關于參變分離法的深入探究

馬晉華

[摘? 要] 參變分離是求解不等式恒成立取值問題的常用方法，可有效規避分類討論，部分情形中需引入洛必達法則，同時參變分離法求解時會涉及不同階求導情形. 文章對一道試題加以探究，并深刻剖析參變分離法，提出相應的學習建議.

[關鍵詞] 函數;恒成立;參變分離;導數;不等式

[?] 問題初探

參變分離法是求解函數與導數問題常用的解法，但對于其中一類與恒成立相關的問題，初步解析來看可用參變分離法，但后續可能產生一些附屬問題，如計算求值時出現分母為零無法計算、函數極值無法確定等，下面進行深入探究.

問題：已知函數f（x）的解析式為f（x）=lnx-，如果f（x）≥0在x≥1時始終成立，試求a的取值范圍.

分析：f（x）是含有參數a的復合函數，問題可歸為不等式恒成立問題，需要使用導數的相關知識，若用參變分離法解析，則過程如下.

參變分離時需對分母進行討論，當x=1時，有f（1）=ln1-=0，所以f（1）≥0成立.

當x>1時，參變分離原不等式，可得a≤，求不等式在[1，+∞）上恒成立時a的取值范圍，構造函數利用導數來研究取值.

構造函數g（x）=，對應導函數為g′（x）=. 令h（x）=x--2lnx，則h′（x）=≥0，故函數h（x）在[1，+∞）上單調遞增，所以h（x）≥h（1）=0，則g′（x）≥0，可知g（x）在[1，+∞）上單調遞增，進而可知a的取值范圍應為a≤g（1），而當x=1時，g（1）的分子、分母均為0，此時必須使用洛必達法則才可解決問題，但會存在兩個問題：洛必達法則是高等數學知識，屬于超綱內容，部分省份閱卷可能得不到滿分;對于一般學生而言，洛必達法則難以理解，并不能靈活使用.

對于該種情形，開展解題探究需要關注兩點：一是關注該種題型的基本特征，二是關注問題的基本解法.

[?] 深入解讀

1. 方法解讀

上述問題屬于不等式恒成立的取值范圍問題，求參數的取值需要借助導數知識，必然離不開切線思想，即如果f（x）=0，則f（x）≥0在區間[x，+∞）上恒成立的必要條件為f′（x）≥0，顯然函數在x處應不減，通常實際問題所給的定義域的端點就為所需的零點. 解題時需要深刻理解切線法在零點處的單調遞增的思想，這是解題的精髓，也是解題的基本原理. 實際解題時可按照如下三步進行思路構建：

第一步，令f′（x）≥0，確定待求參數的一個基本范圍;

第二步，若證明參數不在該范圍內，則不滿足題意;

第三步，第一步所得的參數范圍是滿足題意的必要條件，故后續只需證明該范圍為滿足條件的充要條件即可.

2. 問題突破

按照上述解法分析，對于原問題可采用如下方法解答.

已知f（x）=lnx-，在x≥1上f（x）≥0恒成立，可知分母恒大于0，可對其通分，可得f（x）=，令h（x）=（x+1）lnx-a（x-1），則問題變為在x≥1上h（x）≥0恒成立，可得h（1）=0. 由切線思想構建思路，令h′（1）≥0，可得a≤2，后續進行解析說明即可.

當a≤2時，通過求導可證該函數在定義域上單調遞增，即h（x）≥h（0）=0恒成立.

而當a>2時，h′（x）=lnx+1+-a，h″（x）=≥0，因為h′（1）=2-a<0，h′（ea）=1+，所以在（1，ea）上必然存在零點x，故當x∈（1，x）時函數h（x）單調遞減，則有h（x）<h（1）=0，原命題不成立，即a>2不滿足條件.

3. 問題解惑

上述對一道不等式恒成立問題的解法進行了探究，對比兩種解法，顯然解題方法的選擇十分重要. 日常探究就需要關注問題的特征，解題初始準確定位問題，確定合適方法，避免陷入誤區，以及出現超綱內容. 尤其在使用參變分離法時，需要關注所構函數是否會出現特殊點使其分子、分母同時為0的情形，造成必須使用洛必達法則. 同時掌握切線法的規避技巧，破除法則限制.

