探尋數學思想的實際應用與價值

王明建

[摘 ?要] 數學思想是數學學習的靈魂. 它具有協助學生感受知識的本質、構建知識、啟發思維、提高解題能力等重要作用. 當前，部分教育者仍未完全認識到數學思想的應用價值. 因此，文章從以下三方面具體談談數學思想的實際應用與價值：數形結合思想，形成直觀理解;函數與方程思想，簡化問題難度;分類討論思想，優化解題思路.

[關鍵詞] 數學思想;數形結合;分類討論思想

思想是指客觀事物經思維活動后反映在人類意識中的一種產物. 數學思想作為科學思想的一類，能優化學生的認知與思維結構，協助學生形成新的知識體系. 教學中，利用數學思想能將互不相干的知識點聯系到一起，在知識的互相轉化中，深化學生對知識的理解程度.

復習是對知識的整理、歸納與提煉的階段，怎樣靈活運用所學知識，提高解題能力，發展思維水平是教師所關注的問題. 實踐證明，數學思想的運用是實現這一切的手段之一. 因此，筆者就常見的幾種數學思想的實際應用與價值談一些認識.

數形結合思想，形成直觀理解

數形結合思想是學生較早接觸到的一類思想，學生在接受數學啟蒙時就會涉及這類數學思想. 它能將抽象的文字知識用直觀的圖形來表達，讓學生能一目了然地理解題意，找出問題的癥結. 在高中階段，隨著教學難度的加大，抽象性也越來越強. 有些試題光理解文字就需要費一番功夫，而圖形結合的使用則能將很多邏輯性很強的東西直觀地表達出來，讓一些非常抽象的問題變得直觀、易懂.

數形結合思想不僅能將抽象的知識用圖形表示，同時也具有將圖形轉化為文字的重要作用. 不論是“以形助數”還是“以數解形”，都具有幫助學生化繁為簡、優化解題方法的重要作用. 因此，數學思想是學好數學的根本，它對學生各種能力的培養有著無可替代的重要價值.

本題涉及用數形結合思想解決取值范圍的問題，此類問題的解題關鍵點在于用一定的方法在直角坐標系中作出方程的曲線，在此基礎上將待求的最值轉化為學生熟知的直線在y軸的截距，觀察繪制而成的圖形，基本就能解出本題.

根據數與形之間存在的聯系，將它們進行相對應的轉化來激活學生的思維，使得難以理解的抽象問題變得直觀、具體、通俗化. 因此，數形結合的方式能有效地幫助學生理解問題的內涵，它充分體現了數學的靈活性與規律性等特征.

函數方程思想，優化解題思路

函數思想是從變化和運動的角度去思考與解析數學對象之間存在的數量關系，構建函數后，利用函數的性質或圖像對問題進行轉化、分析與解決. 函數思想在數學中的運用較廣泛，它具有加強學生對函數本質的理解，從函數的角度去分析、思考并解決問題等作用. 因此，它不僅能激活學生的思維，還能讓學生在問題的分析與解決中培養思維品質.

方程思想指根據問題中存在的等量關系，構建方程或方程組. 它與函數思想的共性是構建新的模型轉換原問題，以簡化問題難度，從而順利解決問題. 方程思想更全面地詮釋了變量中的等量關系，將抽象的問題變得簡潔化.

通常情況下，這兩種數學思想有著密切的聯系. 高中數學中不少涉及函數的問題都是用方程來解決的，同時又有不少方程類的問題，是運用函數來解決的. 因此，它們之間存在著一定的辯證關系. 這兩種數學思想的使用能進一步優化學生的思維與解題方法.

使用函數處理各種數學問題是常態，尤其是關系到數列的問題，基本都可以用函數思想來解決. 數列前n項的和或通項都是正整數的函數，解題中從變量與函數的角度去觀察與分析問題，會簡化問題的難度，使得解題水到渠成. 學生的思維也在函數思想的刺激下得以有效發展，這也為學生解題能力的發展與數學素養的提升奠定基礎.

分類討論思想，簡化問題難度

分類討論思想是將一個完整的問題，通過分割或分解的方式，轉化為若干個子問題，再逐個突破子問題，以達成解決整個問題的目的. 此數學思想在整個數學學習中，占有相當重要的位置，它最大的優勢在于分解復雜的問題，簡化問題難度. 分類時，必然涉及一個分類的條件或標準，此標準即相當于為原題增設了一個已知條件，作用為將一個難度系數偏大的問題分解為一系列難度系數較小的基礎性問題.

一般分類討論的解題，我們可遵循以下幾個步驟：①首先應確定本題待分類的對象（參數或變量）;②進行合理分類，明確可以分為哪幾類;③根據分類情況將分好類的問題一個一個突破;④匯總分類討論的結論，作解題的最終總結.

此題中，a的取值范圍對函數的性質產生了直接的影響，因而需要分兩種情況進行討論. 本題分為a>1與0

高中數學學習的短期目標是面對高考，從高考命題者的角度出發，數學考核絕對不是考查孤立的知識點，而是考查學生對數學本質的認識，即完整的知識體系與數學思想的應用. 而從高中數學學習的長遠目標來看，為的是發展學生的思維，培養學生的可持續性發展能力與核心素養. 因此，教師應從思想上重視數學思想的滲透與應用，鼓勵學生積極開動腦筋，拓展解題思路，將更多、更好的數學思想應用于日常學習中，以促進學生學習能力的提升.

其實，常用的數學思想除了以上幾種之外，還有其他很多類，如特殊與一般、轉化與化歸等. 想讓學生達到知識的靈活運用與能力的提升，就應從課堂教學的方方面面關注數學思想的歸納、提煉與整理，以簡化問題的難度，優化學生的思維，提升題解能力.

總之，對數學規律理性的認識體現在數學思想的靈活運用，學習數學的目的除了理解與掌握相應的知識與技能外，更重要的是思維習慣與核心素養的培養. 教師將各種數學思想滲透于教學的每一個環節，能促進學生認識數學的本質，針對不同的問題選擇相應的數學思想來解決. 如此，可避免學習的隨意性與盲目性，達到學習效益最大化的教學目的.

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