從過程析解幾 切視角探多解

洪海波

[摘? 要] 解析幾何問題可從不同視角來突破，尤其是對于與幾何結合緊密的問題，可充分挖掘問題中的幾何屬性，結合函數曲線綜合構建. 文章以一道拋物線綜合題為例，探索問題解法，剖析問題條件，開展多解探究，并提出相應的教學建議.

[關鍵詞] 解析幾何;多解;三角形;面積;模型

[?] 問題突破

問題：平面直角坐標系xOy中，已知圓F的解析式為（x-1）2+y2=1，點P是圓外的一點，并在y軸的右側運動，點P到圓F上點的最小距離等于它到y軸的距離，記點P的軌跡為E，回答下列問題.

（1）求點P的軌跡方程;

（2）設過點F的直線與E相交于點A和B，以AB為直徑的☉D與平行于y軸的直線相切，且切點為M，連接DM，設與E的交點為N，試證明△AMB的面積是△AMN面積的4倍.

解析：（1）點P是圓F外y軸右側上的動點，由條件可知點P到☉F上點的最小距離為

PF

-1，可據此進行思路構建，過程如下.

設點P（x，y），由題意可知x>0，且點F（1，0）. 點P在☉F外，點P到☉F上點的最小距離為

PF

-1，則有

PF

-1=x，即-1=x，化簡可得E的方程為y2=4x（x>0）.

（2）該問以AB為直徑構建了☉D，且平行于y軸的直線與其相切于點M，并以此形成了兩個三角形，證明△AMB和△AMN之間的面積關系可分兩步進行：第一步，設點求直線AB的方程，與拋物線聯立提取參數之間的關系;第二步，構建三角形面積模型，將面積轉化為關于參數的代數式，通過代數式來證明面積關系，具體如下.

設過點F的直線與E的交點為A（x，y）和B（x，y），再設點N（x，y），點D是AB的中點，則D

，

. 根據題意可設直線AB的方程為y=k（x-1） （k≠0），與拋物線的方程聯立，有y=k（x-1），

y2=4x，整理可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，則Δ=（2k2+4）2-4k4=16k2+16>0，由韋達定理提取根與系數的關系，有x+x=，則y+y=，可得點D的坐標為

，

. 根據拋物線的定義可知AB=x+x+2=. 可設點M（x，y），根據題意可得y=，所以MD=-x. MD為☉D的半徑，則MD=，則-x=+2，從而可解得x=-1，則點M

-1，

. 因為點N

x，

在拋物線上，所以x=，可將點N坐標簡化為

，

. 利用面積割補法構建△AMB的模型，則S=S+S，兩小三角形可視為同底三角形，底為MD，結合點A和B的坐標，有S=MD

y

-y，代入線段MD的長，可得S=

y

-y. 而對于△AMN，可視為是以MN為底，點A為頂點的三角形，則S=MN

y

-y，化簡可得MN×

y

-y=·

y

-y，綜合可知S=4S，即△AMB的面積是△AMN面積的4倍.

[?] 解后剖析

上述是一道關于拋物線的解析幾何綜合題，兩問分別求點的軌跡，證明兩三角形的面積關系，涉及了距離最小、圓與直線相切、幾何面積關系等內容. 兩問特征及考查內容具有一定的代表性，可視為是眾多小問題的組合，解析時可采用逐問突破的策略，下面深入探究.

1. 點軌跡的分析

第（1）問探究點P的軌跡方程，核心條件是“點P到圓F上點的最小距離等于它到y軸的距離”，屬于距離最值問題，其中涉及了動點與圓上點的距離關系. 該問題突破的基礎是“兩點之間，距離最短”的衍生定理，需要充分利用圓的特殊性，把握直徑這一定量，提取圓上相對于動點的“近點”和“遠點”. 點軌跡的求法較多，常用的有定義法、直譯法、代入法、參數法等，本問題中完成距離關系提取后，采用距離直譯的方式更為簡捷.

2. 面積關系的論證

第（2）問論證所構兩三角形的面積關系，問題信息較為豐富，同時具有一定的邏輯順序，因此解析時需把握圖像構建的過程，可將題目信息提煉如下：

①過點F的直線與拋物線E交于點A和B;

②以AB為直徑構圓，圓心為D;

③平行于y軸的直線與☉D相切于點M.

