深挖教材資源 發(fā)展數(shù)學(xué)思維

王東

[摘? 要] 很多教師已經(jīng)關(guān)注到“題海戰(zhàn)術(shù)”的弊端，然而教學(xué)中仍在廣泛使用，不僅增加了學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，而且占用了師生鉆研教材的時間. 而教材才是數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重，只有用心鉆研才能掌握知識的內(nèi)涵，才能有效地利用例習(xí)題的變形達(dá)到鞏固學(xué)生知識和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的作用.

[關(guān)鍵詞] 題海戰(zhàn)術(shù);鉆研教材;數(shù)學(xué)思維

有些時候，考生會覺得考試題目偏難，但經(jīng)過反思總結(jié)卻發(fā)現(xiàn)其內(nèi)容都源于教材. 出現(xiàn)這一現(xiàn)象的原因大多是師生對教材的認(rèn)識不夠，尤其是高三復(fù)習(xí)階段，對教材研究的時間很少，大多時間用于刷題，試圖提高成績. 這樣“輕教材、偏練習(xí)”的情況時有發(fā)生，即使吃了不重視教材的虧，依然容易執(zhí)迷不悟.

教材是試題編寫的依據(jù)和主要來源，因此若想提高成績，則學(xué)好教材才是關(guān)鍵. 那么，在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何才能用好教材呢？筆者結(jié)合教學(xué)實踐，談?wù)勛陨韺滩慕虒W(xué)的粗淺想法.

[?] 利用教材資源夯實基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)教材的編寫是數(shù)學(xué)專家集體智慧的結(jié)晶，編寫過程充分結(jié)合了學(xué)生的認(rèn)識水平和學(xué)習(xí)能力，是學(xué)生數(shù)學(xué)知識的主要來源. 數(shù)學(xué)教材是值得每位教師仔細(xì)研究的，尤其是年紀(jì)較輕的一線教師更要注重教材的研究，不要認(rèn)為講授偏題、難題、綜合題才能體現(xiàn)個人能力，這樣錯誤的認(rèn)識容易造成學(xué)生基礎(chǔ)知識掌握不牢，從而限制學(xué)生后期的提升和發(fā)展. 因此，在教學(xué)中要仔細(xì)研究教材，讀懂和挖掘教材的真實內(nèi)涵，從而認(rèn)清知識的本質(zhì)特征，真正地用好教材.

1. 加強(qiáng)概念內(nèi)涵和外延的學(xué)習(xí)

一談到數(shù)學(xué)概念，大部分學(xué)生認(rèn)為只要熟背就可以掌握和應(yīng)用概念了，這種想法顯然過于片面，沒有對概念形成正確的認(rèn)識. 數(shù)學(xué)概念是通過數(shù)學(xué)家無數(shù)次驗證和推理得到的，是從感性認(rèn)知升華至理性認(rèn)知的過程，其有著豐富的內(nèi)涵和外延. 同時，數(shù)學(xué)概念是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維、形成正確數(shù)學(xué)觀的理論依據(jù)，因此教師要引導(dǎo)學(xué)生重視概念的學(xué)習(xí)，從而為提升數(shù)學(xué)能力提供理論支持.

例1 將函數(shù)f（x）=-2（x∈[0，6]）的圖像繞點(diǎn)O（0，0）逆時針旋轉(zhuǎn)角θ（0≤θ≤α），得到曲線C. 若對于每個旋轉(zhuǎn)角θ，曲線C都是一個函數(shù)圖像，則α的最大值為________.

此題實際上就是考查函數(shù)的定義，然而因為學(xué)生對概念的不敏感，很多學(xué)優(yōu)生都沒有正確理解此題的用意，從而造成難解失分.

數(shù)學(xué)定理、公式的推理都是以概念為基礎(chǔ)的，因此概念始終是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)之一，是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，概念學(xué)習(xí)必須引起師生的重視.

2. 提升例題的廣度和深度

例題是對數(shù)學(xué)概念、定理、公式最好的詮釋，是訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要手段. 同時，很多考試題目都是例題的變形，高考題目亦是如此. 因此若想數(shù)學(xué)成績有所突破，不僅要通過熟練來掌握例題的思路和解法，還要充分挖掘例題更深層的內(nèi)涵，從而提升學(xué)生敏銳的觀察力和解決問題的能力.

