應(yīng)用意識：數(shù)學(xué)建模的指向

林小波

[摘 ?要] 對數(shù)學(xué)建模的理解，既要涉及對數(shù)學(xué)模型概念的理解，也應(yīng)當(dāng)涉及對數(shù)學(xué)建模目的的理解. 數(shù)學(xué)建模既是教學(xué)內(nèi)容又是學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，只有當(dāng)學(xué)生有了數(shù)學(xué)建模的意識，并且能夠運(yùn)用到新知識的學(xué)習(xí)過程中，數(shù)學(xué)建模才能真正地發(fā)揮對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的促進(jìn)作用. 數(shù)學(xué)建模可以培養(yǎng)學(xué)生的概括能力，可以培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中要評價(jià)數(shù)學(xué)建模的教學(xué)水平，很重要的一個(gè)著力點(diǎn)就是看學(xué)生的應(yīng)用水平. 一個(gè)知識教學(xué)中的數(shù)學(xué)建模應(yīng)用意識，可以遷移到新的知識教學(xué)中，這種遷移能力本質(zhì)上也是核心素養(yǎng)所強(qiáng)調(diào)的關(guān)鍵能力，是今后數(shù)學(xué)教學(xué)的重要施力點(diǎn).

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)建模;教學(xué)實(shí)踐;應(yīng)用意識

無論是在傳統(tǒng)的教學(xué)事業(yè)中，還是在核心素養(yǎng)培育的背景之下，數(shù)學(xué)建模一直受到高度的關(guān)注，其原因就是數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)，很大程度上與數(shù)學(xué)建模密切相關(guān)，尤其是隨著人們對數(shù)學(xué)建模的研究不斷深入，關(guān)于數(shù)學(xué)建模概念的理解也在不斷拓展，可以說數(shù)學(xué)模型概念的內(nèi)涵與外延已經(jīng)得到了充分的拓展，人們將數(shù)學(xué)概念及數(shù)學(xué)規(guī)律都納入了對數(shù)學(xué)模型的研究范疇. 應(yīng)當(dāng)說這一拓展是有其實(shí)際背景的. 20世紀(jì)以來，科學(xué)技術(shù)得到了飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)在這個(gè)發(fā)展過程中起到了非常重大的作用. 很大程度上數(shù)學(xué)學(xué)科所發(fā)揮的作用，都可以理解為數(shù)學(xué)模型所發(fā)揮的作用. 今天，社會(huì)對數(shù)學(xué)的需求不止數(shù)學(xué)家，還包括大量善于運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思維解決實(shí)際問題的各種人才——把實(shí)際問題化成數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解決，這正是數(shù)學(xué)建模的基本理解.

數(shù)學(xué)建模是如此的重要，因此可以說每個(gè)數(shù)學(xué)教師都會(huì)在自己的課堂上引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型. 于是從概念的建立或者規(guī)律的探究的教學(xué)中，數(shù)學(xué)建模可以說無處不在. 這里建議思考一個(gè)問題：當(dāng)我們在研究數(shù)學(xué)建模的時(shí)候，具體在研究什么？對數(shù)學(xué)建模的理解，既要涉及對數(shù)學(xué)模型概念的理解，也應(yīng)當(dāng)涉及對數(shù)學(xué)建模目的的理解. 如果說關(guān)于數(shù)學(xué)模型的概念，前面已經(jīng)進(jìn)行了基本的闡述，那么面向初中學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的教學(xué)，其目的又是什么？筆者以為，回答這個(gè)問題必須認(rèn)識到數(shù)學(xué)建模既是教學(xué)內(nèi)容又是學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，只有當(dāng)學(xué)生有了數(shù)學(xué)建模的意識，并且能夠運(yùn)用到新知識的學(xué)習(xí)過程中，數(shù)學(xué)建模才算是真正地發(fā)揮了對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的促進(jìn)作用. 因此從這個(gè)角度來看，應(yīng)用意識的培養(yǎng)應(yīng)當(dāng)是數(shù)學(xué)建模教學(xué)的重要指向！下面就結(jié)合這個(gè)觀點(diǎn)談?wù)劰P者的一些初步探索與理解.

