數(shù)學(xué)解題中對(duì)培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模與邏輯推理素養(yǎng)的思考

李華

[摘 ?要] 數(shù)學(xué)教學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，高中數(shù)學(xué)共有六大核心素養(yǎng)，如何讓核心素養(yǎng)在高中階段發(fā)芽、生長(zhǎng)，在教與學(xué)的過(guò)程中落地生根，值得我們思考. 文章通過(guò)一道試題著重探究在解題中學(xué)生個(gè)人的數(shù)學(xué)知識(shí)與思維建模對(duì)于他們邏輯思維的影響.

[關(guān)鍵詞] 知識(shí)儲(chǔ)備;核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)建模;邏輯推理

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)將知識(shí)與數(shù)學(xué)技能作為學(xué)科核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)，并將知識(shí)與技能予以運(yùn)用，利用其解決問(wèn)題，從而進(jìn)一步展現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)特點(diǎn)與學(xué)科思想. 而解題能力正是學(xué)生核心素養(yǎng)的集中體現(xiàn). 在數(shù)學(xué)解題中，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性是目的之一，而思維的靈活性實(shí)質(zhì)是“遷移”，它的實(shí)現(xiàn)正是來(lái)自數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移與模型的遷移. 著名數(shù)學(xué)家華羅庚用“由薄到厚”和“由厚到薄”兩個(gè)基本過(guò)程，形象地解釋了知識(shí)儲(chǔ)備、數(shù)學(xué)模型與學(xué)生解題能力之間的辯證關(guān)系. 所謂“由薄到厚”指的是學(xué)習(xí)知識(shí)，構(gòu)建知識(shí)框架、數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，“由厚到薄”是消化提煉、探索本質(zhì)、遷移應(yīng)用、提升能力的過(guò)程.

[?]真實(shí)問(wèn)題再現(xiàn)

下面以一道高二年級(jí)期中考試題為例，談?wù)勚R(shí)儲(chǔ)備、數(shù)學(xué)模型對(duì)學(xué)生的推理、思維的影響.

例：已知P為橢圓+=1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓（x+1）2+y2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，求·的取值范圍.

本題涉及橢圓、圓、切線、向量等基礎(chǔ)知識(shí). 通過(guò)分析，其實(shí)際上是一道向量題，雖有橢圓，卻沒(méi)有用橢圓. 我們進(jìn)行如下分析：

[定位1] 向量數(shù)量積定義. 此題求的是數(shù)量積的取值范圍，因此應(yīng)立足數(shù)量積的定義將其逐步轉(zhuǎn)化，最終使其實(shí)數(shù)化是目標(biāo).

F為圓心，也為橢圓的左焦點(diǎn). 設(shè)∠APF=θ，則sinθ=，所以·=

cos〈，〉=

2·cos2θ=（

2-1）

1-

，其中，

是焦半徑，取值范圍是[1，3].

[定位2]向量運(yùn)算. 將向量進(jìn)行分解，向模長(zhǎng)已知和夾角已知的方向靠攏，最終完成實(shí)數(shù)化的轉(zhuǎn)化.

設(shè)∠AFP=α，則cosα=，·=（+）（+）=2+（+）+·=2cos2α-1-2

cosα+2=+2-3.

[定位3]向量模型. 我們明白向量兼具形、數(shù)兩個(gè)特征，是數(shù)形結(jié)合的典范，此題即可從形上完成實(shí)數(shù)化，也可設(shè)坐標(biāo)完成實(shí)數(shù)化.

[定位4] 從圓的知識(shí)模塊中提取出切線問(wèn)題的方法模型，發(fā)現(xiàn)直角三角形，又結(jié)合三角函數(shù)，轉(zhuǎn)化成為三角函數(shù)取值范圍問(wèn)題.

設(shè)∠APF=θ，則tanθ=，所以·=

cos〈，〉=

2·cos2θ=cos2θ=cos2θ. 令cos2θ=t，則·=（1-t）+-3.

[定位5]從解析幾何的角度出發(fā)，定位坐標(biāo)法.

設(shè)P（x，y），∠APB=2θ，·=

2cos2θ=

2（2cos2θ-1）=2

PM

2+1-

PF

2. PM是點(diǎn)P到弦AB的距離，因?yàn)锳B：（x+1）x+yy+x=0，

PM

= =，所以·=2·-（x+1）2+y+1. 令（x+1）2+y=m，所以·=2·-m+1=m+-3，m∈[1，3].

方法很多，出口也很多，雖然出發(fā)點(diǎn)不同，但最后的研究結(jié)果都很相似，甚至表現(xiàn)形式一樣. 但是在考試中，很多學(xué)生并不能利用以上方法順利完成，因此這引起筆者進(jìn)一步思考.

[?]學(xué)生困難與剖析

成果源于實(shí)踐，因此要針對(duì)學(xué)生的困難加以剖析，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)困難如下.

困難一：學(xué)生認(rèn)為P是動(dòng)點(diǎn)，A，B也是動(dòng)點(diǎn)，不知將·如何轉(zhuǎn)化，設(shè)坐標(biāo)又覺(jué)得太復(fù)雜，無(wú)法實(shí)施.

