低功率激光熱透鏡效應的模擬及研究

郭政鑫，高綺妮，范紫萍，陳清楠，鄭博為，彭 力,2

(1.華南師范大學 物理與電信工程學院，廣東 廣州 510006；2.華南師大(清遠)科技創新研究院有限公司，廣東 清遠 511517)

熱透鏡效應常見于激光照射到晶體或有機溶液上，已經成為物質微弱吸收測定的有力工具，熱透鏡焦距則是衡量熱透鏡效應的一個重要參數. 探究和認識熱透鏡現象也是本科生融會貫通光學與熱學知識的有效途徑. 然而，目前對于熱透鏡效應的研究主要集中在對于諧振腔介質熱透鏡效應的分析上，如對Nd：YAG晶體熱應力的測算[1]，磁流體光學特性研究[2]等. 以上工作研究的對象大都是用于工業的高功率激光器，缺少從實驗教學的需求出發，對于熱透鏡焦距影響因素的定量研究，且驗證理論對于實驗條件的要求較為嚴苛，不適合直接引入到本科課程教學之中. 因此，探究并總結低功率激光器在介質中的光熱特性可為普物實驗教學提供實用的理論解釋. 現代有限單元法結合有限差分法與解析變分法的優勢，可高效準確地獲得微分方程的數值解，本文將介紹對于低功率激光器的有限元模擬方法，展示介質內部溫度場分布，從保證實驗可行性的角度出發，研究低功率激光器熱透鏡焦距與介質厚度、吸收系數以及激光功率等參數的關系，與實驗結果對比符合良好.

1 理論介紹

1.1 熱透鏡效應的定性分析

高斯型激光的光強表達如下式(1)，當其透射到有機溶液時，溶液中的有機分子吸收了光子而被激發，再以非輻射的弛豫方式回到基態，把吸收的全部光能以熱的形式釋放出來[3]. 這種加熱作用導致了在受輻射的溶液局部區域中產生了呈徑向對稱的溫度分布[4].

I(r)=I0e-r2/w2

(1)

醬油介質的折射率函數與溫度呈負相關[5]. 中心溫度高，四周溫度低的溫度場，使得在醬油中在光束軸心處的光程較邊緣短一些(見式(2))，對光束的作用等效于凹透鏡.

ΔD(x,y)=knl(x,y)

(2)

高斯光束經凸透鏡匯聚形成焦點，當醬油薄片放在光斑焦點后，對高斯光束起發散作用，遠場高斯光斑增大.

1.2 激光照射下介質內熱場分布

我們模擬的系統可由圖1所示，高斯激光經過凸透鏡會聚在裝有介質的樣品薄片中，主要對介質內部熱場分布進行模擬，借此探究熱透鏡效應.

圖1 系統示意圖

根據熱學分析，穩定后介質中的溫度分布滿足穩態熱傳導方程[6]，由于激光具有軸對稱性，故可以將其化為二維形式:

(3)

其中，T為溫度，r為與光束中心在徑向上的距離，z為光束傳播方向上的距離，λ為介質的熱傳導系數.q=q(r,z)為介質中的熱源分布，該分布受到激光光強分布影響，高斯光束光強分布可表示為

(4)

以此我們可以寫出激光加熱介質時，介質內部的產熱分布

(5)

其中Pin為激光功率，a和η分別為介質的吸收系數以及熱轉化率，l為介質厚度.ω(z)為距激光束腰距離為z處的光束半徑，其表達式為

(6)

其中ω0為光腰處半徑，另外，溫度場還滿足以下邊界條件:

(7)

(8)

其中，h1和h2分別是空氣和醬油的對流換熱系數，Ta和Tb分別是醬油與空氣的初始溫度.

1.3 熱透鏡焦距的計算

介質不同徑向距離處與中心的光程差可以表示為[7,8]

(9)

其中，n為介質的折射率分布，它與溫度分布有關，表達式為[9]

(10)

T0為介質所處的室溫，n0為室溫下的介質折射率，β為膨脹系數. 從幾何光學的角度來說，光程差又可以表示為

(11)

其中f為熱透鏡的等效焦距，聯立式(10)、(11)就可以得到根據溫度分布以及折射率分布求解熱透鏡焦距的表達式:

(12)

由于最終產生的等效透鏡不是完美的球透鏡，不同徑向位置會將光匯聚在不同焦距處(數值解析都可以證明)，我們將取焦距的平均值作為有效熱透鏡焦距，后文都直接簡稱為熱透鏡焦距.