數(shù)學(xué)建模在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中

的意義

認(rèn)識數(shù)學(xué)建模在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義，是展開數(shù)學(xué)建模教學(xué)的第一步. 絕大多數(shù)情況下，初中數(shù)學(xué)教師對數(shù)學(xué)建模的理解，都是將其定位在教學(xué)方法之上的. 正如一些同行所說，初中數(shù)學(xué)模型教學(xué)是很多教師普遍采用的一種教學(xué)方法，這種方法可以讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)系，更好地掌握數(shù)學(xué)知識，提高數(shù)學(xué)思維能力. 而在此基礎(chǔ)上需要提醒的是：教師在使用模型教學(xué)時(shí)應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換、構(gòu)建數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)、感悟數(shù)學(xué)模型與實(shí)際的關(guān)系，講清模型的特點(diǎn)并且讓學(xué)生體會(huì)從多角度思考問題. 應(yīng)當(dāng)說這樣的闡述已經(jīng)初步觸及了數(shù)學(xué)建模之于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義，然而只有這種理解又是不夠的，數(shù)學(xué)建模在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義至少還應(yīng)當(dāng)包括如下兩點(diǎn)：

第一，數(shù)學(xué)建模可以培養(yǎng)學(xué)生的概括能力. 盡管數(shù)學(xué)建模在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)體系中，可以說是最重要的因素，然而從能力表征的角度來看，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最重要的能力之一應(yīng)當(dāng)是概括能力（從這個(gè)角度來看，概括能力應(yīng)當(dāng)是核心素養(yǎng)所強(qiáng)調(diào)的關(guān)鍵能力的重要組成部分）. 概括意味著能夠從諸多要素中選擇建構(gòu)某一個(gè)數(shù)學(xué)概念或者規(guī)律所需要的要素，然后通過分析與綜合等，尋找到這些要素之間的關(guān)系，并且能夠用數(shù)學(xué)語言來描述這些關(guān)系. 很顯然，只有在數(shù)學(xué)建模的過程中，這一特點(diǎn)才能夠充分顯現(xiàn)出來，因此數(shù)學(xué)建模可以賦予學(xué)生一個(gè)足夠的空間用來發(fā)展自身的概括能力.

第二，數(shù)學(xué)建模可以培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力. 數(shù)學(xué)知識是抽象的，很多時(shí)候數(shù)學(xué)也被認(rèn)為是遠(yuǎn)離生活的;但事實(shí)上，數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系是密切的，以至于在今天社會(huì)的每一個(gè)領(lǐng)域中，數(shù)學(xué)都無處不在. 只有當(dāng)學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)與生活的這種密切關(guān)系時(shí)，才能養(yǎng)成數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活的意識，而只有學(xué)生有了這樣的意識，才能夠真正發(fā)展他們將數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活的能力. 在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中，數(shù)學(xué)建模被理解為“用數(shù)學(xué)的思維思考世界”，對于學(xué)生而言數(shù)學(xué)就是生活，因此“用數(shù)學(xué)的思維思考世界”就可以理解為“用數(shù)學(xué)的思維思考生活”，而這正是數(shù)學(xué)建模在生活中的應(yīng)用.

指向應(yīng)用意識培養(yǎng)的數(shù)學(xué)建

模教學(xué)

只有當(dāng)應(yīng)用意識培養(yǎng)成為數(shù)學(xué)建模的重要指向時(shí)，數(shù)學(xué)建模作為知識建構(gòu)過程中的重要助力，才能建立起正確的理解并且運(yùn)用于教學(xué). 有研究表明，影響學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力發(fā)展的4個(gè)因素是動(dòng)機(jī)態(tài)度、知識經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知過程、元認(rèn)知. 在重點(diǎn)關(guān)注這4個(gè)因素的基礎(chǔ)之上，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的策略為：拓展最近發(fā)展區(qū)，強(qiáng)化問題意識，建構(gòu)思維模式，調(diào)用監(jiān)控系統(tǒng). 當(dāng)然，這一策略的具體運(yùn)用，本質(zhì)上還是要培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識.

例如，在“一元二次方程”這一知識的教學(xué)中，在情境創(chuàng)設(shè)時(shí)，教師就應(yīng)當(dāng)注意學(xué)生應(yīng)用意識的培養(yǎng)，這可以借助于生活中的一些素材. 比如，“給你一張長為100厘米、寬為50厘米的長方形硬紙板，在它的4個(gè)角各切取一個(gè)同樣的正方形，然后將4周凸出的部分折起來，就能制作成一個(gè)無蓋的方盒. 如果要想讓制作的無蓋方盒的底面積是3600平方厘米，那么硬紙板的各角應(yīng)切取多大的正方形？”

