整體觀視野下分數（百分數）解決問題的教學實踐

潘海軍 孫慶輝

摘 要：分數、百分數解決問題是小學數學解決問題的重要組成部分，也是學生學習的重點和難點內容。筆者基于整體觀視野下對分數（百分數）解決問題的教學思考，提出教學策略：整體研讀教材，讀懂數學本質;整體把握教學，認知螺旋上升;整體設計練習，全面提升能力;整體滲透策略，促進潛力發揮。

關鍵詞：整體觀;分數;百分數;解決問題;數學教學

分數、百分數解決問題的數與量都比較抽象，數量關系復雜且變化多端，對學生的學習能力提出了更高的要求，導致學生解題時常常無從下手。具體表現有：找不準表示單位“1”的量;分辨不清乘除法;把握不準量率對應關系。筆者經過探索和思考，就分數（百分數）解決問題的教學談一些想法。

一、整體研讀教材，讀懂數學本質

教材是教師實施教學的主要依據，因此在實施教學之前，教師必須對數學教材進行整體解讀和把握，力圖將原本孤立、分散的知識還原成完整的知識體系。

（一）通讀教材，尋找內在聯系

教師在通讀教材的過程中，能夠找尋到新知識的土壤，將新知識的學習建立在已有認知基礎上開展學習，就能讓知識自然生長。

如分數（百分數）問題和倍問題是相通的，都是兩個數量的倍數比較，如果滿“1倍”，就說一個數是另一個數的“幾倍”，如果不滿“1倍”，就說一個數是另一個數的“幾分之幾（百分之幾）”。同一個問題情境，既可用“倍”描述，也可用“分數（百分數）”描述，關鍵是以哪個量為標準量描述另一個量。除了“倍”“分數（百分數）”之外，“比”也描述該情境，說成“□與△的比是1∶2”。因此，在小學范圍內，“倍”“分數（百分數）”“比”都是研究兩個量的倍數關系。

（二）研讀教材，有序建構關系

通過通讀教材，分數（百分數）問題與倍問題本質上是自成一體又相互交融，但是受教材編排的影響，這些知識被分散在各冊中學習。因此，教師在研讀教材時，要從整體結構出發，將各知識點放置在整體結構中思考，分析其所處的地位及作用，理清它們之間的關系，為學生后繼知識的學習打好堅實的基礎。

1. 倍：種子課

兩個量的比較關系有“相差關系”和“倍數關系”兩種。“相差關系”從一年級開始學習，它是基于量的比較，也就是“一個數比另一個數多（少）多少”。比較時將兩個量的數量一一對應排列，沒有對應的數量就是“相差數”，如下圖中的“木頭的數量比小豬的數量多1”，也可說“小豬的數量比木頭的數量少1”，數學模型是“較大數-較小數=相差數”。

“倍數關系”從三年級開始學習，它是基于“率”的比較，也就是“一個量里包含幾個另一個量”。比較時，先把2個胡蘿卜確定為“標準量”，即為1份，紅蘿卜有3個“標準量”，即為3份，教材還特地用虛線將每份框起來。“3倍”的數學模型是“比較量÷標準量=倍數”。因此，“倍”的學習，一方面要讓學生能正確辨析“相差關系”和“倍數關系”兩種數學模型;另一方面，它對日后學習分數、百分數、比起著舉足輕重的作用。

2. 分數：核心課

分數的重要性在于既繼承倍的數學本質，又是學習百分數和比的基礎。因此，分數可以說起到承上啟下的作用，它的教學成敗將直接影響學生能不能構建出“倍數關系”的整個知識系統結構。如上文所說，分數（百分數）是兩個量的“非整數倍”，教學實踐表明此類判斷題的錯誤率居高不下，原因是有些學生會不自覺地將“率”誤當成“量”來思考。因此，率的教學多安排“對比題組”讓學生感悟，以此加深印象就顯得尤為重要。

3. 百分數：綜合課

百分數是分數的一種特殊表示形式，因此百分數的分率句可以轉化成分數來思考。如“甲比乙多80%”可以理解成“甲比乙多[45]”，可大大減輕學生的理解難度。百分數的解決問題想比分數來說，更為復雜和綜合，因為百分數問題與生活有著密切的聯系，如求“百分率”，有命中率、合格率、成活率等，需要學生結合生活情境思考。

教學實踐表明這類問題正確率整體不高，因此，在學習“分數乘除”單元時，對“比”字句的分率句適當滲透，可大大減輕該內容的認知難度。

（三）細讀教材，梳理三大類型

分數（百分數）解決問題難，其中一個因素在于它的題型變化多端，而且數量關系復雜，其實認真細讀教材，不管題型如何變化，總結起來就三個“基本類型”。①一個數是另一個數的幾分之幾（百分之幾）。②求一個數的幾分之幾（百分之幾）是多少。③已知一個數的幾分之幾（百分之幾）是多少，求這個數。

