構(gòu)建探究思路 培養(yǎng)推理能力

王桂華 余文奇

推理是得出數(shù)學結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學體系的重要方式，是數(shù)學嚴謹性的基本保證。培養(yǎng)學生的推理能力，既是落實學科核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容，也是數(shù)學課程和課堂教學的重要目標。七年級下冊的《平行線的性質(zhì)》是學生對圖形性質(zhì)的第一次系統(tǒng)研究，也是培養(yǎng)學生推理能力的好素材。筆者以此內(nèi)容的教學為例，談?wù)劤踔猩鷶?shù)學推理能力的培養(yǎng)。

一、不同推理形式的交融使用

教學中，教師要結(jié)合具體的內(nèi)容引導學生選用不同的推理形式。

探究平行線的性質(zhì)1（兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等）時，由于難以找到已有命題或結(jié)論做基礎(chǔ)，教師可以引導學生采用操作確認的方式，通過歸納推理得到這個性質(zhì)。有了性質(zhì)1做基礎(chǔ)，在探究平行線的性質(zhì)2（兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等）時，學生可以同時采用兩種推理形式進行探究，體驗不同推理方法的特點。在探究平行線的性質(zhì)3（兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補）時，有了性質(zhì)1和性質(zhì)2做起點，學生可以直接運用演繹推理來解決問題。

在這個過程中，學生結(jié)合具體的問題選用不同的推理方式，能感悟到推導結(jié)論時，要針對具體問題，看是否有恰當?shù)慕Y(jié)論或命題作為起點。如果有，就選擇演繹推理;如果沒有，就選擇合情推理。還有的時候可以猜想出結(jié)論，再通過演繹推理進行論證。

二、經(jīng)歷完整的推理過程，掌握基本的推理方法

不同的推理都有其基本的方法，教師要引導學生經(jīng)歷完整的推理過程，感悟每種推理形式的基本方法，積累推理經(jīng)驗。

1.經(jīng)歷過程，掌握歸納推理的基本方法

歸納推理是以特殊的知識為前提推出一般性結(jié)論，應(yīng)該通過一類或一些“特例”發(fā)現(xiàn)規(guī)律，不能簡單地以一個特例得出結(jié)論。

如建構(gòu)“平行線的性質(zhì)1”時，學生已經(jīng)知道了平行線的判定，以此作為起點，可以設(shè)計以下三個步驟，讓學生經(jīng)歷完整的推理過程。

第一步，獨立操作，通過一個特例，初步舉證。課件出示圖1。

學生猜測出同位角相等后，選用不同的方法進行驗證。此時，每位學生都只選用了一種方法或圖形進行驗證。這個過程中，雖然每位學生只有一個特例，但是這個特例能讓學生初步體會到自己的猜想是正確的。

第二步，全班展示，分享一些特例，進行歸納。在小組內(nèi)交流驗證方法的基礎(chǔ)上全班展示：有的學生用度量的方法，用量角器進行測量;有的學生畫出同位角后，通過剪紙，采用疊合法進行比較;還有的學生運用圖形計算器畫圖，顯示出同位角相等，而且每位學生的圖形不同。在此過程中，雖然每位學生都只驗證了一組同位角（個例）的關(guān)系，但是對于全班學生來說，所有的特例都有一個共同規(guī)律——同位角相等。由此可以歸納出性質(zhì)1。

第三步，方法類推，探究一類特例，確認結(jié)論。學生小組合作，改變截線的位置，確認結(jié)論。學生可能作出多個圖形，分別通過度量驗證，也可能使用圖形計算器或計算機軟件的相關(guān)功能讓截線運動起來，發(fā)現(xiàn)不管怎樣改變截線的位置，同位角的大小不變的數(shù)量關(guān)系。