困難二：將·按照定義表示之后，發(fā)現(xiàn)有模長(zhǎng)、夾角兩個(gè)變量，未能探究二者之間的聯(lián)系，導(dǎo)致無(wú)法繼續(xù)下去.

困難三：學(xué)生沒(méi)能發(fā)現(xiàn)圓心是左焦點(diǎn)，也不會(huì)判斷圓與橢圓的位置關(guān)系，因此，不敢畫圖，后續(xù)無(wú)法完成.

困難四：學(xué)生能畫圖，但未連接圓心與切點(diǎn)，沒(méi)有發(fā)現(xiàn)圓的切線問(wèn)題中的直角三角形，沒(méi)選到合適的變量，無(wú)法刻畫動(dòng)態(tài)的過(guò)程.

困難五：學(xué)生把此題當(dāng)成解析幾何的大題，有畏懼心理，未能完成對(duì)向量數(shù)量積的轉(zhuǎn)化，此題沒(méi)有入手點(diǎn)，有的即便想到轉(zhuǎn)化，但擔(dān)心怎么沒(méi)用到直線與橢圓方程的聯(lián)立，因此無(wú)法完成.

進(jìn)一步對(duì)學(xué)生的困難進(jìn)行挖掘分析，可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生困難的本質(zhì)是：一方面未能用數(shù)形結(jié)合思想及運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)，主動(dòng)探究解決問(wèn)題的思路，另一方面學(xué)生對(duì)一些基本知識(shí)儲(chǔ)備不足，基本方法、基本模型儲(chǔ)備不足，導(dǎo)致邏輯推理無(wú)法進(jìn)行. 因此可以看出，很多學(xué)生的學(xué)習(xí)是一種高度的模仿水平，缺乏思考、總結(jié)，尤其是一些方法模型的構(gòu)建，并未吃透本質(zhì).

[?]教學(xué)思考

按照課標(biāo)要求，對(duì)比學(xué)生在上述解答問(wèn)題中出現(xiàn)的困難，筆者覺(jué)得作為教師在教學(xué)中要先改進(jìn).

1. 在教學(xué)中我們要重視基礎(chǔ)知識(shí)作為學(xué)科中的支撐作用，并在此基礎(chǔ)之上予以基本技能的運(yùn)用，并結(jié)合數(shù)學(xué)的基本思想與基本方法，把課程的主權(quán)交給學(xué)生，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的體驗(yàn)感，給予學(xué)生一定的思維空間，提升其學(xué)習(xí)興趣，充實(shí)課程，進(jìn)一步提升學(xué)習(xí)效率.

2. 教師應(yīng)想方設(shè)法為學(xué)生搭建提升創(chuàng)造力的平臺(tái)，而數(shù)學(xué)建模就具備該種特性. 數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用不光局限在實(shí)際問(wèn)題中，應(yīng)將它作為一種思維方式，比如說(shuō)對(duì)一個(gè)模型的總結(jié)，讓學(xué)生思考該模型能解決什么問(wèn)題，只有這樣才能舉一反三. 分析問(wèn)題時(shí)教師應(yīng)發(fā)散思維，全面分析，如果情況允許，還可以引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)設(shè)多個(gè)假想，并選取一個(gè)最優(yōu)的，這樣可以有效提高學(xué)生的解題能力.

孫斌勇作為我國(guó)年輕的數(shù)學(xué)家之一有著自己獨(dú)到的學(xué)習(xí)方法與學(xué)習(xí)心得. 在回憶自己小時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心得時(shí)，他說(shuō)：“我小時(shí)候特別喜歡看書，并且看書的時(shí)候往往要讀很多遍，直到深入了解每一個(gè)公式定理之后才罷休，因此想要學(xué)好數(shù)學(xué)，我的經(jīng)驗(yàn)是仔細(xì)通讀全文，并帶著問(wèn)題去讀，尋找自己所需要的答案，從而理解每一個(gè)字詞、每一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)的意義，并在此基礎(chǔ)之上適當(dāng)做一些習(xí)題，但我做得并不多. ”這充分說(shuō)明，只有將解題建立在知識(shí)框架之上，充分發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造力，學(xué)生才能理解巧妙思路的來(lái)源，激發(fā)尋找更多思路的靈感.

3. 作為教師，要系統(tǒng)規(guī)劃培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的途徑. 我們要落實(shí)每一個(gè)模塊、每一個(gè)章節(jié)的基礎(chǔ)知識(shí)及基本方法和思想，并生成一些數(shù)學(xué)模型，這對(duì)學(xué)生的幫助會(huì)比較大. 比如解析幾何的學(xué)習(xí)當(dāng)中，我們要讓學(xué)生的理解不局限于一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)思想方法，而是潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的過(guò)程，充分利用數(shù)學(xué)思維啟發(fā)學(xué)生化繁為簡(jiǎn)，從而進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

在教學(xué)中，教師要關(guān)注學(xué)情，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，因材施教，并不斷反思與學(xué)習(xí)，唯有如此才能有效落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).