器壁旋轉模式下液體平衡狀態的分析

雷 奕，石立紅，張俊成，潘建澎

(長江大學 石油工程學院，湖北 武漢 430100)

器壁帶動液體旋轉模型有效綜合了流體力學、幾何數學、物理光學等多種知識，國內外學者綜合這些知識并利用實驗得出液體旋轉形成的穩定液面為拋物面等大量的研究成果[1-5].器壁旋轉液體實驗在測重力加速度、液體折射率及液體混合等方面應用廣泛[6-10].同時學者對旋轉液體的旋轉方式、幾何關系、衰減特性進行分析總結，更有學者使用VB、fluent等軟件對液體旋轉實驗進行精確的計算、模擬[11-13].但現有的教材、實驗、數模僅僅考慮直筒壁下的旋轉平衡，并沒有指出當器壁斜率發生改變時，一般規律是否依然適用.本文在此基礎上引發思考，進一步推導出器壁斜率為K值時的恒等式并研究其參數間的關系，同時利用fluent建立模型，將模擬結果與公式推導相結合，得到的普適性規律，對教學、實驗、應用具有指導性的意義.

1 旋轉拋物面方程

斜率為K(K≠0)的圓筒容器內盛有一定量液體，容器繞中心軸以角速度W勻速旋轉，由于液體粘性的作用，與容器壁接觸的液體層會被帶動而旋轉，使所有液體質點都繞該軸旋轉.待運動穩定后，各質點具有相同的角速度，液面形成一個漏斗形的旋轉面，如圖1所示.以旋轉液面最低點為坐標原點O，Ox軸沿水平方向，Oy軸沿中心對稱軸向上,建立直角坐標系Oxyz.旋轉液體達到穩定狀態時，液面切線與水平軸的夾角為θ.液面上質量為m的質元在重力FG和離心力FL的作用下沿切線方向受力平衡，表達式為

圖1 旋轉自由液面質點受力分析

mgsinθ=mω2xcosθ

(1)

即

tanθ=dy/dx=ω2x/g

(2)

對式(2)進行積分得

(3)

(4)

式(4)證明了，斜率為K的圓筒容器繞中心軸勻角速度旋轉時，其自由液面是旋轉拋物面，這與直筒壁旋轉規律一致.

液面上某一點的斜率K′可表示為

(5)

由式(5)知拋物線的斜率隨角速度增大而增大，并且拋物線邊緣處(xmax)斜率最大.

2 K的恒等式

盛有液體的圓筒(器壁斜率為K時(K≠0))以一定角速度W繞其中心軸旋轉，假設旋轉液面最低處恒高于桶底，容器高度足夠大，液體不會溢出.各參數如圖2所示.由于K值對通式的推導過程沒有影響，為方便研究，所以僅研究K>0的情況，進一步探究各參數之間的關系.

圖2 斜率為K的容器旋轉液體圖

(6)

則圖2中Oxz坐標平面以上拋物線繞y軸旋轉 得到的體積V拋為

(7)

Oxz坐標平面以上高為H的圓臺體積VH為

(8)

旋轉前Oxz坐標平面上方液體體積Vk為

(9)

由于旋轉前后Oxz坐標平面上方液體的體積不變，可得

VH-Vh=V拋

(10)

將式(7)—式(9)代入式(10)化簡得

(11)

式(11)即為需要推導出來的恒等式，當旋轉容器斜率為K(K≠0)時，r、h、H、K恒滿足上述關系式.

3 K的幾何特性

3.1 K→∞時的恒等式

當器壁斜率K→∞時，容器變為直筒壁，如圖3所示.由式(7)—式(9)得：

圖3 斜率K→∞時的容器旋轉液體圖

(12)

(13)

(14)

由于旋轉前后Oxz坐標平面上方液體體積不變，得到

VH-Vh=V拋

(15)

化簡得

H=2h

(16)

或

H-h=h

(17)

式(16)、(17)的物理意義為：直筒壁中旋轉拋物液面中液位最低點到最高點的距離為最低點到初始液位距離的兩倍或液位變化中上升的高度與下降的深度恒相等.文獻[12]曾間接得到該結論.

通過式(12)和式(13)得到

(18)

即旋轉拋物體的體積等于同底同高圓柱體體積的一半.這里的結論與文獻[2]指出的體積及液位關系一致.

同時由式(17)和(18)得出：當K→∞時，在容器尺寸足夠大、初始液位足夠高的前提下，隨著角速度ω的無限增大，液位的變化是無限的，滿足式(17)液位上升的高度恒等于液位下降的深度；體積恒滿足式(18)，旋轉拋物面形成的體積恒等于同底同高圓柱體體積的一半.

3.2 K>0時的臨界值

對一般式(11)整理得

(19)

由于K>0、h>0、r>0，因此

(20)

(21)

即

(22)

圖4 K=3，ω=50 rad/s，液體正常旋轉

通過fluent建立旋轉液體層流模型(初始液位30 mm，下底10 mm，上底50 mm，容器高60 mm)，給定轉速使液體旋轉穩定(如圖4)；增大轉速，當拋物面最大斜率K’max>K時，旋轉邊緣的液體將不再是拋物面，會在離心力和下層液體擠壓的共同作用下，沿著斜壁往上增長，形成一層覆蓋在斜壁上斜率為K的水膜(如圖5)，水膜隨著轉速的增加而生長，此時旋轉液體形狀分為兩部分：1) 容器中部的旋轉拋物面；2) 容器邊緣覆在斜壁上的水膜，水膜開始出現的臨界角速度為ωlj=(gK/xmax)1/2.同時由臨界角速度得，角速度越大，xmax越小，即旋轉拋物面的范圍越小，水膜范圍越大.

圖5 K=3，ω=60 rad/s，形成水膜

4 結論與建議

容器壁帶動內部液體旋轉形成的平衡液面與器壁斜率K值無關，恒為拋物面，其液位變化、筒內半徑、筒壁斜率恒滿足等式(11).

斜率K→∞時，容器為直筒壁，隨著角速度增加，液位的變化是無限的，但液位上升高度恒等于液位的下降深度，并且旋轉液面形成的體積為同底同高圓柱體體積的一半.

本文沒有涉及到器壁斜率K<0時的參數關系及物理意義，其他研究人員可進一步深入討論.