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心與興趣;

(3)可以進(jìn)一步對例題進(jìn)行變式,不斷拓展問題的深度和廣度.