這三個步驟，由特殊到一般，讓學生體會到依據(jù)一類事物中部分對象的相同性質(zhì)推出該類事物都具有這種性質(zhì)的一般性結(jié)論的推理方法。

2.經(jīng)歷過程，感悟演繹推理的關(guān)鍵要素

演繹推理的關(guān)鍵要素是邏輯的起點、推理的形式、結(jié)論的表達。在教學過程中，教師要啟發(fā)學生選用恰當?shù)氖聦嵑兔}作為推理的起點，用合理的形式進行推理，并正確地表述推理結(jié)論，從而感受推理要有理有據(jù)，形成嚴謹?shù)耐评硭季S。下面是某節(jié)課教學平行線的性質(zhì)2的部分片段。

師：我們通過動手操作，歸納得到了平行線的性質(zhì)1。你打算采用什么方法來研究內(nèi)錯角的關(guān)系呢？

生1：還是用研究同位角的方法，用測量來研究。

師：有沒有不同的想法呢？

生2：因為之前證明過“兩直線平行，同位角相等”，能不能用這條性質(zhì)來證得“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”。

師：非常好！用已知的或者已經(jīng)解決的問題的結(jié)論研究去解決新遇到的問題，是我們在學習過程中經(jīng)常用到的方法。

在此，教師沒有直接要求學生進行演繹推理，而是讓他們選擇合適的方法。通過交流，學生感受到，現(xiàn)在有結(jié)論可用了，可以進行演繹推理，從而形成了演繹推理的一般認知，也就是要有基本的邏輯起點，才能進行演繹推理。教師在黑板上完整地呈現(xiàn)問題：如圖2，直線a∥b，c為截線，能推出∠1和∠2的關(guān)系嗎？全班學生獨立推理，一名學生板演。

板演的學生在圖2中補充上∠3，得到圖3，再進行推導。他直接將∠2=∠3作為條件，再由對頂角相等得到∠1=∠3，最后推出∠2=∠3 。

很明顯，這位學生的推理出現(xiàn)了兩個邏輯錯誤：一是邏輯起點的錯誤，忽略了兩條直線平行是∠2=∠3成立的條件;二是推理結(jié)論的錯誤，本次是要推導內(nèi)錯角的關(guān)系，得到的結(jié)論卻是同位角相等。針對學生的板演，教師引導學生辨析、交流，讓學生感悟到∠2=∠3是在“a∥b”的條件下推理得到的，要將條件和結(jié)論完整呈現(xiàn)，并逐步分析推理過程，得到內(nèi)錯角∠1=∠2的正確結(jié)論。這樣就清晰、簡潔、正確地呈現(xiàn)了性質(zhì)2的推理過程。

3.注重多種推理語言的轉(zhuǎn)換，提升推理表達能力

推理表達的形式是多樣的，有文字語言、符號語言及圖形語言。教師在教學中，一方面要注重引導學生用不同的形式表達同一結(jié)論;另一方面，不管哪種語言，都要規(guī)范、簡潔。

如上所述，在推理性質(zhì)2時，教師引導學生運用四種不同的語言進行推理表達。首先是圖形表達（如圖2），接著是符號語言表達（如上述推理過程）。在學生用符號語言簡潔、清晰地表達出推導過程后，教師引導學生口頭表述，將符號語言轉(zhuǎn)化為文字語言進行表述：因為直線a平行于直線b，所以同位角∠2等于∠3;又因為∠1和∠3是對頂角，所以∠1等于∠3;因為∠2等于∠3，∠1也等于∠3，等量代換，所以∠1等于∠2。這個過程將符號語言具體化，讓學生深刻理解了符號語言表達的內(nèi)涵。最后，教師要求學生用文字語言表達。在學生表述出“如果兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等”后，教師進行規(guī)范板書：兩直線平行，內(nèi)錯角相等。

在不同語言的轉(zhuǎn)化過程中，學生實現(xiàn)了從直觀到抽象、具體到一般的轉(zhuǎn)化，溝通了各種表達形式之間的聯(lián)系，提升了推理表達能力。

（作者單位：黃岡師范學院）

責任編輯? 張敏