原子質量對一維三原子鏈色散關系的影響

趙 遠，胡建民，王月媛，牛 麗

(哈爾濱師范大學 光電帶隙材料教育部重點實驗室 物理與電子工程學院，黑龍江 哈爾濱 150025)

一維原子鏈是固體物理晶格動力學的基本模型，模型雖然簡單卻極具代表性.利用經典的牛頓力學方法求解的一維原子鏈色散關系也成為分析晶格原子振動特點及晶體性質的理論基礎.簡諧近似下求解晶格原子的動力學方程可得晶格常數為a的一維單原子鏈色散關系為[1]

(1)

(2)

為進一步研究原胞中三個原子的運動特點，孫美慧等人[5]求解一維三原子鏈的動力學方程得到其色散關系為

-m1m2m3ω6+2β(m2m3+m1m3+m1m2)ω4-

3β2(m1+m2+m3)ω2+2β3(1-cos 3qa)=0

(3)

上式中m1、m2和m3是原胞中依次等間距排列的三個不同原子的質量.如果令m1m2m3=xj，m1+m2+m3=xh，m2m3+m1m3+m1m2=xjh，可得

(4)

(5)

(6)

其中θ=arccosT，而

根據式(4)、式(5)和式(6)可得一維三原子鏈的色散關系曲線，如圖1所示.由圖1可見，一維三原子鏈的色散關系曲線包括3支，分別為聲學波ω1、低頻光學波ω2和高頻光學波ω3，存在兩個頻率禁帶，即低頻光學波與聲學波之間的頻率禁帶ωg1和高、低頻光學波之間的頻率禁帶ωg2.孫美慧[5]在此基礎上討論了一維三原子鏈與一維單原子鏈色散關系的內在聯系，并未對頻譜寬度以及頻率禁帶進行深入研究.

本文以原胞內原子質量分別為m1、m2和m3的一維三原子鏈為研究對象，在恢復力系數不變的情況下分析原子質量對頻譜寬度Δω1、Δω2和Δω3以及頻率禁帶ωg1和ωg2的影響規律，研究結果可為晶體帶通濾波器的設計及晶體的性質分析提供理論依據，也是對固體物理教學內容的豐富和補充.

圖1 一維三原子鏈簡約布里淵區的色散關系曲線

1 原子質量對一維三原子鏈頻譜寬度的影響

為分析一維三原子鏈頻譜寬度隨原子質量變化的基本規律，在一維三原子鏈中，取原子質量不同m1≠m2≠m3且m1

圖2 一維三原子鏈頻帶頂和頻帶底隨原子質量變化的關系曲線

由圖2可見，隨原子質量m1、m2和m3增加，所有頻帶的帶頂和帶底均降低，只是圖2(a)中聲學波和低頻光學波頻帶頂隨m1變化，圖2(b)中聲學波的頻帶頂隨m2變化，圖2(c)中低頻和高頻光學波的頻帶底隨m3變化相對微弱，其余頻帶頂和頻帶底均隨原子質量的增加而降低.

圖3為一維三原子鏈頻譜寬度隨質量變化的關系曲線，圖3中曲線同樣是在原胞內三個原子、其中兩個原子質量為定值而另一原子質量變化的情況下得到的，圖中原子質量數據使用三個原子質量的相對值.

圖3 一維三原子鏈頻譜寬度隨原子質量變化的關系曲線

由圖3可見，原胞內三個原子的質量變化對三支格波的頻譜寬度均有影響，這與一維雙原子鏈明顯不同，一維雙原子鏈聲學波頻譜寬度只與重原子質量有關.這說明在原胞內含有三個原子的情況下頻譜寬度的改變是晶體中所有原子參與的集體運動行為.由圖3(a)可見，聲學波頻譜寬度Δω1隨原子質量m1、m2和m3的增加均逐漸減小，即聲學波的頻率極限不斷降低，其變化率隨m3變化最為顯著，隨m1變化微弱，說明聲學波頻譜寬度變化主要取決于大原子質量變化.由圖3(b)可見，低頻光學波頻譜寬度Δω2隨小原子質量增加顯著增加，隨大原子質量的增加而顯著降低，隨中間原子質量的增加先增大而后減小，變化相對微弱.

由圖3(c)可見，高頻光學波頻譜寬度Δω3隨小原子質量增加而顯著增加，而隨大原子質量增加顯著減小，與低頻光學波頻譜寬度變化規律相近，這說明光學波頻譜寬度變化更多地取決于大原子和小原子質量的變化.對比圖3(b)和(c)可見，中間原子質量變化對光學波，特別是對低頻光學波頻譜寬度影響相對微弱.

