用同余觀點統領商代數的研究生教學

朱用文 陳傳軍

（煙臺大學數學與信息科學學院 山東·煙臺 264005）

0 引言以及一般討論

在我們數學與信息科學學院大學高年級以及研究生代數課程——如《高等代數》、《抽象代數》、《群論》、《半群論基礎》、《逆半群》、《拓撲半群》、《矩陣半群》等等的教學中，都會碰到有關商的概念，例如商空間、商半群、商群、商環、商域、拓撲商半群，等等。這些分散于不同學科中的有關商的概念非常重要，但是在具體的教材中都是各自獨立定義的，具有相對的獨特性。然而，從泛代數的觀點看，它們都是統一的。本文就是要通過一般的商代數的概念，將所有有關商的概念都統一起來，從而讓學生對于各個具體學科中商的概念有一個更深入的理解。

以上是關于代數的商、同余、同態等概念的一般討論，所有這些概念和結論當然普遍適用于群論、半群理論、環論、線性代數等各種領域。

1 同余與商空間

2 同余與商群

在群論中，商群通常通過正規子群來定義。在這一節中，我們來說明，也可以通過同余來定義商群，而且兩種定義方式實際上是等價的。

3 同余與商環

在環論中，商環通常通過子環來定義。在這一節中，我們來說明，也可以通過同余來定義商環，而且兩種定義方式本質上是等價的。

4 同余與商半群

在半群理論中，商半群通常是通過同余來定義的，但是Rees商半群是通過理想來定義的，后者本質上還是通過同余來定義的。我們來說明這個問題。

半群的概念在抽象代數中具有基礎的重要性，隨著計算機的興起與發展，半群的理論也越來越豐富。在大學階段的抽象代數課程中，學生對于半群理論的了解很少；而在研究生階段，可以開設的半群課程有《半群理論導引》、《逆半群》、《拓撲半群》、《矩陣半群》，等等。有關方面的研究還可以參看文獻。

總之，一般的同余概念可以將所有商代數的概念統一起來，而且同余概念就是商概念的本質要求。按照這樣的理解來進行教學，可以提高教學效率，并讓學生加深對于有關商的概念的理解，達到融會貫通的目的。