對“入射粒子能量為閾能時的核反應(yīng)是完全非彈性碰撞”的更一般性證明

蘇國珍

(廈門大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，福建 廈門 361005)

文獻(xiàn)[1]給出了“入射粒子能量為閾能時的核反應(yīng)是完全非彈性碰撞”這一結(jié)論的一種證明，但只針對比較特殊的情況，即反應(yīng)后生成兩個粒子.一個粒子入射到一個靜止的靶產(chǎn)生核反應(yīng)后，可能生成一個粒子、兩個粒子或更多個粒子.若只生成一個粒子，入射粒子的動能是定值；如果生成兩個或兩個以上的粒子，則入射粒子的動能不是唯一的.使得核反應(yīng)能夠發(fā)生所需要的入射粒子的最小動能稱為反應(yīng)閾能.本文將針對更一般的情況，即反應(yīng)后生成n(n≥2)個粒子，給出上述結(jié)論的證明.

考慮以下核反應(yīng)：

A+B→C1+C2+…+Cn

(1)

1 通過動量-能量矢量變換證明

在質(zhì)心參照系中，根據(jù)能量守恒，有

(2)

質(zhì)心參照系中系統(tǒng)的總動量為零，即

(3)

(4)

(5)

式中c為真空中的光速.由式(2)～(5)可解得：

(6)

圖1 實驗室參照系與質(zhì)心參照系中的核反應(yīng)

(7)

(8)

(9)

由式(8)可得

(10)

(11)

將式(10)和(11)代入式(9)，并利用式(3)和(4)，可得

(12)

最后，將式(6)和(7)代入式(12)，我們得到實驗室參照系中粒子A的能量：

(13)

其動能為

(14)

(15)

時，入射粒子的動能最小.此時反應(yīng)產(chǎn)生的粒子在質(zhì)心參考系中都處于靜止?fàn)顟B(tài)，在實驗室參照系中以共同的速度vC運動，即核反應(yīng)是完全非彈性碰撞.將式(15)代入式(14)，得到入射粒子動能最小值，即閾能為

(16)

2 通過動量-能量矢量不變量證明

利用動量-能量矢量不變量[2]，可更方便地證明上述結(jié)論.由動量p和能量E構(gòu)成的四維矢量(p,iE/c)，其內(nèi)積p2-E2/c2是一個與參照系無關(guān)的不變量，這一性質(zhì)還可以推廣到質(zhì)點系，即(∑p)2-(∑E)2/c2是不變量.將這一結(jié)論應(yīng)用到粒子A、B組成的質(zhì)點系，可得

(17)

根據(jù)式(17)，結(jié)合式(2)、(3)以及粒子A的動量與能量所滿足的關(guān)系

(18)

不難得到粒子A能量的表達(dá)式，其結(jié)果為式(13).余下的證明過程與上述相同，不再贅述.