深入教材，挖掘教材，讓問題解決“有法可依”

岑鳳鸞

【中圖分類號】G633.6 ? 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2021）42-0125-03

閱讀文章[1]《“函數與方程”教學設計的研究》后，深有感觸。作者對這節課的教材分析和課堂實施做了深入細致的研究，使得閱讀者學有所得，讀有所獲，收獲頗豐。作為新課標在函數中增設的內容，必有很多為師者進行了精心研讀、研討，作為一線教師，筆者也在此對課題的引入、下零點定義時產生的數學思想方法、零點存在性定理作一點思考（附：筆者所在學校用的教材是人教A版），不當之處，敬請同仁們批評指正。

1.課標要求

1.1 模塊要求

函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型。函數的思想方法將貫穿于高中數學課程的始終。學生將學習利用函數的性質求方程的近似解，體會函數與方程的有機聯系。因此，我們的教學目標是讓學生能利用函數的思想來解決方程的解的問題，即將方程納入函數系統。

1.2 教學要求

（1）結合二次函數的圖像，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數，從而了解函數的零點與方程根的聯系。（2）根據具體函數的圖像，能夠借助計算器用二分法求相應方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法。（第二課時）

2.課題的引入

2.1 教材對比

人教A版：通過學生熟悉的二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）圖像與一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）引出函數的零點和連續函數零點存在性定理。

人教B版：通過學生熟悉的二次函數y=x2-x-6的圖像，分析y=0，y>0，y<0時，自變量x的取值，經對比給出了零點的概念，強調了零點兩端的函數值，零點存在性定理不突出。

蘇教版：

問題：（1）利用函數圖像能求出方程0.84x=0.5的近似解嗎？（2）利用什么方法可求出方程lgx=3-x的近似解？

說明一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根就是二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的值為0時自變量x的值，直接引出了零點的定義。零點存在性定理不明顯。

北師大版：

實例分析方程x2-x-6=0的解的存在，利用圖像說明二次函數與相應的一元二次方程的根的關系，抽象概括出了零點的定義，北師大版利用較大的篇幅強調了數形結合，突出了數形結合的數學思想，指明了確定方程的解可以通過函數的零點來解決，與課標要求相呼應。零點存在性定理不明顯。

2.2 課題引入的思考

我們可以看到，不管是哪種教材版本，都是以二次函數的圖像和相應的一元二次方程的根之間的關系來抽象概括出零點的定義以及零點存在性定理，可見“三個二次”在中學數學中的地位非同一般。

引入設想：

請同學們以最快的速度解下列方程：

（1）x2-2x-3=0 （2）x2-2x+1=0

（3）x2-2x+3=0 （4）lnx+2x-6=0

在學生整齊的回答中突然一下寂靜了下來，同學們發現第（4）題根本無法用公式或自己熟悉的方法來求解。這達到了我們預期的目標，可以切入主題！我們得回到自己熟悉的題目去尋找解答方法。

通過設置題組，從學生熟悉的問題到陌生的問題，從熟悉的環境到陌生的環境，據皮亞杰理論，已有的圖式不能應對眼前的問題，這就產生了一種不平衡狀態，即已有的經驗和現在遇到的問題之間產生了不平衡，學生自然地試圖通過某些方式來減少這種不平衡，比如關注引起不平衡的刺激、建立新的圖式，或者調整舊的圖式等，直至達到一種新的平衡。按照皮亞杰的觀點為，學習要依賴于這個過程。只有出現不平衡時，孩子才有機會成長和發展。同伴間的相互作用，尤其是爭論和討論，有助于理清思維，使其更加合乎邏輯。讓學生置身于一種與他們已有的世界觀相矛盾的活動事件或資料中，這是提升其認知發展的有效方式。

3.求函數零點的方法歸納

在人教A版中，以黑體字強調了

方程f（x）=0有實數根

？圳函數y=f（x）的圖像與x軸有交點

？圳函數y=f（x）有零點。

實際上我們還可以優化為：

方程f（x）=0的實數解就是函數y=f（x）的零點，也就是函數y=f（x）的圖像與x軸交點的橫坐標。

教材給了我們求函數零點的方法有兩種：

（1）解其相應的方程f（x）=0;（2）圖像法：作出函數y=f（x）的圖像，尋找圖像與x軸的交點。[這個方法在學生學完導函數后判斷比較復雜的函數的零點個數時會用得上，如（2017年2月廣東省江門一模）設函數f（x）=ex-ax，a是常數。（Ⅱ）討論f（x）的零點的個數。]

拓展：只是討論零點（方程的解）個數時，圖像法的地位顯得更加突出：函數y=f（x）的圖像與x軸交點即為函數y=f（x）的圖像與直線y=0的交點。

如：判斷方程lnx+2x-6=0的解的個數。

分析：緊扣兩種方法，方程移項得lnx=-2x+6，所以方程的解的個數即為兩個函數y=lnx與y=-2x+6的交點個數。

波利亞指出：教師不僅要教給學生知識，并且要教給他們“技能”、思維方法和有條不紊的工作習慣。對教材的思想方法，我們作為老師應該能夠挖掘到，而不是空降給學生，要讓他們感覺得到數學也是“有法可依，有法必依，執法必嚴，違法必究”的。

