芻議問題引導的高中數學課堂教學設計理論與實踐

周祝光 張揚

[摘 ?要] 隨著時代的發展，問題導向的教學已成為基礎教育新課程提倡的教學方式之一. 數學教學中，教師根據教學內容，把某些數學概念、數學結論或數學思想和方法整合成“關鍵問題”呈現給學生，學生隨后對其進行積極探索和分析研究. 主要的教學策略有：生活化處理教材，用主問題激發學生興趣，促進學生數學與生活的關聯;創設最佳問題情境，引導學生參與體驗，促進學生數學與境遇的關聯;培養“問題意識”，提高解決問題的能力，促進學生數學與問題意識的關聯.

[關鍵詞] 問題教學;活動體驗;教學策略

隨著時代的發展，問題導向的教學已成為基礎教育新課程提倡的教學方式之一，也是新一輪基礎教育課程改革中關注的熱點. 問題導向的數學課堂教學近幾年來在全國各地均已開展了大量的理論、實踐研究，提倡運用問題引導數學課堂教學已成為廣大數學教師的共識.

教學是教師的教和學生的學所組成的人才培養活動，這種活動是由一個個功能不同、相互聯系、前后銜接的環節構成的. 為實現人才培養的目標，在教學活動中需采取一定的行為方式與教學策略幫助學生結果性目標與體驗性目標的有效達成.

生活化處理教材，用問題激發學生興趣，促進學生數學與生活的關聯

新課程標準的數學教材已經在問題的設置上有較好的體現，但教師仍需具有創新的意識與行為，在數學教學設計中結合學生的認知水平能動處理教材內容，對教學內容實施生活化處理，可以對教材進行再次修改，利用增補、刪減、調節重新聚合出主問題. 這樣設計的問題和學生個人生活緊密關聯，可以提高學生的積極性，激發他們的獨立思考，利用對主問題的探索和解決，鍛煉思維的敏捷性、靈活性和創造性，通過反思、歸納生成新的知識和方法，提高運用知識解決問題的能力.

如“橢圓及其標準方程”（下稱橢圓）中的主問題可定為“分享生活中的圓錐曲線，探究用代數語言描述橢圓”.

設計分析：本節課是“圓錐曲線與方程”的第一節課，學生通過對圓的學習和分析，對怎樣分析平面曲線具有相應的緘默知識. 同時具備對橢圓的認知源自現實生活經驗，學生從現實生活中了解得到橢圓圖形，對橢圓對稱性和圓扁情況產生大致的模糊了解，且可以依照直觀感知，刻畫橢圓草圖. 但還無法使用數學眼光去了解橢圓，對橢圓的基本特征還無法得知，也就無法使用精準的數學語言刻畫橢圓. 這個主問題的設計源于學生實際和教材，又能激發學生的興趣，促進學生數學與生活的關聯.

探究策略：本課在探究和解決主問題時，使用逐層遞進的方式，主要從學生了解現實中的橢圓圖片著手，主要課程基于怎樣“描述橢圓”的問題進行. 因此課堂教學被劃分成三個部分，第一部分是：畫圖形——正確刻畫圖形.此部分還被劃分成三步，第一步，讓學生描繪出內心中的橢圓，且暢談對橢圓的大致了解. 第二步，教師準備合適的工具，正確作圖形——形象化了解橢圓，依照學生自身刻畫得到的橢圓，尋找橢圓上的點具備的幾何屬性. 第三步，學生三畫橢圓，修改、健全之前得到的結果. 第二部分：確定概念——定性敘述橢圓. 依照上述得到的結果，使用規范、簡單的文字語言來敘述橢圓，此外修正、充實學生的緘默知識. 第三部分：尋求方程——定量代表橢圓. 依照上述得到的橢圓概念，讓學生挑選合適的平面直角坐標系，尋求橢圓的標準方程，定量表述橢圓. 從而達到了從不同角度，多種層次解決描述橢圓的問題，最后反思解決主問題的過程，歸納總結生成高中數學解析幾何研究曲線方程的認知程序、操作方法、思維模式，同時也提高了學生解決問題的能力.

優化問題情境，引導學生參與體驗，促進學生數學與境遇的關聯

問題的科學呈現、最優化與最佳情境的建設，都是要把學生引導進入和問題有關的情境中，最終激發、提高學生的創新水平，營造良好的內部問題情境. 所以，教學中要技巧性地改善問題的呈現模式，建設最合理的教學情境，引導學生有更多的機會主動參與到教學中去，多角度聯想、思考、探究、體驗，利用看、想、聽、說、做等形式，讓學習過程行為化，營造出敢于學習、敢于嘗試、敢于探索的積極環境. 由此提升學生使用知識處理現實問題的能力，提高他們的創新水平和自我探究水平，高效完成教學目標.

如“雙曲線及其標準方程”（下稱雙曲線）中可構建“回顧橢圓的研究過程，探究雙曲線定義與標準方程”的問題情境.

設計研究：本節課是在學習橢圓的前提下，全面分析、學習雙曲線的概念、方程與幾何屬性，類比橢圓的學習方式和思維模式研究，但過程中也有雙曲線的特征和難度.此外，學生對如何研究平面曲線有了一定的緘默知識，但對生活中的雙曲線的現實模型和動態的雙曲線的軌跡的印象很少，最近發展區只能依托反比例函數的圖像，和類比橢圓那樣研究和學習雙曲線. 所以本節課的重難點是探究雙曲線定義的產生、發展和歸納的過程，進一步再推導雙曲線的標準方程.