高考中很多題目都源于教材又高于教材，因此必須鼓勵學(xué)生認(rèn)真鉆研教材，切勿遠(yuǎn)離教材而盲目地練習(xí)難題、偏題，否則不僅會加重學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，而且會消耗學(xué)生研讀教材的時間，得不償失.

[?] 立足教材，激活數(shù)學(xué)思維

課堂是教師教授知識、學(xué)生學(xué)習(xí)知識的主陣地，因此師生要用好課堂資源，在夯實基礎(chǔ)的同時注意學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展. 在教學(xué)中，教師要善于利用變式、一題多解等多種教學(xué)手段來激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力.

1. 認(rèn)真解讀題目中的隱含條件，培養(yǎng)思維的深刻性

審題是順利解題的前提，那么如何審題呢？筆者認(rèn)為，審題必須關(guān)注題目中隱含的條件，這樣不僅能為解題提供依據(jù)，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和深刻性. 因此，教學(xué)中要不失時機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注隱含的條件，培養(yǎng)學(xué)生挖掘隱含條件的意識.

例2 在△ABC中，已知cosA=，cosB=，求sinC和cosC的值.

要解決此題，首先就要理解題中隱含的條件. ①由△ABC可知，∠C=180°-∠A-∠B，因此求sinC的值就轉(zhuǎn)變?yōu)榍髎in（A+B）的值;②因為∠A，∠B，∠C為△ABC的三個內(nèi)角，因此sinA>0，sinB>0，sinC>0. 找到題目中隱含的條件，問題自然迎刃而解. 然而，若學(xué)生對定理缺乏理解，則很難發(fā)現(xiàn)題中隱含的條件，也就很難解決問題了.

2. 多角度論證，培養(yǎng)思維的靈活性

在教學(xué)中，教師常常引導(dǎo)學(xué)生對同一問題從多角度進(jìn)行思考，尋求不同的解決策略或方法，從而擺脫定向思維的束縛，開闊學(xué)生的視野，培養(yǎng)思維的靈活性.

例3 求證cos2α-cos2β=-sin（α+β）·sin（α-β）.

解決此題從多角度進(jìn)行思考，主要有以下三種方法：

方法1：cos2α-cos2β=（cosα+cosβ）·（cosα-cosβ）=

2coscos

·

-2· sinsin

=-

2sincos

·

2sincos

=-sin（α+β）sin（α-β）.

方法2：cos2α-cos2β=-==-sin（α+β）·sin（α-β）.

方法3：-sin（α+β）sin（α-β）= -（sinαcosβ+cosαsinβ）（sinαcosβ-cosαsinβ）=cos2αsin2β-sin2αcos2β=cos2α·（1-cos2β）-（1-cos2α）cos2β=cos2α-cos2β.

3. 強(qiáng)化訓(xùn)練，提高思維的敏捷性

數(shù)學(xué)考試往往題量較大，解題時需要迅速地對題目做出反應(yīng)，因此必須提高思維的敏捷性. 那么，要提高學(xué)生思維的敏捷性就需要教師有意識地進(jìn)行培養(yǎng). 首先通過常規(guī)的基礎(chǔ)練習(xí)讓學(xué)生“懂”和“會”，其次通過知識點(diǎn)整合培養(yǎng)學(xué)生的迅速反應(yīng)能力，然后通過強(qiáng)化練習(xí)提升學(xué)生的解題速度，從而達(dá)到遇到問題就可以產(chǎn)生條件反射的程度.

例4 同角三角比的基本關(guān)系.

在講解同角三角比的基本關(guān)系時教師首先從定義入手，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)倒數(shù)關(guān)系，并找出使其成立的條件;接下來，探究商數(shù)關(guān)系和平方關(guān)系，為了方便學(xué)生加強(qiáng)公式記憶，可借助于圖形法（如圖1所示）.

通過圖1可以發(fā)現(xiàn)：①對角線上的三角比乘積為1;②六邊形任意相鄰的三個頂點(diǎn)代表的三角函數(shù)，處于中間位置的函數(shù)值等于與它相鄰兩個函數(shù)值的乘積，如sinθ=cosθ·tanθ.

