借助幾何直觀 深化分數理解

謝志勇 曹錚錚

幾何直觀是深化分數理解的有效手段。筆者以人教版五年級《分數的初步認識》為例，談談如何依托數形結合、建模、抽象等數學思想，以直觀的方式，幫助學生從本質上正確認識分數，深入理解分數的內涵。

一、數形結合，認知分數的多重內涵

教材從揭示分數產生的現實背景出發，幫助學生領會分數的基本含義：分數[14]可以表示一個物體4等分中的1份，也可以表示一些物體4等分中的1份。這是教材借助直觀的實物和幾何圖形對分數“外顯”意義的呈現，揭示出分數是部分與整體之間數量關系的一種抽象與表征。在此基礎上，筆者設計以下教學，引導學生理解分數還可以表示部分與部分之間的比較關系。

師（課件出示下圖）：看這幅圖，你能想到哪些分數？怎么想的？

生1：這幅圖中有[34]。

師：誰是誰的[34]？

生2：陰影部分是整個長方形的[34]。

師：還能找到不同的分數嗎？

生3：我還能找到[14]，空白部分是整個長方形的[14]。

師：還有不同的分數嗎？同桌之間商量一下。

生4：老師，我認為白色部分是陰影部分的[13]。

師：剛才這位同學能夠想到[13]，你為什么沒有想到呢？

生5：因為他是把整個長方形看成一個整體。

生6：我沒有想到可以把大長方形中的一部分看作單位“1”。

生7：我沒有想到分數除了可以表示部分與整體之間的關系之外，還可以表示部分與部分之間的關系。

師：是的，不管是部分與整體之間的關系，還是部分與部分之間的關系，都可以用分數來表示。白色部分是陰影部分的[13]，反過來可以怎么說呢？

生8：陰影部分是白色部分的3倍。

師：同學們之前已經學過用“倍”表示兩部分之間的關系，現在又學會了用“分數”來表示，以后還會學到用“比”來表示。

以上設計，借助直觀的幾何圖形，利用數形結合思想，使學生在充分體驗中聯通了分數與除法、倍、比的關系，主動完善了對分數的意義從“外顯”到“內隱”的認知再建構。

二、借助單位“1”，凸顯分數的“均分”本質

孔子說：“疑是思之始，學之端?！苯處熢趯W生思維的生長點上設置問題，能有效地引導學生進行深入探究，實現自主學習?！皢挝弧?”和“分數單位”是分數概念的重要組成部分。對于一些物體或圖形的“均分”策略的選擇，是探索分數本質特征的突破口。鑒于此，筆者對教材進行了重整。

師：上節課大家學習了把一個物體看作單位“1”進行平均分，現在老師給大家12個三角形，請把它們看作單位“1”進行平均分，你能得到哪些分數？

生1：平均分成兩份，其中的一份是[12]。

師：另1份呢？這樣的2份呢？

生2：另一份也是[12]，2個[12]是[22]。

生3：把12個三角形平均分成4份，其中的每一份都是[14]，4個[14]是[44]。

生4：把它平均分成6份，其中的每一份都是[16]，6個[16]是[66]。

師：大家的眼睛真亮，竟然發現了這么多不同的分數。綜合比較一下，你有什么發現？

生5：雖然單位“1”相同，但平均分的份數不同，得到的分數也不同。

生6：[22]、[44]、[66]都是12個三角形，所以都等于單位“1”。

生7：分出來的每1份大小也不相同，分別是[12]、[14]、[16]。

師：分出來的每1份就叫作分數單位，2個[14]是[24]，3個[16]是[36]?？v向觀察，你又有什么發現？

生8：這里的[12]、[24]、[36]表示同樣的三角形個數，因為平均分的份數不同，可以用不同的分數來表示。它們的大小一樣，意義不一樣。

為了讓學生重點理解分數單位與平均分之間的聯系，筆者設計有結構性、對比性的學習材料，結合課件動態演示，引領學生深度解讀了[12]、[14]、[16]的意義，揭示了分數單位的概念。在此基礎上，筆者組織學生橫向觀察、比較，順勢得出[22]=[44]=[66]=1，滲透了真分數到假分數的演變過程及分數的大小比較。

三、探究單位“1”，理解分數的“度量”含義

分數起源于“分”，用來解決不滿1個單位量的數值問題。解決的方法是將原單位量等分之后得到單位分量，再用單位分量重復測量不滿一個單位量的量，最后以分割的份數和重復次數的并置，作為被測量的量的指針和標準。因此，“實際度量”作為分數的內隱意義是隱蔽的、抽象的，是實際教學中的重點和難點。如何借助幾何圖形的直觀性、可比性來突破難點呢？

師（課件出示三種不同的圓）：假如我們把一個紅圓看作單位“1”，同樣的3個藍圓和6個黑圓與它做比較，可以用什么數來表示？

生1：藍圓可以用整數3來表示。

生2：黑圓可以用整數6來表示。

師：假如我們把3個藍圓看作單位“1”，同樣的6個黑圓，1個紅圓和它做比較，可以用什么數來表示？

生3：黑圓可以用數字2來表示。

生4：紅圓可以用分數[13]來表示。

師：為什么能這樣表示呢？

生5：因為紅圓和藍圓相比，1個紅圓是藍圓的3份當中的1份這么多，所以可以用[13]來表示。

師：假如我們把6個黑圓看作單位“1”，同樣的1個紅圓、3個藍圓和它做比較，又可以用什么數來表示呢，為什么？

生6：藍圓可以用分數[36]來表示。6個黑圓是單位“1”，藍圓是它6份當中的3份這么多，所以用[36]來表示。

生7：老師，我覺得藍圓也可以用[12]來表示。因為把6個黑圓看作單位“1”，3個藍圓的數量是黑圓的一半，所以可以用[12]來表示。

生8：1個紅圓可以用[16]來表示。因為把6個黑圓看作單位“1”，紅圓和它相比是黑圓6份當中的1份這么多，所以它可以用[16]來表示。

師：同學們，同樣是1個紅圓，為什么剛才用[13]表示，現在卻用[16]來表示？同樣是3個藍圓，為什么剛才用3來表示，現在可以用[36]來表示呢？

生9：這是因為選取的單位“1”不同。雖然是同一個物體，卻可以用不同的數來表示。

生10：因為比較的標準不同，所以出現了表示的數也不同。

師：對比上述不同的單位“1”，你發現了什么？

生11：如果被比較的數量剛好是單位“1”的幾倍，就可以用整數幾來表示;如果被比較的數量不到單位“1”的1倍，就可以用分數“幾分之一”或“幾分之幾”來表示。

對于五年級的學生來說，已經知道了教材上對單位“1”的定義。如果被比較的物體不足單位“1”的1倍，又該如何表征和計量它的數量呢？基于此，筆者設計了以上教學，利用三組不同顏色、不同數量的圓，引導學生直觀地進行了三次不同標準的計量及其結果的表示，讓學生在嘗試表征中，不僅感受到分數的基本意義——把一個整體平均分成若干份，表示其中的1份或幾份的數，還感受到比較標準和單位“1”的選擇不同，實際度量的分數單位或者說計數單位也不同。這樣設計，讓學生真正領悟分數的“內隱”意義——依據被測量物體的實際情況來確定單位“1”，實現“度量”含義從自然數向分數的有效遷移。

（作者單位：謝志勇，武漢市新洲區教學研究室;曹錚錚，武漢市新洲區第一初級中學）

助理編輯? 劉佳