1.4 有限元法求解溫度場

對于求解微分方程，古典近似計算分為有限差分法與解析變分法兩大門類[10]，有限差分法的特點是引入了離散化的思想，而解析變分法是引入試探函數并對整個區域積分的方法. 而現代有限單元法則結合兩者的優勢，能夠高效準確地獲得微分方程的數值解，本文就是根據文獻[10]中的方法，在軟件中編寫有限元法程序求解1.2中熱傳導方程.

為了更加清晰地說明，將列出數值模型中所有的參數，如表1所示.

表1 物理量和符號列表

圖2 求解區域的選擇與離散化

為了方便處理，這里將溫度場求解區域設為過光束圓形直徑的矩形截面，矩形的長和寬分別是光束的光斑直徑以及介質的厚度. 根據有限元法的要求，先將求解區域的長和寬分別81等分并記錄每一個節點的坐標，再按照規則將每個小矩形單元劃分成兩個三角形單元，如圖2所示.

有限元法求解溫度場分布的核心是求解(13)式所示的線性代數方程組，其中系數矩陣[K]稱為溫度剛度矩陣，[N]稱為非穩態變溫矩陣，矢量{p}是等式右端組成的列向量，而矢量{T}便是由我們要求解的各個節點的溫度值組成. 由于我們只關心溫度場穩態時的溫度分布，故[N]項可以不用考慮.

(13)

對于第三類邊界條件的溫度場，根據有限元法理論有如下關系，i,j,m分別代表每個三角形單元的3個節點標號，熱源分布q可以通過將節點坐標代入式(5)獲得:

kij=kji=φ(bibj+cicj),

kim=kmi=φ(bibm+cmci),

kjm=kmj=φ(bjbm+cjcm)+hsi/6,

(14)

另外，bi,j,m和ci,j,m是也是節點坐標的函數，滿足以下關系:

bi=yj-ym,ci=xm-xj,

bj=ym-yi,cj=xi-xm,

bm=yi-yj,cm=xj-xi

(15)

確定了每個單元的情況就可以合成溫度場的溫度剛度矩陣[K]以及矢量{p}，通過矩陣除法運算求解出溫度場矢量{T}.

2 仿真模擬及實驗結果分析

2.1 介質中的溫度場分布

建立好模型后，將:Pin=5.0×10-3W，α=1.0 m-1,η=0.50，T0=300 K，λ=0.30W/(m·K)，ω0=1.0×10-4m，h=200W/(m·K)，r=0.90×10-3m，z0=6.0×10-4m，代入模型可解得介質中的溫度分布，如下圖所示.

圖3 介質中的溫度分布

從圖中可以看出，低功率激光中心照射區域介質的溫度最高，越靠近光束邊緣或者越深入介質溫度越低. 獲得完整的溫度場信息之后，接下來就可以利用溫度分布來求解等效熱透鏡焦距.

2.2 激光功率對熱透鏡焦距的影響

求解出介質內的溫度分布，可以利用式(10)、(12)計算介質的等效熱透鏡焦距. 保持其他參數不變(同2.1)，探究不同激光功率Pin對熱透鏡效應的影響. 仿真和實驗都設定將介質放置在面積固定激光光腰處，又考慮到實驗室直接可以控制的是激光功率，故直接采用激光功率為自變量進行研究，為了保證實驗的可操作性以及安全性，我們將最大功率定為10 mW，結果如下.

從圖4可以看到，隨著功率增大，介質軸線的整體溫度逐漸升高，圖5、6中也可以從徑向截面看，隨著功率增大，介質整體溫度升高，介質的軸線到兩側的溫度梯度越來越大. 這導致折射率梯度也越來越大，等效熱透鏡焦距減小. 如圖7所示，熱透鏡效應更加明顯. 圖8顯示，100～110 mw下熱透鏡焦距變化平緩. 圖7、8相比較，相同功率變化范圍下低功率激光熱透鏡焦距的變化更明顯，推薦選擇10 mW 以下的激光器進行實驗.

圖4 不同功率下光束中軸線上介質的溫度分布

圖5 不同功率下介質中徑向的的溫度分布

圖6 不同功率下介質中徑向的的溫度梯度

圖7 不同功率熱透鏡焦距

圖8 功率100～110mW下熱透鏡焦距變化參考

2.3 不同介質特性對熱透鏡焦距的影響

除了激光功率以外，介質的種類也是影響熱透鏡效應的關鍵因素之一. 我們選擇不同介質，進行以下討論.

2.3.1 吸收系數對熱透鏡焦距的影響

保持其他條件不變，取不同的吸收系數，以模擬不同的液體介質濃度對于熱透鏡焦距的影響，結果如圖9所示.

圖9 熱透鏡焦距與熱吸收率的關系

模擬結果顯示，在低功率激光作用下，隨著介質吸收率的升高，熱透鏡焦距絕對值呈現線性降低趨勢.