2 原子質量對一維三原子鏈頻率禁帶的影響

圖4(a)和4(b)分別是一維三原子鏈頻率禁帶ωg1和ωg2隨原胞中原子質量變化的關系曲線.圖4中同樣取原胞內三個原子，其中兩個原子質量為定值而另一原子質量變化，原子質量數據使用三個原子質量的相對值.由圖4可見，原胞內三個原子質量的變化都顯著影響頻率禁帶的變化，說明頻率禁帶變化是原胞內三個原子均參與的集體運動行為.

由圖4(a)和4(b)可見，頻率禁帶ωg1和ωg2均隨小原子質量m1的增加而逐漸變窄，而隨大原子質量m3的增加逐漸變寬；隨中間原子質量m2的增加，ωg1逐漸變窄而ωg2逐漸變寬.一維三原子鏈的頻率禁帶ωg1和ωg2分別取決于低頻光學波頻帶底ω2b與聲學波頻帶頂ω1t，以及高頻光學波頻帶底ω3b與低頻光學波頻帶頂ω2t的變化.隨原子質量的增加，低頻光學波頻帶底ω2b和聲學波頻帶頂ω1t、高頻光學波頻帶底和低頻光學波頻帶頂均降低的情況下，頻率禁帶可能變寬也可能變窄，主要取決于二者下降的幅度.

圖4 一維三原子鏈頻率禁帶隨原子質量變化的關系曲線

首先，頻率禁帶ωg1隨m1的增加而顯著變窄，這是圖2(a)中隨m1的增加聲學波頻帶頂ω1t微弱降低，而低頻光學波頻帶底ω2b顯著降低造成的；頻率禁帶ωg2隨m1的增加而逐漸變窄，這是圖2(a)中隨m1的增加高頻光學波頻帶底ω3b顯著降低，而低頻光學波頻帶頂ω2t微弱降低造成的.其次，隨m2的增加頻率禁帶ωg1顯著變窄，而頻率禁帶ωg2顯著變寬，這是圖2(b)中隨m2的增加，低頻光學波頻帶底ω2b顯著降低而聲學波頻帶頂ω1t微弱降低，以及低頻光學波的頻帶頂ω2t顯著降低而高頻光學波的頻帶底ω3b微弱降低導致的.最后，頻率禁帶ωg1和ωg2均隨m3的增加逐漸變寬，這是圖2(c)中隨m3的增加低頻光學波頻帶底ω2b微弱降低，而聲學波頻帶頂ω1t顯著降低，以及高頻光學波頻帶底ω3b微弱降低，而低頻光學波頻帶頂ω2t顯著降低引起的.

利用一維光子晶體超晶格概念和光子帶隙結構可以設計各種不同的濾波器[6]，光子晶體研究的核心內容之一就是能帶結構的調整.一維三原子鏈可以看作是具有兩個頻率禁帶的晶體帶通濾波器，本文的相關研究結果可為帶通濾波器的設計提供理論參考.

3 結論

本文通過數值分析討論一維三原子鏈原胞內原子質量對色散關系的影響，主要研究頻譜寬度和頻率禁帶隨原子質量變化的基本規律.

頻譜寬度研究結果表明，在原胞中只有一個原子質量發生變化的情況下，隨小原子質量m1增加，聲學波頻譜寬度Δω1逐漸變窄且變化微弱，而兩個光學波頻譜寬度Δω2和Δω3顯著增寬；隨中間原子質量m2增加，Δω1和Δω3逐漸變窄，而Δω2先增寬而后變窄且變化微弱；隨大原子質量m3增加，Δω1、Δω2和Δω3均顯著變窄.頻率禁帶研究結果表明，在原胞中只有一個原子質量發生變化的情況下，隨小原子質量m1的增加，頻率禁帶ωg1和ωg2均顯著變窄；隨中間原子質量m2增加，ωg1顯著變窄而ωg2顯著增寬；隨大原子質量m3的增加，ωg1和ωg2均顯著加寬.引起上述結果的主要原因是原子質量變化導致格波頻率和頻譜寬度發生變化.此外，與一維雙原子鏈色散關系不同，一維三原子鏈原胞內任意一個原子質量發生變化都會引起所有格波頻譜寬度和頻率禁帶的變化，說明色散關系所表征的晶格振動模式是原胞內三個原子全部參與的集體運動行為.

本文相關研究結果可為帶通濾波器設計提供理論參考，同時也是對固體物理教學內容的豐富和補充.