在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透與應(yīng)用建模思想

陸穎

[摘 要]建模思想是初中數(shù)學(xué)的重要思想之一，它對(duì)學(xué)生體會(huì)與理解數(shù)學(xué)與其他事物之間的聯(lián)系起著重要的作用.著重探究建模思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透與應(yīng)用，為提升初中數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量與效率提供良好條件.

[關(guān)鍵詞]建模思想;初中數(shù)學(xué);應(yīng)用;滲透

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2021）05-0033-02

建模思想是初中數(shù)學(xué)的重要思想之一，它對(duì)學(xué)生體會(huì)與理解數(shù)學(xué)和其他事物之間的聯(lián)系起著重要的作用，有助于學(xué)生解決各類數(shù)學(xué)問題.

一、初中數(shù)學(xué)教學(xué)滲透與應(yīng)用建模思想的意義

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出，要注重發(fā)展學(xué)生的建模思想.建模思想的作用十分顯著，可為學(xué)生解決問題提供條件與基礎(chǔ)，幫助學(xué)生樹立數(shù)學(xué)與生活緊密相關(guān)的意識(shí)，不斷增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐應(yīng)用能力.同時(shí)，在教師傳授建模思想的過程中，還能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和好奇心，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透與應(yīng)用建模思想很有意義.

二、初中數(shù)學(xué)建模的一般步驟

教師指導(dǎo)學(xué)生建模時(shí)，可按照如下步驟進(jìn)行：

（1）認(rèn)真審題，分析題意為建模做準(zhǔn)備.

（2）從問題中簡(jiǎn)化情境，假設(shè)數(shù)學(xué)模型.

（3）選擇合適工具建立數(shù)學(xué)模型.

（4）解決模型中的數(shù)學(xué)問題并找出所有答案.

（5）根據(jù)實(shí)際意義對(duì)答案進(jìn)行取舍，選擇正確答案.

三、初中數(shù)學(xué)常見模型

1.方程模型

在現(xiàn)實(shí)生活中有許多量與量相等關(guān)系的問題，可采用建立方程組的方法解決.

[例1]某社區(qū)為響應(yīng)“綠色生活，美麗家園”的號(hào)召，計(jì)劃種植A、B兩類植物來美化小區(qū)環(huán)境，若種植A類植物3 m2，B類植物2 m2，共需420元;種植A類植物1 m2，B類植物3 m2，共需350元，求：該社區(qū)種植A類植物1 m2和種植B類植物1 m2各需多少錢？

解析：按照上述建模方法，分析題意，可設(shè)種植A類植物1 m2需x元，種植B類植物1 m2需y元.再由題目中的兩個(gè)等量關(guān)系列方程組即可解決問題.

2.函數(shù)模型

現(xiàn)實(shí)生活中還會(huì)涉及不同變量之間制約性關(guān)系的問題，使用函數(shù)可以解決此類問題.

[例2]為迎接六一兒童節(jié)，某商場(chǎng)購進(jìn)若干件單價(jià)為20元的童裝，若規(guī)定銷售單價(jià)不低于每件20元，不高于每件50元，銷售一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價(jià)為40元時(shí)，平均每月銷售量為70件;當(dāng)銷售單價(jià)每降低1元時(shí)，平均每月能多售出2件.設(shè)銷售單價(jià)為x元，平均月銷售量為y件.

（1）求y與x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍;

（2）求月銷售利潤w與售價(jià)x之間的函數(shù)解析式;

（3）當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，銷售這種童裝每月獲得利潤最大？最大利潤是多少？

解析：分析題意可得到銷售模型，利用“月銷售量=原銷售量+降價(jià)后增加的銷售量”即可列出對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;利用“月銷售利潤=（單件售價(jià)-單件進(jìn)價(jià)）×銷售數(shù)量”列出關(guān)系式;把每月利潤最大問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題來解決.

本題的數(shù)學(xué)模型是二次函數(shù)[y=ax2+bx+c]與一次函數(shù)[y=kx+b]的函數(shù)模型.

3.幾何模型

幾何在日常生活中的應(yīng)用十分廣泛，如道路橋梁設(shè)計(jì)、建筑、航海等方面經(jīng)常涉及一些圖形的性質(zhì)，需要用數(shù)學(xué)知識(shí)建立幾何模型，再分析計(jì)算解決實(shí)際問題.

[例3]一下水管道的截面如圖1所示.已知排水管的直徑為100 cm，下雨前水面寬為60 cm.一場(chǎng)大雨過后，水面寬為80 cm，求水面上升多少？

解析：如圖2，可作半徑[OD⊥AB]于C，連接OB，再用垂徑定理和勾股定理進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.本題的分析過程就用到了“圓”這個(gè)幾何模型.

4.不等式模型

[例4]某市為了提升菜籃子工程質(zhì)量，計(jì)劃用甲、乙種車輛共40輛調(diào)撥不超過305噸肉制品和325噸蔬菜補(bǔ)充當(dāng)?shù)厥袌?chǎng).已知一輛甲型車可運(yùn)肉制品8噸和蔬菜10噸;一輛乙型車可運(yùn)肉制品7噸和蔬菜5噸.

