“正弦函數、余弦函數的圖象”教學設計

浙江省杭州第十四中學(310006) 何波祿

1 教學問題診斷與設計思路

正弦函數、余弦函數的圖象是《普通高中課程標準實驗教科書數學A 版必修第一冊》第五章第四節課的內容.

學生通過前面的學習,對用描點法研究函數圖象并不陌生,但由于正弦函數與余弦函數自身的特殊性,在作圖環節可能會遇到如下問題:

(1)對于借助三角函數線描點感到“突兀”;

(2)“五點法”作圖時,難以想象為什么要取五個關鍵點,為什么不用這樣子的點;

(3)作余弦函數圖象時,不易聯系誘導公式根據圖象變換得到圖象.

基于以上分析,本節課的教學重點為繪制正弦函數、余弦函數的圖象和五點法作圖;教學難點為如何利用單位圓中的正弦線作正弦函數圖象.

教學設計遵循從局部到整體,從特殊到一般的原則,以問題驅動教學,問題設置層層深入,引導學生思考“利用單位圓中的正弦線描任意點(x0,sinx0)”,從而攻克“利用單位圓中的正弦線作y= sinx,x ∈[0,2π]的圖象”這個難點;再讓學生模仿作函數y=sinx,x ∈R 的圖象,展示有問題的學生作圖,啟發學生“找出體現圖象形狀特征的五個關鍵點”;通過直接給出誘導公式六,提示學生直接從正弦曲線平移得到余弦曲線.運用多媒體及數學軟件等輔助教學手段可以極大地激發學生的學習興趣,用觀察、啟發、探究相結合的方式組織教學.

2 教學過程

2.1 溫故知新,導入新課

回顧正弦函數、余弦函數的概念,對于一個新的函數,我們通常借助函數圖象研究函數性質,本節課我們就一起作出正弦函數和余弦函數的圖象.

【設計意圖】引導學生用研究函數的基本思路研究三角函數.

2.2 正弦函數圖象

問題1: 我們最常用的作圖方法是什么?

問題2: 用描點法作正弦函數圖象時,如何在直角坐標系中作出點

4.若學生回答可以取一些特殊點, 追問你打算取哪些點? (并作圖尋找問題,說明取的點不足以反映出函數圖象的特征)

問題3: 對于任意實數x0,如何作出點T(x0,sinx0)?

預設追問: 1.正弦值是如何定義的?

2.你能用一條線段表示正弦值嗎?

對于任意實數x0(教師在直角坐標系的x軸上標出點x0,見圖1),用單位圓中的正弦線刻畫sinx0的大小,教師板演描點T(x0,sinx0)的完整過程,并與學生一起總結如下步驟:

第一步,新建直角坐標系并作單位圓,記單位圓與x軸的交點為點B;

第二步,作角,我們可以通過如下方式實現: 從點B開始逆時針取弧長所對應的圓心角即為x0;

第三步,作正弦線,過點P作x軸的垂線,交x軸于點M,則MP即為正弦線,MP=sinx0;

第四步,用尺子測量MP的長度;

圖1

第五步,描點,在直角坐標系中描出橫坐標為x0,縱坐標為MP的點T(x0,sinx0).

我們可以將上述描點方法再簡化些,若把兩個直角坐標系的x軸放置在同一水平線上,只要平移點即可.

在單位圓中取弧長x0, 可以通過如下方式實現: 假設|OC|=x0,令點O與單位圓上的點B重合,讓圓滾動起來,使得點P與點C重合時,停止圓的滾動,那么由圓的運動軌跡知教師可以用幾何畫板作演示,見圖2.

圖2

【設計意圖】利用正弦線描點是本節課的難點,教師通過不斷追問的方式從特殊到一般,小步前進攻克難點,并且利用PPT,幾何畫板等教學輔助手段給予演示,生動形象,吸引學生觀察、思考、分析,對描點步驟進行歸納總結,促進學生知識體系的建構和數學思想方法的形成.

掌握了利用正弦線描點的方法, 就可以畫正弦函數在[0,2π]的圖象,教師幾何畫板演示作圖: 把x軸上從0 到2π這一段分成12 等份,使x0的值分別為它們所對應的角的終邊與單位圓的交點將圓周12 等分,再按上述畫點T(x0,sinx0)的方法,就可以平移得到自變量取這些值時對應的函數圖象上的點,最后用光滑的曲線連接起來就得到了函數y=sinx,x ∈[0,2π]的圖象(圖3).

圖3

我們知道在區間[0,2π] 上取的點越多, 畫出越多的點T(x0,sinx0),得到的函數圖象越精確,嘗試將其100 等分(圖4),1000 等分(圖5)并觀察.顯然點越多,圖象越精確,將區間[0,2π]1000 等分得到的描點圖,點很密集,看上去幾乎是一條連續的曲線.

【設計意圖】通過幾何畫板呈現出用平移正弦線的方法繪制函數y=sinx,x ∈[0,2π]圖象的過程,并展示對單位圓進行100 等分,1000 等分后對應的描點圖,生動形象,吸引學生眼球,讓學生加深印象.