為了方便學(xué)生記憶，在訓(xùn)練過程中，可以引導(dǎo)學(xué)生選取適合自己的方法，這也是尊重個體差異的表現(xiàn). 當(dāng)然，訓(xùn)練思維的敏捷性也可以借助于平時的練習(xí)，通過限時提升學(xué)生的關(guān)注度和緊迫感，從而培養(yǎng)學(xué)生良好的思考習(xí)慣和做題習(xí)慣. 思維的敏捷性不是一朝一夕就可以培養(yǎng)的，需要長期堅持練習(xí)，在保證正確率的基礎(chǔ)上提高對速度的要求，做到穩(wěn)扎穩(wěn)打、穩(wěn)中求快.

4. 通過變式，培養(yǎng)思維的創(chuàng)新性

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)如果僅是模仿和套用公式，很難提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，更無法培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維. 因此在應(yīng)用教材時可以借助于一些變式題，訓(xùn)練學(xué)生思維創(chuàng)新的能力.

例5 已知tanα=2，求的值.

該題解答后，教師通過變化讓學(xué)生繼續(xù)探究，從而通過題目的創(chuàng)新培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.

（1）變條件：

變式1：已知tan（π-θ）=2，求的值.

變式2：角α的終邊在直線y=2x上，求的值.

（2）變結(jié)論：

變式3：已知tanα=2，求的值.

變式4：已知tanα=2，求2sin2α+sin2α的值.

通過變式訓(xùn)練，讓學(xué)生找到知識點(diǎn)之間的聯(lián)系，不僅可以鞏固知識，還可以提升思維的靈活性，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識.

例6 已知等差數(shù)列{an}前5項的和為0，前10項的和為-100，求這個數(shù)列前20項的和.

讓學(xué)生根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得出相應(yīng)的和也是等差數(shù)列，從而求解. 為了進(jìn)一步拓展和延伸，可以用字母來代替特殊值，如將“前5項”改為“前m項”、“前10項”改為“前2m項”. 因為學(xué)生對含字母的運(yùn)算常常無從下手，所以需要通過題目的創(chuàng)新設(shè)計解放學(xué)生的思維，讓學(xué)生從特殊中找到一般規(guī)律，從而提高學(xué)生解題的信心.

平時練習(xí)的題目，甚至高考題目，大多是教材中例習(xí)題的變形. 因此，在教學(xué)中要注意例習(xí)題的變形，通過“變”考查學(xué)生基礎(chǔ)知識的掌握情況，通過“變”讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，通過“變”讓學(xué)生掌握通性通法，通過“變”培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.

5. 利用錯誤，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性

教學(xué)中，教師常常害怕學(xué)生犯錯，為避免犯錯將易錯點(diǎn)提前加以說明，然而教師所強(qiáng)調(diào)的易錯點(diǎn)學(xué)生往往記憶不牢，導(dǎo)致在章節(jié)練習(xí)或者考試時漏洞百出. 因此，在學(xué)習(xí)時不如放手讓學(xué)生犯錯，通過糾錯培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和批判性.

例7 解不等式

>1.

教師讓學(xué)生嘗試自主解題，接下來展示錯解過程.

師：原不等式可化為2x-3>x+2，根據(jù)不等式的性質(zhì)得（2x-3）2>（x+2）2，整理得（3x-1）（x-5）>0，解得x>5或x<.

師：大家的答案和我的答案是一樣的嗎？（大多數(shù)學(xué)生表示贊同，少數(shù)學(xué)生提出了反對意見）

生1：這個結(jié)果不對，若x=-2，也滿足x<，而不等式中x≠-2，所以該結(jié)果是錯誤的.

生1質(zhì)疑后，大家恍然大悟. 讓學(xué)生經(jīng)歷犯錯的過程，比直接指出錯因更使學(xué)生印象深刻. 通過糾錯能有效避免學(xué)生重蹈覆轍，可以潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性. 同時，大膽地提出疑問，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的批評性，增加學(xué)習(xí)的信心.

總之，在教學(xué)中，教師只有以教材為本，深度挖掘教材的精髓，才能不失時機(jī)地訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，從而提高數(shù)學(xué)成績.

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