在此基礎上，拓展出“比”字句的三個“拓展類型”。①一個數比另一數多（少）幾分之幾（百分之幾）。②求一個數比另一個數多（少）幾分之幾（百分之幾）是多少。③已知一個數比比另一個數多（少）幾分之幾是多少，求這個數。

拓展出的三個類型都可轉化回三個“基本類型”，因此，教學時要引導學生將“比”字句和“是”字句進行溝通和聯系，以減少學生對題目類型的識記量。

二、整體把握教學，認知螺旋上升

不管是倍數問題，還是分數（百分數）問題，它們解決問題的思維模型都是相同的——都是對關鍵分率句展開分析，確定單位“1”和與單位“1”相比較的量;再畫圖分析，列出數量關系式;最后列式計算。

（一）構建統一分析框架

1. 找：分率句

根據分數（百分數）解決問題的結構特征，找到題目中的分率句并對其分析，引導學生弄清“誰和誰比”，最關鍵的是確定誰是單位“1”，與其比較的量稱為比較量。找單位“1”，有經驗的教師會引導學生用“位置法”來找，如“的”的前面，“是”“相當于”“比”字的后面。

但是“位置法”存在不足，不能對沒有關鍵詞的省略句起作用，也不能對“的”和“相當于”同時出現的“分率句”起作用。因此，找單位“1”的最佳做法是引導學生讀懂“分率”在情境中的具體意義。對于沒有關鍵詞的省略句，可采用“擴句”法，擴句后的“分率句”兩個量的比較關系就更清晰。

2. 畫：線段圖

線段圖是解分數（百分數）問題時，分析數量關系重要的輔助方法之一。它可以排除一些與數量關系無關的情節內容，使分數（百分數）解決問題中的數量關系具體化、明朗化。特別是一些復雜數量關系的問題情境，它的作用顯得尤為重要。如：

學校器樂組有女生16人，比男生的2/3多4人，器樂組有男生多少人？

筆者在教學中經常發現學生會出現這兩種錯誤：一種是“16÷2/3+4”，一種是“（16+4）÷2/3”。問題原因在于學生弄不清楚到底是先運算2/3還是4人。如果用線段圖進行分析，一切就能迎刃而解。由線段圖分析可以看出，2/3對應的量不是16人，也不是（16+4）人，而是（16-4）人，男生人數應該是“（16-4）÷2/3=18”人。

3. 統：乘除運算

分數（百分數）的乘法和除法運算，它們兩者有著緊密的內在聯系，即數量關系式相同，教材都是列成乘法數量關系式：單位“1”×分率=比較量，區別在于單位“1”是已知還是未知，這樣就使分數（百分數）乘、除問題統一在統一思路上，便于學生理解和掌握。如：

（1）學校體育器材室里有16個排球，籃球的個數是排球個數的4/5，籃球有多少個？

（2）學校體育器材室里有40個籃球，籃球的個數是排球個數的4/5，排球有多少個？

以上兩題分別對應分數乘、除問題，教師在分析時，引導學生先不要關注單位“1”已知還是未知，而是先將分率句列成“排球個數×[45]=籃球個數”的乘法數量關系式，基于數量關系式去找題目中的信息，哪個已知，哪個未知，分析完成后讓學生說說它們分別用什么方法運算。這樣的對比練習后，學生對分數乘（除）解決問題會有更深刻的認識。

（二）整體辨析量率關系

分數（百分數）解決問題之所以難，主要難在分數存在“量”和“率”，只有讓學生充分理解，才能化難為易。

1. 量率辨析

在分數解決問題中，“量”與“率”是相對而言的。如2/5，在后面加上單位，表示的是一個具體數值的數量，量是確定不變。而沒有單位的2/5，它則表示的是兩個數量的分率，在分數、百分數和比例的解決問題情境中，它不像“量”能夠獨自存在，更多體現的是比較量與標準量進行比較后兩者之間的比率。率表示兩者的比率關系，但不能確定兩個相互比較量的具體數值。

2. 量率對應

分數解決問題中的“量”和“率”是對應的，每一個具體“數量”都有對應的“率”。同樣，每一個“率”也都有其對應的具體“數量”。也就是說在分數解決問題中任何一個“物”都有“量”和“率”的雙重身份。明確理解“量”與“率”的對應，并能準確找出對應的“量”與“率”，是提高分數解決問題的關鍵能力。