以上述問題為例，解題初始需要定位特殊點（1，0），判斷函數f（x）經過點（1，0）. 而對于一般的復合函數，若函數涉及lnx，則需將x=1，x=e，x=代入其中;若涉及了ex，則需將x=0，x=1，x=-1代入其中，觀察函數是否經過特殊點. 原題中設定義域為[1，+∞），易知特殊點為x=1.

[?] 類題探究

參變分離法廣泛適用于不等式恒成立取值問題，參變分離后可將不等號的兩側分離為參數、代數式，只需求一側代數式的最值. 對于較為復雜的代數式，可以依托代數式構造函數，利用導函數來分析最值. 從導數階數來看，可將問題類型分為一階導數、多階導數，下面舉例探究.

類型一：一階求導——參變分離

例1：已知函數f（x）=x2+4x+2，g（x）=ex（2x+2），若x≥-2，f（x）≤kg（x），試求k的取值范圍.

解析：由題意可知x2+4x+2≤kex（2x+2），對于任意的x≥-2恒成立，采用分離參數法解析.

當x=-1時，若上述不等式恒成立，則k∈R;

當x>-1時，可將上式轉化為k≥，令h（x）=（x>-1），對應導函數為h′（x）=，分析可知h（x）在x=0處可取得最大值，故k≥h（0）=1;

當-2≤x≤-1時，將上式化為k≤，則h（x）在區間上單調遞增，說明h（x）在x=-2處取得最小值，故k≤h（-2）=e2.

綜上可知，k的取值范圍為[1，e2].

評析：上述在求解不等式恒成立的參數取值時，充分利用了參變分離的方法，并且通過一階求導就確定了所構函數最值，推導出參數的取值范圍. 而在參變分離解析過程中，需要關注函數的定義域，在定義域下進行單調性、取值討論.

類型二：二階求導——參變分離

例2：已知函數f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx（a∈R，e為自然對數的底數），對于任意的x∈

0，

，f（x）>0恒成立，試求a的最小值.

解析：代入函數解析式，參變分離，題目轉化為關于x∈

0，

時，a>2-恒成立.

令l（x）=2-（x∈

0，

），對應導函數為l′（x）=. 再令m（x）=2lnx+-2（x∈

0，

），對應導函數為m′（x）=<0，則函數m（x）在

0，

上單調遞減，則有m（x）>m

=2-2ln2>0. 故l′（x）>0，所以函數l（x）在區間

0，

上單調遞增，則有l（x）<l

=2-4ln2，故要確保不等式恒成立，只需確保a的取值范圍為[2-4ln2，+∞），即a的最小值為2-4ln2.

評析：上述同為參變分離法，但構造函數完成一階求導后依然難以確定函數的單調性，故需要進行二階求導，求導過程需要注意區分函數、定義域、取值等，這也是導數問題的難點所在.

[?] 總結反思

上述深入探究了參變分離法破解不等式恒成立問題的構建思路，并剖析了規避洛必達法則的技巧，同時結合參變分離探究一階求導和二階求導的過程. 參變分離法實質上是一種轉化策略，不等式恒成立破解的核心知識依然是導數，單調性分析、最值確定是問題突破的重要環節. 探究學習提出以下兩點建議.

建議一：理解參變分離的本質，參變分離是規避分類討論的方法技巧，是不等式恒等轉化的策略，將不等式分離為不等號兩側是不同的結構，一側為參數，另一側為代數式，為后續的函數構造分析打下基礎. 參變分離過程中隱含了數學的分離思想、化歸轉化思想，理解方法本質，感悟思想內涵是探究學習的關鍵，教學中應重點關注.

建議二：總結歸納參數分離，參變分離法的學習要關注兩點：一是確定變量與參數，二是參變分離適用的范圍. 前者是參變分離的基礎，后者則是方法應用探究的重點. 學習時需要注意是否可將變量與參數分離，分離后所構的解析式是否可求出最值. 若如上述引例中出現的情形，則需要提前討論規避. 教學中可引導學生對常見的恒成立問題進行條件轉化、內容探究，生成常見的最值情形.

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