2.3.2 厚度對熱透鏡焦距的影響

探究不同介質厚度對于低功率激光熱透鏡效應的影響，同樣保持其他條件不變，將從0.01 mm開始逐漸增加介質厚度，模擬出對應的熱透鏡焦距如圖10. 另外需對厚度進行限制，因為模型難以考慮介質散射及吸收對熱透鏡效應的影響，不一定對厚的液體介質適用.

從結果中可以發現一個有趣的現象，介質厚度逐漸增加的過程中，熱透鏡焦距并沒有呈現一個單調變化的趨勢，而是在一個厚度處出現了一個極值. 從圖10中極值點附近取三個厚度的介質，分別繪制光束中心線上的溫度分布，如圖11所示.

圖10 熱透鏡焦距與厚度的關系

圖11 不同厚度介質光束中軸線上的溫度分布

可見厚度為0.01 mm的介質雖然比厚度為0.02 mm的介質與激光作用的距離短，但是由于厚度較小，介質可被激光充分加熱，同時在邊界散熱較快，故具有更大的溫度梯度，導致熱透鏡焦距絕對值更小. 而厚度超過0.02 mm的介質，雖然激光功率不足以充分加熱整塊介質，但隨著厚度的增加，因等效熱透鏡的累計效應，熱透鏡焦距絕對值也會呈現減小趨勢.

因此，若出現熱透鏡效應較不明顯的情況，可以適當減小或者增加介質厚度. 但介質厚度不宜過厚，過厚的介質會對激光產生較強的吸收和散射，導致透過介質的光線很弱，不易觀察和測量.

3 實驗驗證

為了驗證仿真結果的可靠性，設計并搭建可以測量介質等效熱透鏡實驗平臺，使用不同濃度及厚度的介質進行驗證實驗.

3.1 熱透鏡焦距的測量

實驗過程為，首先利用刀口法[11]測量激光透射介質后在光屏留下的光斑半徑，再測量各光學器件之間的距離，利用光學矩陣法[12]就可以根據以上參數計算出熱透鏡的等效焦距. 實驗流程如圖12所示.

圖12 實驗裝置示意圖

3.2 介質參數的控制

為了能夠驗證熱透鏡焦距與介質熱吸收率以及厚度的關系，制作不同濃度以及厚度的介質樣品. 容納介質的容器是由兩片薄玻片間夾U型薄膜制成，介質選用商業醬油[12]，如圖13所示. 調節介質的濃度便可調控熱吸收率，調控U型薄膜的層數便可控制介質厚度.

圖13 不同參數的介質樣品

3.3 實驗結果

3.3.1 熱吸收率對熱透鏡焦距的影響

采用一組等濃度梯度變化的介質溶液進行實驗，得到熱透鏡焦距變化如圖14， 其中介質厚度均為0.1 mm，各組介質占與純水混合溶液的濃度分別為20%～100%. 實驗結果大致與理論分析符合，焦距呈線性變化. 由于實驗時容器玻片會對入射激光產生一定反射，損失部分能量，故熱透鏡焦距會與理論值存在一定的差距.

圖14 熱透鏡焦距與熱吸收率的關系

3.3.2 厚度對熱透鏡焦距的影響

取介質濃度均為100%，制作厚度分別為0.01、0.02、0.03、0.05、0.07 mm的介質樣品進行多次測量熱透鏡焦距，結果與模擬值趨勢大致相同，誤差同樣主要來自玻片對光束的反射.

圖15 熱透鏡焦距與厚度的關系

3.4 研究結論

根據以上討論，對于搭建低功率激光熱透鏡實驗系統，可以給出一些建議. 首先在激光功率的選擇方面，在保證安全范圍內盡量選擇更大功率，建議選用10 mW以下的低功率激光器. 在介質選擇上，選擇熱吸收系數較高的介質會有更好的效果，在熱透鏡效應不明顯時可適當增加介質厚度. 目前已知在低功率激光熱透鏡特性良好的介質有聚吡咯甲烯-聚乙烯醇復合材料[5]、鎳合金薄膜[13]，2-(5-溴-2-吡啶偶氮)-5-二甲氨基苯胺[14]等.

4 總結

本文介紹了利用有限元法模擬低功率激光器熱透鏡效應的方法，并且利用該方法獲得了介質內的溫度場分布. 除此之外，本文還探討了介質熱吸收率、厚度以及激光功率對于低功率激光器熱透鏡效應的影響，得出了熱透鏡焦距隨激光功率增加絕對值減小，隨著介質熱吸收率上升絕對值減小，不隨介質厚度變化而單調變化的結論，實驗與模擬符合良好. 為采用不同激光器以及介質進行實驗教學設計提供了理論參考.