3. 量率運算

“量”和“率”是同一物在不同范疇里的兩個身份。在實際運算時，“量”與“量”或“率”與“率”只運行一級運算，也就是相加減;而“量”與“率”則運行二級運算，也就是相乘除。這里還需要學生注意的是，不管是“率”與“率”的一級運算，還是“量”與“率”的二級運算，都必須基于相同的標準量。

三、整體設計練習，全面提升能力

練習是數學課程的重要組成部分，是使學生將所學知識轉化為技能，并使技能轉為技巧的重要環節。在設計練習時，除緊扣教學目標之外，對于像分數（百分數）解決問題這類同數學本質的內容，特別要注意整體思考，力求各個練習相互聯系，構成一個完整的練習結構。

（一）基礎練習

1. 意義理解。分數既可以表示率，也可以表示量，學生在練習中經常會混淆，可以采取設計橫向對比練習，加強溝通聯系。

（1）一條長8米的繩子，平均截成4段，每段長（ ）米，每段長是全長的（ ）。

（2）一條長6米的繩子，平均截成4段，每段長（ ）米，每段長是全長的（ ）。

（3）一條長3米的繩子，平均截成4段，每段長（ ）米，每段長是全長的（ ）。

三道題的情境相同，繩子的米數不同，每段的長度就不同，平均分的段數相同，每段長與全長的關系就相同。

2. 找單位“1”。找單位“1”有“位置法”“意義法”“擴句法”等，教師可設計題組練習，讓學生在變化的情境中熟練掌握找單位“1”的方法。

（1）雞的只數是鴨的7/8。

（2）一袋面粉，吃了2/7。

（3）冰化成水，體積減小1/11。

（4）黑兔的3/5相當于白兔的數量。

（二）變式練習

變式練習指的是變換問題中的數學信息，強化學生數學思維能力的訓練，實現對數學知識的理解，掌握數學的本質屬性。

1. 條件變式。如：學校體育器材室里有40個籃球，_________，排球有多少個？

（1）籃球的個數是排球的4/5

（2）排球的個數是籃球的4/5

（3）排球的個數比籃球多4/5

（4）籃球的個數比排球少4/5

2. 問題變式。如：小華有50個練習本，小明有30個練習本，____________

（1）小華比小明多多少個練習本？

（2）小明的練習本是小華的幾分之幾？

（3）小明的練習本比小華少幾分之幾？

（4）小華的練習本比小明多幾分之幾？

變式訓練有助于學生從不同角度理解分數解決問題的數量關系和題目結構。

（三）編題練習

1. 根據條件補問題。引導學生根據題中的數量關系，從不同角度提出問題，培養學會思維的靈活性。如：

甲倉庫存糧120噸，比乙倉庫存糧少1/3。

學生可能編出以下問題，如“乙倉庫有存糧多少噸？”“甲倉庫比乙倉庫的存糧少多少噸？”“甲乙兩倉庫一共有多少噸存糧？”等。

2. 根據算式編題目。看式編題指的是根據給出的算式編出符合算式的題目。如：

甲數是20，乙數是15，根據“（20-15）÷20”算式編一道題目。

要想正確編題，學生就需要理解“（20-15）”“20”“（20-15）÷20”中“÷”表示什么意思。只有理解算式中每個量的具體意思，學生才能想到這道算式表達的是“甲數比乙數少幾分之幾”。像這類編題練習，需要學生的聯想能力，需要學生能讀懂算式表示的具體意思，才能正確編對題目。

四、整體滲透策略

《數學課程標準》在課程目標中明確指出：“數學教學要形成解決問題的一些基本策略，體驗解決問題的多樣性，發展實踐能力和創新精神。”因此，學生除了掌握基本的思考方法之外，還要掌握一些特殊的思考方法，在某種程度上還能促進學生潛在能力的充分發揮。

1. 以靜制動，抓不變量。有些題目中數量關系變化繁多，似乎難辨清其內在聯系。如果我們仔細分析，變來變去，總有一個量是不變的。這就是我們所說的“不變量”，以靜制動，問題便可迎刃而解。

2. 重建關系，統一單位“1”。有些題目中有多個分率句，但每個分率句的單位“1”都不相同，使各種數量之間的關系變得錯綜復雜，增加了解題難度。如果能統一單位“1”，可以使數量關系變得穩定。

3. 轉換視角，多角度理解。分數、比、百分數問題本質上是倍數問題，它們都是研究數量之間的關系。因此，教學時，教師應引導學生用“變化”的視角來理解題意，幫助學生將零散的知識整合起來，形成完整的知識體系。

參考文獻

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[4]郝燕.如何讓小學生掌握解答分數和百分數應用題的基本模式和方法[J].數學教學通訊，2016（34）.

（浙江省溫嶺市澤國鎮第二小學，溫嶺317500）