（1）符合題意的運(yùn)輸方案有幾種？請(qǐng)你幫助設(shè)計(jì)出來;

（2）若一輛甲型車的運(yùn)費(fèi)是1000元，一輛乙型車的運(yùn)費(fèi)為800元，試說明（1）中哪種運(yùn)輸方案費(fèi)用最低？最低費(fèi)用是多少？

解析：設(shè)安排甲型車x輛，乙型車（40-x）輛，再結(jié)合題目的不等量關(guān)系列出不等式組進(jìn)行求解;由“總費(fèi)用=甲型車的費(fèi)用+乙型車的費(fèi)用”建立一次函數(shù)模型，利用一次函數(shù)及其增減性可解決最低費(fèi)用問題.本題就用到了不等式模型和一次函數(shù)的模型來解決實(shí)際問題.

四、建模思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)的滲透與應(yīng)用

1.應(yīng)用于概念教學(xué)

數(shù)學(xué)概念具有一定的抽象性，學(xué)生在理解數(shù)學(xué)概念時(shí)存在一定的難度.對(duì)此，教師可在概念教學(xué)中滲透建模思想，以促進(jìn)學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)概念.

例如，在教學(xué)反比例函數(shù)概念時(shí)，教師可結(jié)合生活實(shí)例滲透建模思想為學(xué)生創(chuàng)設(shè)良好的理解情境.如小王在籃球場(chǎng)打完籃球準(zhǔn)備回家，如果小王的家與籃球場(chǎng)距離2000米，那么小王回家花費(fèi)的時(shí)間t與平均速度v之間的關(guān)系表達(dá)是怎樣的？將學(xué)生分為若干小組，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思想小組合作研究相關(guān)的關(guān)系式，進(jìn)而理解反比例函數(shù)的概念.

2.應(yīng)用于函數(shù)教學(xué)

在初中數(shù)學(xué)中，函數(shù)知識(shí)占據(jù)著較大的比重，它還是中考數(shù)學(xué)必考的知識(shí)點(diǎn)，最重要的是它與現(xiàn)實(shí)生活存在著緊密聯(lián)系.發(fā)揮函數(shù)知識(shí)的作用來解決實(shí)際問題，是函數(shù)教學(xué)的重難點(diǎn).函數(shù)與方程的應(yīng)用非常相似.初中生在掌握函數(shù)具體問題所涉及的數(shù)量關(guān)系方面，缺乏建模意識(shí)，這對(duì)于他們有效解決函數(shù)相關(guān)問題具有不良影響.對(duì)此，教師要重視對(duì)學(xué)生建模思想的培育，在解決函數(shù)問題的過程中幫助學(xué)生明確建立函數(shù)模型的方式，引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)模型有效解決現(xiàn)實(shí)生活中的相關(guān)問題，提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力.

例如，在教學(xué)二次函數(shù)應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)時(shí)，教師應(yīng)告知學(xué)生函數(shù)模型與方程模型的一致性，及兩者存在的顯著差別是函數(shù)模型表示的是兩個(gè)變量的關(guān)系，然后與學(xué)生共同探討旅社客房的問題.如：有120間客房的旅社，一間客房的租金是160元，幾乎天天滿房.在進(jìn)行市場(chǎng)調(diào)查之后發(fā)現(xiàn)，如果將每間客房的租金提升10元，那么客房的出租數(shù)量也會(huì)隨之減少 6間.在不過多思考其他因素的前提下，將客房租金提升到多少客房的日租金可以實(shí)現(xiàn)最大化？要解決這一問題，建立函數(shù)模型是非常必要的.但并不是所有學(xué)生都具備建模的能力，這時(shí)需要教師發(fā)揮引導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分析，建立正確的函數(shù)模型，進(jìn)而解決問題.

通過以上幾個(gè)例子可以發(fā)現(xiàn)，建立函數(shù)模型可有效解決函數(shù)實(shí)際問題，對(duì)于學(xué)生來說，只有具備了一定水平的建模能力，才能自主地解決與函數(shù)相關(guān)的問題.因此，教師需要發(fā)揮自身的引導(dǎo)作用，幫助學(xué)生逐漸形成建模思想與意識(shí).

總之，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，建模思想的作用是無可取代的，它不僅能極大地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與熱情，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，還能培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐應(yīng)用能力.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 雷秀梅. 初中數(shù)學(xué)新課教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想的策略研究[D].成都：四川師范大學(xué)，2018.

[2]? 翟遠(yuǎn). 基于數(shù)學(xué)建模思想的初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教學(xué)研究[D].桂林：廣西師范大學(xué)，2019.

[3]? 李靜. 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)策略[J]. 華夏教師，2019（17）：9-10.

[4]? 岳本營. 例談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中建模思想的培養(yǎng)[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2014（6）：26.

[5]? 于虹. 初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)研究[D]. 呼和浩特：內(nèi)蒙古師范大學(xué)，2010.

（責(zé)任編輯 陳 昕）