核心信息為三條，但其中隱含了大量的性質條件，信息①中可將AB視為焦點弦;由信息②可得點D是線段AB的中點;信息③隱含了核心條件，分析可知點M位于☉D上，DA=DM=BD，直線與☉D相切，則MD⊥直線，而直線平行于y軸，故直線MD平行于x軸，即點M和D位于同一水平線上，兩點的縱坐標相等，即

y=

y.

3. 原解法的構建分析

問題解析需要充分利用提煉的問題條件，以上述第（2）問為例，△AMB為一般三角形，但平行于x軸的線段MD作為分割線，可將原三角形分割為同底異頂點的兩個小三角形：△AMD和△BMD，故有S=S+S. 實際上是依托曲線構建的“鉛垂”模型，利用同底和兩頂點之間的距離即可完成面積模型轉化，也是該問題突破的關鍵. 該方法常用于與曲線相關的面積問題，如面積關系問題、面積最值問題等. 突破過程分為兩步：一是模型構建，二是模型轉化，最終目的是將面積關系轉化為關于線段長、點坐標或參數的代數式.

[?] 多解探究

解析幾何問題的突破思路及解法較為多樣. 對于本問題，除了上述解法外，所涉兩問還可以從其他視角來構建思路. 第（1）問中，還可以利用拋物線的定義來轉化線段長. 而第（2）問中，可把握點N的位置特點，避開模型轉化，直接利用線段長論證兩三角形的面積關系. 下面開展多解探究，多樣構建思路.

1. 軌跡方程的另解

設點P的坐標為（x，y），由題意可得x>0，點P在☉F外，則點P到☉F上的最小距離為PF-1，分析可知點P到F（1，0）的距離PF等于點P到直線x=-1的距離，所以點P位于以點F（1，0）為焦點，x=-1為準線的拋物線上，則E的方程可表示為y2=4x（x>0）.

2. 關系論證的多解

設過點F直線與拋物線E的交點A（x，y），B（x，y），設直線方程為x=ty+1（t≠0），與拋物線方程聯立，有x=ty+1，

y2=4x，整理可得y2-4ty-4=0，Δ=16t2+16>0，由韋達定理可得y+y=4t，則x+x=4t2+2. 點D是AB的中點，則D（2t2+1，2t），由拋物線的定義可得AB=（x+1）+（x+1）=4t2+4，設與☉D相切于點M的直線為l：x=m. 因為DM與拋物線相交于點N，則m<0，且DM⊥l，故DM=AB，所以2t2+1-m=（4t2+4），可解得m=-1.

設點N（x，y），則y=2t，同時位于拋物線y2=4x上，有（2t）2=4x，可解得x=t2. 因為=t2，故點N是MD的中點，則有S=2S. 又知點D是AB的中點，則有S=2S，所以S=4S.

評析：上述通過三角形面積代換論證了其中的面積關系，解法的核心是把握線段的中點，主要有兩個：一是點N為MD的中點，二是點D是AB的中點，前者需要利用曲線、直線、圓的位置關系來推導，后者直接由☉D的構建過程即可得出.

[?] 教學建議

1. 深度解讀信息，關注構建過程

本文對一道以拋物線為背景的解析幾何題進行了解法探究，問題圖像復雜、信息量大. 探究教學中建議關注兩點：一是深度解讀信息，指導學生進行條件提煉轉化;二是開展思路突破，指導學生進行思路構建. 以上述問題為例，對于核心條件以AB為直徑作圓，要解讀點D在線段AB中的位置;平行于y軸的直線與圓相切，要解讀點D和M的縱坐標值相等. 而過程構建時要指導學生養成良好的解題習慣，充分利用數形結合的方法，按照“信息解讀→條件羅列→圖像理解→模型構建→問題轉化”的思路逐步剖析，讓學生體驗解題過程，感知問題解法.

2. 合理拓展解法，拓寬解題思路

解法多樣是解析幾何綜合題的一大特點，解題探究時建議合理拓展解法，引導學生從不同視角思考問題，探索思路構建的方法. 以上述第（2）問的面積關系問題為例，可從面積模型轉化視角入手，結合面積公式將幾何模型轉化為關于參數的數式;也可從面積關系轉化入手，把握點坐標的位置特點，直接分析三角形面積之間的關系. 實際教學時，讓學生思考問題的解析策略，引導學生把握問題的函數與幾何屬性，探討問題的創新解法. 教學中設置引導性問題，提煉問題模型，引導學生探索圖形特征，自主思考，獨立構建，逐步拓寬學生的解題思路.

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