當(dāng)這樣的一個(gè)情境呈現(xiàn)在學(xué)生面前時(shí)，學(xué)生很容易根據(jù)情境的描述，在大腦中形成相應(yīng)的表象. 隨后學(xué)生在解決問題時(shí)，自然也會(huì)想到運(yùn)用方程來解決問題. 這個(gè)時(shí)候教師可以充分放手，讓學(xué)生自己進(jìn)行探究. 此時(shí)絕大多數(shù)學(xué)生都能夠通過未知數(shù)x（正方形的邊）的假設(shè)，得出方程x2-75x+350=0. 在學(xué)生得出這個(gè)方程之后，教師還可以借助于這一思路，選擇新的生活素材來創(chuàng)設(shè)情境，然后讓學(xué)生再次得到一個(gè)新的一元二次方程（當(dāng)然這個(gè)時(shí)候并不給出這個(gè)概念）. 隨后，教師就要引導(dǎo)學(xué)生去分析與綜合，于是“一個(gè)未知數(shù)”“最高次數(shù)是2”等特征就會(huì)被學(xué)生自主發(fā)現(xiàn). 這個(gè)時(shí)候，一元二次方程的概念也就呼之欲出了.

當(dāng)然，從數(shù)學(xué)建模應(yīng)用意識培養(yǎng)的角度來看，教學(xué)過程還沒有最終完成，而這也正是在傳統(tǒng)教學(xué)基礎(chǔ)上尋得突破的重要環(huán)節(jié). 筆者此時(shí)設(shè)計(jì)的是先向?qū)W生提出一個(gè)問題：從上面例子的分析與綜合中，你覺得在什么情況下會(huì)運(yùn)用到一元二次方程來解決問題？

這個(gè)問題的提出，實(shí)際上可以驅(qū)動(dòng)學(xué)生對上面的例子進(jìn)行回顧與更具深度的分析. 更重要的是，在這個(gè)問題的引導(dǎo)下，部分學(xué)生開始進(jìn)行了一次嘗試，即編制運(yùn)用一元二次方程來解答的問題. 這在傳統(tǒng)教學(xué)中是不會(huì)出現(xiàn)的一個(gè)環(huán)節(jié)，因?yàn)檫@個(gè)過程是學(xué)生基于自身對一元二次方程的理解到生活中尋找相應(yīng)的素材（也可能是到自己的經(jīng)驗(yàn)體系中尋找素材），然后再基于問題的邏輯關(guān)系來編制題目.

坦率地講，這個(gè)過程是具有一定挑戰(zhàn)性的，一個(gè)5人小組中通常是3個(gè)學(xué)生在另外2個(gè)學(xué)生的引導(dǎo)下去展開思考的. 與此同時(shí)，這個(gè)過程又是有收獲的，學(xué)生確實(shí)能夠根據(jù)自己的理解去編制一些題目. 比如，有學(xué)生就編制了這樣的一個(gè)問題：如果要給上述的無蓋紙盒加一個(gè)蓋子，且蓋子豎著部分的長度為4厘米，那么這個(gè)蓋子應(yīng)當(dāng)如何制作？這個(gè)問題實(shí)際上是上述問題的延伸，雖然是一個(gè)簡單的題目，但是體現(xiàn)了學(xué)生內(nèi)在的運(yùn)用一元二次方程解決問題的意識，而這正是數(shù)學(xué)建模意識的培養(yǎng)契機(jī).

用應(yīng)用水平評價(jià)數(shù)學(xué)建模的

教學(xué)水平

后來的教學(xué)表明，隨著學(xué)生對一元二次方程的理解越來越深入，他們發(fā)現(xiàn)生活中許多問題的解決都可以借助于一元二次方程來進(jìn)行，這是一種將一元二次方程與生活形成密切聯(lián)系的過程，以一元二次方程為表征的數(shù)學(xué)建模應(yīng)用意識也就得到了充分的培養(yǎng).

在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步思考，筆者以為，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中要評價(jià)數(shù)學(xué)建模的教學(xué)水平，很重要的一個(gè)著力點(diǎn)就是測試學(xué)生的應(yīng)用水平. 這是因?yàn)殚_展數(shù)學(xué)建模教學(xué)與應(yīng)用的研究和實(shí)踐，本質(zhì)是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力和應(yīng)用能力，是為了把學(xué)生從純理論解題的題海中解救出來，把學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的意識貫穿于教學(xué)的始終. 有了這樣的意識，那么數(shù)學(xué)建模在實(shí)際的教學(xué)中就表現(xiàn)出了很明顯的遷移特征——一個(gè)知識教學(xué)中的數(shù)學(xué)建模應(yīng)用意識，可以遷移到新的知識教學(xué)中，這種遷移能力的本質(zhì)也是核心素養(yǎng)所強(qiáng)調(diào)的關(guān)鍵能力，是今后數(shù)學(xué)教學(xué)的重要施力點(diǎn).

3722500589228