實驗探究二次函數實際問題中的最值

袁錦新

【摘要】利用實驗探究分析二次函數實際問題中的最值題型，是初三數學二次函數中的常見題型，也是學生比較難理解的二次函數實際問題，在中考出現概率也比較大。本文對學生做這類題型時常見的錯誤進行分析，讓學生進行實驗探究，尋找出正確的解題方法。

【關鍵詞】實驗探究;二次函數實際問題;初中數學

在最近幾年的廣東省中考試題中，有關二次函數的性質與圖像是必考的知識點之一。這么重要的一個知識點，恰好又是很多學生難以跨過去的一道題型。在每次的作業或測試中，學生在解二次函數實際問題的題型時，會出現很多錯誤。而班上出現這些錯誤的學生，也不在少數，得分率比較低。面對學生這種情況，身為數學教師的我們，都很想為學生做點什么，希望能幫助他們走進理想的高中。在這種思想的驅動下，筆者經常利用課余時間，把學生的錯例放在一起分析且發現了相當一部分學生的錯誤都有很多相同的地方。筆者在課余時間里，與部分學生一起進行探究問題所在。此外，筆者也與其他教師交流，嘗試帶著學生一起進行實驗探究，總結經驗，一起尋找出正確的解題方法。

在二次函數實際問題的日常教學中，教師通常會選擇典型例題，以二次函數性質作為切入點，詳細講解后讓學生再嘗試解一些相同類型的題目，加強相同題型的訓練，看似相當不錯，但題型有點變化，靈活一點點，學生的問題還是會出現在試卷上，還是沒有達到預期的效果，學生還是沒有很好地解決二次函數實際問題。在這個過程中不難發現，學生還有很大的提升空間。因此，要想幫助學生解決問題的關鍵，還是要通過實驗探究，幫學生深度分析清楚問題的重點，理解二次函數實際問題，理清解題時的錯誤思路，掌握解決問題的真正方法。即使題型再變換，學生也能用正確的方法處理。有前面的錯誤作為標本，學生在實驗探究的過程中，更能留下深刻的印象，在解題方法上更靈活多變。在初三的習題本或試卷里，經常有這樣的一道題目，下面就讓我們一起探討分析學生在解這道題時通常出現的錯誤。

例：某農場主打算在一個足夠大的農場里面養雞，農場里面剛好有一堵長為24米的墻和總長度為120米的圍欄，農場主現準備圍成面積最大的矩形養殖場，那么農場主應該怎樣設計這個養殖場呢？

當學生看到這道二次函數實際問題時，一定很開心，因為做過，但問題也會跟著來了，據分析，學生一般有下面幾種解題錯誤方法：

案例一：如圖1，設矩形養殖場的一邊AB為x米，則BC為米，養殖場面積。所以，當x=60時，養殖場取得最大面積為1800平方米。

學生在解決這個問題時，沒有注意到題目中給出的條件，圍欄只有24米，也就是x大于0而小于或等于24，因而最后確定最大面積時，出狀況了。

案例二：按照題目的要求，很容易發現自變量的取值范圍是：x大于0而小于或等于24。所以求到函數解析式：，在這個范圍里，根據二次函數性質，可以得到：當x=24時，得到養殖場最大面積為1152平方米。

從學生的答案上發現，他利用了二次函數的頂點式，根據二次函數的性質，又注意到了自變量x在實際情況下的取值范圍，好像沒什么問題，做得很好。但是，學生在小學學習了長方形和正方形，得知周長相等時，正方形的面積最大。所以在這個時候，筆者讓學生拿出準備好的24厘米長的繩子，在課桌上，以課桌一邊為墻，在桌面上，嘗試擺一個面積最大的矩形出來。學生在實驗中很快就可以得出，周長相的情況下，正方形面積最大。再回到案例二中，設計矩形養殖場ABCD時，墻DE的長為24米，設AB為x米，則BC為米。這樣設計養殖場的最大面積與圖1相比，誰更大？有了上面學生通過實驗探究得到的結論，再細心分析這道二次函數實際問題的最值問題，提醒學生，自己再通過畫圖實驗探究一下這道題。筆者相信，學生很快就可以發現案例二中錯誤的原因。

正確解答：根據題目的要求，養殖場是正方形時，面積才是最大的，圖2的設計，x+（x-24）<120，得x<120，所以x∈[24，72）。養殖場面積S=x·（72-x）=-（x-36）2+1296，當x=36時，得到養殖場最大面積為1296平方米。

通過案例一，我們可以發現學生在處理二次函數最值問題時，還不錯。但當遇到實際問題時，往往沒注意到自變量的取值范圍，對最值的影響。所以學生需要結合實際情況進行思考，最終確定自變量的值。在案例二中，題目中的圖，誤導了學生的思維方向，讓學生腦里只有矩形，所以學生在解題時，對養殖場的概念也停留在一般矩形上，沒注意到矩形和正方形周長相等時，正方形的面積最大這一結論，所以在進行設計養殖場時，只是設計成矩形，只考慮AB大于0米而小于或等于24米，在第二種的設計則考慮到實際問題中的實際情況，從而確定養殖場最大面積。通過實驗探究，讓學生從實際操作中，更好地理論二次函數實際問題的最值問題，讓數學思維更形象，達到提高解決問題的能力的目的。

科學是人類知識積累的結果，而數學又是重要基礎學科之一。不僅僅要讓學生在學習數學中認識生活，還要讓他們在生活中體會數學。加上中考也十分注重考查學生運用數學知識解決實際問題的意識和能力，如，在二次函數實際問題的題型上，不但要求學生對二次函數的性質、應用和知識點的掌握要好，還強調運用知識去解決問題的能力。因此，在日常教學中多設計小實驗，讓學生在快樂的探究中找到解決問題的方法，讓學生在快樂中學習數學，從而提高學生學習數學的興趣和積極性。在實際探究中，提高學生解決實際問題的各種能力，讓學生注意到生活可以幫助他們解決數學上的問題，也讓學生學習好數學，更好地服務于他們的生活。