探究策略：本課在問題情境的創設中，首先讓學生聽一段難得的數學歌曲《悲傷雙曲線》. 開篇就給學生帶來認知沖突和學習欲望，營造良好的學習情景.不失時機地進行問題情境再優化，“回顧橢圓的研究過程，探究雙曲線定義與標準方程”. 課程中，首先展示和介紹由教師和學生共同收集的雙曲線圖片，喚醒學生的雙曲線現實模型的模糊記憶;然后，回顧雙曲線的研究歷史，學生試著用拉鏈拉雙曲線，并嘗試畫出雙曲線，展示和交流畫法與成果;接著由師生共同展示和完成拉鏈拉雙曲線的方法，但學生可能仍然無法得到雙曲線上的點所滿足的幾何條件，教師再通過幾何畫板模擬拉鏈拉動的過程，準確形象直觀地展現雙曲線的畫法，并能直觀感知到雙曲線上的每一個點的軌跡特點，這樣有利于學生深刻理解和領會雙曲線定義的產生發展過程，從而歸納出雙曲線的幾何特征和定義.

接下來，學生類比推導橢圓方程的活動經驗、探究方法和研究程序，推導雙曲線的標準方程. 同時設計的另一個重點應放在類比橢圓與雙曲線標準方程的特征和類比反比例函數圖像與雙曲線圖像特征，既有利于舊知識的回憶鞏固，又能與新知識有比較，印象更深刻，學生從相互的聯系與區別中認識到事物的相互聯系和相互轉化.

培養“問題意識”，提高解決問題的能力，促進學生數學與問題意識的關聯

“問題意識”表示某個人基于認知對象時形成的環境、困擾、分析的心理意識. 問題是思維產生的結果，還是發展動力以及創新根源，敢于提問、善用提問在一定程度上影響學生是否具備創造性理念與創造能力. 勇敢提出問題、處理問題就是善于研究問題與處理問題的基礎. 首先可以讓學生“無中生有”“有中生異”“拾級而上”等，讓學生產生提問的興趣，進而提高問題的質量，然后培養學生“類比提問”“探源提問”“聚合提問”，引導學生由此及彼、觸類旁通、追根究底、發散思維等. 依照問題特征類型，培育學生“問題觀念”的目標是提升學生發現問題、提出問題、解決問題的水平，且在教師的指導下尋找處理問題的方式，了解處理問題的渠道，得到處理問題的能力. 要將部分課堂上想要處理的問題與能力（比如審題水平、綜合水平、比較水平、語言概括水平、文字表達水平、獲取信息水平等）內化，讓學生可以靈活運用，付諸實踐.

如“拋物線及其標準方程”（下稱拋物線）中的探究問題定為“探究平面內與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡，探究曲線方程”.

設計分析：本課是在學習了圓、橢圓和雙曲線的基礎上探求拋物線的方程，學生對怎樣研究圓錐曲線已經有了明確的知識、方法及程序等，特別是橢圓和雙曲線的第一和第二定義的學習與研究經驗，讓學生對“坐標法”研究圓錐曲線的軌跡方程有較為深刻的認識，易類比提出問題“對平面內到一個定點的距離與到一條定直線的距離的比為1的點的軌跡是什么”. 但對拋物線的認識還是感性的，沒能上升到理性的高度去認識，沒有深入地研究拋物線的幾何性質，所以對“畫出其軌跡”這一問題仍存在障礙，對探究其“標準”方程也存在細節處的困惑. 認識圓錐曲線的本質，發現圖形的幾何性質和標準方程的內在關系，尤其是尋求一個易于研究拋物線的幾何性質的標準方程，也是多數學生感到棘手的問題.

探究策略：拋物線是圓錐曲線的最后一種類型，如果再沿用橢圓和雙曲線的教學模式，就沒有什么新意，學生會產生認知疲倦感，而學生的認知水平和研究問題的能力隨著前面兩種圓錐曲線的學習明顯有較大的提高，所以這樣設置也不符合學生的認知規律. 因此，在對到一個定點F的距離和定直線l的距離的比是常數e的點的軌跡，當0<e<1時是橢圓，當e>1時是雙曲線，學生自然會產生疑問：當e=1時軌跡是什么呢？它的方程又是什么形式呢？探求方程的過程又是怎樣的？能不能像描述橢圓和雙曲線那樣的過程進行描述？對這一連串的問題，學生自己能夠感知甚至主動提出. 于是設計時采用欲擒故縱的方式，先讓學生帶著自己的問題探求平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡方程，由于學生建立的坐標系不同，得到的曲線的方程也有區別，學生頓時產生了疑惑，迫切想找到這種區別的根本原因所在，從而學生可以建構出拋物線的定義，教師可以引導學生從數學美學的角度去分析如何建立坐標系能使曲線更對稱、方程更簡單，調動學生更主動地去領悟方法，總結歸納出拋物線的標準方程.

數學新課程標準提出，教學目標不能只停留在“教過”或“教懂”“教會”的層面上，而要實現“會學”“會用”的第二次飛躍，這才是教學的最終目的. 因此，在全面發掘教材之后，教師應尋找合適的解決角度、方式，進一步優化問題的綜合性、研究性，設計與之相關的探究性、開放性問題，幫助學生從多個角度分析問題，以此加深體驗. 利用設疑、釋疑、比較、類比等方式進行獨立探索或合作討論交流等尋找問題解決的辦法，呈現不同的解決辦法、方式和結果，在不同的解決層次的交鋒碰撞下，歸納和掌握新的知識與方法，獲得不同的情感體驗，提高綜合能力.

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