圖4

圖5

回到12 等分的幾何畫板課件, 直接用幾何畫板作出y= sinx的圖象,它與用單位圓中的正弦線作的圖在[0,2π]上是重合的,其余部分有“周而復始”的特征,引導學生回答若不借助作圖軟件,你能作出完整的正弦函數圖象嗎?

問題4: 如何在直角坐標系中作出y=sinx,x ∈R 的剩余圖象?

追問: 理論依據是什么?

因為終邊相同的角有相同的三角函數值, 所以函數y=sinx,x ∈[2kπ,2(k+1)π),k ∈Z 且k /=0 的圖象,與函數y=sinx,x ∈[0,2π)的圖象的形狀完全一致,只要將函數y=sinx,x ∈[0,2π)的圖象向左、向右平行移動(每次2π個單位長度),就可以得到y=sinx,x ∈R 的圖象(圖6),教師用PPT 展示平移過程,我們稱正弦函數的圖象為正弦曲線.

圖6

【設計意圖】教師對學生的猜想追問理論依據,對學生的回答進行補充說明,從“周而復始”的現象引發思考,再用誘導公式予以理論支持,利用PPT 課件演示平移過程,得到y=sinx,x ∈R 的圖象.

2.3 五點法作圖

下面請學生自己模仿圖6 作正弦曲線,展示學生的作圖(圖7),觀察圖7,找出不規范的地方,比如最高點離平衡位置的距離與最低點離平衡位置的距離不一致,相鄰兩個零點間的距離也不一致,引導學生思考,抓住哪些點能幫助我們畫出標準的圖象.

圖7

問題5: 在作正弦函數y= sinx,x ∈[0,2π]圖象時,應抓住哪些關鍵點?

圖8

【設計意圖】首先讓學生模仿作圖,充分暴露學生存在的問題,引導學生關注最高點,最低點和平衡位置的點,提出利用五點法作簡圖的必要性與合理性,再總結歸納五點法作圖的步驟,教師把五點法作圖過程在黑板上進行詳細板演.

2.4 余弦函數圖象

【設計意圖】通過問題形式,讓學生從正弦函數與余弦函數解析式之間的關系聯想得到這兩個函數圖象之間的關系,用PPT 課件演示平移的過程,明確應用圖象變換作余弦曲線的方法.

追問1: 如果把圖6 中上下兩個直角坐標系都去掉,你能區分哪個是正弦曲線,哪個是余弦曲線嗎?

追問2: 我們再把直角坐標系加上,這時你能區分哪個是正弦曲線,哪個是余弦曲線嗎?

根據追問引導學生發現正弦曲線和余弦曲線的相同點:形狀一樣,不同點: 在直角坐標系中的位置不一樣.

【設計意圖】為研究正弦函數、余弦函數的性質做準備.

下面請你用“五點法”作出函數y=cosx,x ∈[0,2π]的簡圖.

【設計意圖】類比作y=sinx,x ∈[0,2π]的簡圖,讓學生學會用五點作圖法作y= cosx,x ∈[0,2π]的簡圖,鞏固五點法作圖方法,培養學生的歸納能力和動手實踐能力.

2.5 實踐與應用

例1 畫出下列函數的簡圖:

(1)y=1+sinx,x ∈[0,2π];

(2)y=?cosx,x ∈[0,2π].

學生采用的作圖方式主要有兩種: 五點法,圖象變換法.用希沃授課助手展示學生的解答,請其他同學指出存在的問題并加以糾正,特別是曲線的凹凸性.

【設計意圖】通過例題練習使學生明白作函數簡圖時常用“五點法”和“圖象變換法”這兩種方式.

2.6 歸納小結

先由學生反思學習內容并回答,教師再補充完善.

1.作正弦曲線、余弦曲線的圖象,一般有幾何作圖法(三角函數線),描點法(五點法,最常用),圖象變換法;

2.五點法作圖的步驟是: 列表,描點,連線.

【設計意圖】讓學生小結本節課的主要知識, 養成學習——總結——學習的好習慣,培養學生總結歸納能力和語言表達能力.

3 教學反思

本節課以問題驅動方式進行教學,以6 大問題為主線貫穿課堂始末,以問題解決為教學線索,并在計算機輔助教學下,學生的思維由問題開始,由問題深化,逐步解鎖教學重點,突破教學難點.

首先給出問題1 至問題3,引導學生思考“利用單位圓中的正弦線描任意點(x0,sinx0)”,從而攻克“利用單位圓中的正弦線作y= sinx,x ∈[0,2π]的圖象”這個難點,之后用幾何畫板演示正弦函數的幾何作圖法,生動形象,吸引學生眼球,讓學生加深印象.接著設置問題4,引導學生回答出關鍵詞“平移”,得到正弦曲線.再讓學生模仿作圖,啟發學生“找出體現圖象形狀特征的關鍵點”,引出“五點法作圖”.設置問題6,引導學生利用正弦曲線作出余弦曲線.最后通過練習加以鞏固.