4.零點存在性定理

零點存在性定理既是本節的重點，也是難點。重在于判斷函數的零點所在的區間要用它，尋找方程的近似解要用它;難在于如何從圖像特征、性質轉化為數學式子來量化。

4.1 定理的獲得

教材通過二次函數的圖像分析零點的兩端點值，由特殊歸納出一般的結論，集體備課時很多老師都認為這個過渡比較平淡，學生沒覺得有什么新的東西，因為二次函數的零點通過解方程就可以解決，得出的定理也沒有給學生的心里激起什么大的波瀾，還感覺太草率了。其實教材里面還有一句話：同學們可以任意畫幾個函數圖像，觀察圖像，看看是否能得出同樣的結果。課標沒有要求嚴格證明定理，那我們應該多些圖形來讓學生直觀感知。可用幾何畫板或其他信息技術將我們課題引入時用的函數y=x2-2x-3，y=x2-2x+1，y=x2-2x+3，y=lnx+2x-6再加上同學們學過的函數如一次函數y=-2x+6，反比例函數y=，對數函數y=log2x，指數函數y=2x一字排開作出其圖像，對比分析，可以很清楚地得到定理：

一般地，我們有：

如果函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖像是連續不斷的一條曲線，并且有f（a）·f（b）<0，那么，函數y=f（x）在區間（a，b）內有零點，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個c也不是方程f（x）=0的根。

4.2 定理的辨析

定理認知：

條件：（1）函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖像是連續不斷的一條曲線;（2）f（a）·f（b）<0。

結論：函數y=f（x）在區間（a，b）內有零點。

很明顯，在“函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖像是連續不斷的一條曲線”大前提下，“f（a）·f（b）<0”是“函數y=f（x）在區間（a，b）內有零點”的充分不必要條件。

筆者課堂上在這一環節學生討論得非常熱烈，因為在上述八個函數的圖像中，我要求他們除了函數y=lnx+2x-6的圖像外，其他全部親手在草稿紙上作圖，再把老師用幾何畫板作的函數y=lnx+2x-6圖像“依葫蘆畫瓢”畫了上去（圖略）。

現歸納學生提出的問題：

問題1.連續問題：

對比以上圖像，教材第92頁習題3.1A組有個函數圖像（如右圖）也不連續，易知f（3）·f（4）<0，但它有零點x0∈（3，4）。

解析：注意定理條件，函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖像是連續不斷的一條曲線，此圖像中，函數f（x）圖像在[3，4]，甚至[1，6]內連續。

問題2.定理中的條件是f（a）·f（b）<0時函數有零點，但在函數y=x2-2x+1圖像中，f（0）·f（2）>0，函數也有零點1∈（0，2）。

解析：函數y=x2-2x+3圖像中有f（a）·f（b）>0，但函數沒有零點，只能說f（a）·f（b）<0條件下保證函數有零點，而f（a）·f（b）>0不能保證，我們要摒棄它。

問題3.有討論了f（a）·f（b）的值為正、負的情況，那 f（a）·f（b）=0呢？

解析：f（a）·f（b）=0時，x=a或x=b是函數的零點。

問題4.由圖可知逆定理不成立（學生未學到充分必要條件）

問題5.結論中：函數y=f（x）在區間（a，b）內有零點。究竟有幾個零點？

解析：觀察圖像可知，當函數在區間[a，b]是單調函數時，函數的零點唯一，否則不唯一。

問題6.條件中給的是閉區間[a，b]，而結論中出現的是開區間（a，b），為什么？

解析：由于條件f（a）·f（b）<0，零點不可能在端點處產生，所以零點c∈（a，b）。

定理是經過數學證明確認其真實性的數學命題，是解決數學問題的基本依據。對教材中的每一個定理，我們都應該引導學生認真剖析其結構（條件、結論）、弄清楚條件與結論及其內在聯系。經過課堂上的一輪激烈的討論、切磋，使得學生對這個定理把握到位，理解得足夠透徹，打磨清晰，運用了數形結合思想、轉化思想，經歷了觀察、分析、歸納、概括、特殊到一般的過程，學習能力得到一定的提高。

4.3定理的應用

數學定理的學習是為了應用，零點存在性定理的應用主要是第二課時，用二分法求函數零點的近似值。本次內容可設置如下問題：

例題：（教材第88頁例1改編）求函數f（x）=lnx+2x-6的零點個數，并指出零點所在的大致區間。

練習：教材第88頁練習題。

5.最后寄語

緊扣教材，緊扣課標，我們的教與學、高考備考就有了準確的方向！

參考文獻：

[1]林偉民.“函數與方程”教學設計的研究[J].中學數學教學參考（上旬），2016（4）：26-28.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2003：15