關于導數“隱零點”問題的解讀與探究

段惠瑩

[摘? 要] 導數“隱零點”問題十分常見，探究學習需要掌握“隱零點”的含義與確定方法，以及問題突破的方法策略. 文章剖析導數“隱零點”，歸納解法，并結合實例加以探究，提出相應的建議.

[關鍵詞] 導數;隱零點;單調性;最值;不等式;范圍

[?] 問題綜述

導數是研究函數問題的重要工具，利用導數可以求解函數綜合題，而導數解決函數問題最終都要歸結于函數單調性的判斷，函數單調性與其零點密切相關，故導函數的零點是解題的核心. 實際問題中導函數的零點有兩種類型，從零點是否可精準求解分為“顯零點”和“隱零點”. 其中“隱零點”指的是能夠判斷其存在，但不能或難以確定其極值. 相對于一般零點問題，導數隱零點問題在解決時有一定的差異，下面具體探究其解題策略.

[?] 實例分析

問題：已知函數f（x）=x2-x-xlnx，試證明函數存在唯一的極大值點x，使得e-2<f（x）<.

分析：由函數與導數知識可知，可導函數f（x）存在極值的必要條件是f′（x）存在零點x，原函數對應的導函數為f′（x）=2x-2-lnx，故需要判斷其是否有零點. 解題的關鍵是證明x是唯一的極大值點，后續(xù)需化簡表達式f（x）.

解析：已知原函數f（x）=x2-x-xlnx，對應導函數為f′（x）=2x-2-lnx，觀察可知f′（1）=0. 令g（x）=2x-2-lnx，則g′（x）=，令g′（x）=0，則x=. 分析可知在

0，

上，g′（x）<0，函數g（x）單調遞減;在

，+∞

上，g′（x）>0，函數g（x）單調遞增;所以當x=時，g（x）取得最小值. 由于g

=-1+ln2<0，g（1）=0，g（e-2）>0，所以g（x）在

0，

上只有一個零點x，在

，+∞

上只有一個零點1.

g（x）的正負性就是f′（x）的正負性，可判斷f（x）的極值情形.

分析可知x=x是函數f（x）唯一的極大值點，并且2x-2-lnx=0，x∈

0，

. f（x）=-

x-

+，所以f（x）<成立;又因為f（e-1）=e-2，而e-1∈

0，

，f（x）為極大值，故f（x）>e-2.

綜上可知，e-2<f（x）<.

評析：上述求證x是函數的極大值點，使得e-2<f（x）<，而原函數的零點的不易求出故需要通過分析導函數的單調性，結合零點存在性定理來確定零點取值范圍，進而證明不等式. 總體來看，其經歷了求導函數、判斷導函數的正負性、確定原函數的最值表達式等過程.

[?] 策略總結

導數隱零點問題的解析過程同樣需要靈活運用導數的相關知識，其特殊之處在于需要關注其中的隱性零點，實際解析時把握特征、準確界定零點取值范圍即可，可采用如下策略逐步突破.

第一步，由零點存在性定理判斷導函數的零點是否存在，并構建零點方程f′（x）=0，結合函數單調性確定零點的取值范圍;

第二步，將零點作為分界點，推導導函數f′（x）的正負性，判斷函數f（x）的單調性，得出關于函數f（x）的最值表達式;

第三步，靈活變形零點方程，將其整體代入最值表達式中進行化簡證明.

同時對于導數隱零點問題，需要重點關注其中的三個過程，包括零點確定性過程、最值表達式的變形過程及整體代入過程，具體內容如下.

（1）隱性零點確認，確認隱性零點可直接利用零點存在性定理，也可由函數的圖像特征，以及題設條件來推導. 而隱性零點的范圍界定，主要由所求問題來決定，解析盡可能縮小其取值范圍.

（2）表達式的變形過程中，盡可能將復雜的表達式變形為常見的整式或分式，特別注意替換其中的指數或對數函數式，為后續(xù)的探究做鋪墊.

（3）整體代入過程基于的是數學的設而不求思想，對于其中的超越式，盡可能化為常見的代數式.

[?] 方法實踐

上述充分總結了導數隱零點問題的解題策略，并強調了解析過程需要重點關注的三點，該策略適用于多類問題中，下面結合實例進行實踐探究.

類型一：不等式證明中的“隱零點”

例1 已知函數f（x）=lnx-ax（a∈R），

（1）討論函數f（x）的單調性及極值;

（2）如果函數f（x）有兩個零點x和x，試證明-<2.

解析：（1）已知f（x）=lnx-ax，則其導函數為f′（x）=-a. 分析可知當a≤0時，f′（x）>0恒成立，則原函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增，無極值;當a>0時，f′（x）>0，0<x<，則原函數f（x）在

0，

上單調遞增，在

，+∞

上單調遞減. 所以函數f（x）的極大值為f

=-lna-1.

（2）可設0<x<x，則有l(wèi)n

x

-ax=0，

ln

x

-ax=0，可得lnx-lnx=a（x-x），即=，所以--2=，可設t=>1，則ln>0，2---2ln=2-t--2lnt. 設g（t）=2-t--2lnt，則g′（t）=<0，即函數g（t）在區(qū)間（1，+∞）上單調遞減，所以g（t）<g（1）=0，從而有<0，即-<2.

評析：上述第（2）問是關于導數零點的不等式證明問題，其中的x和x可視為是隱零點，設定兩者的相互關系，構建代數式條件是解析的關鍵，后續(xù)采用整體代入的方式來簡化問題式，并借助導數研究其取值范圍，整個思路充分貫徹設而不求思想，簡化了解題過程.

類型二：函數范圍問題中的“隱零點”

例2 已知函數f（x）=（logx）2+4logx+m，x∈

，4，m為常數.

（1）設函數f（x）存在大于1的零點，試求實數m的取值范圍;

（2）設函數f（x）存在兩個互異的零點α和β，試求m的取值范圍，并求出α·β的值.

解析：（1）可令logx=t，x∈

，4，則g（t）=t2+4t+m （t∈[-3，2]）. 該問設定f（x）存在大于1的零點，故方程t2+4t+m=0在t∈（0，2]上存在實數根. 由t2+4t+m=0可得m=-t2-4t（t∈（0，2]），所以m∈[-12，0），即m的取值范圍為[-12，0）.

（2）該問設定α和β是函數f（x）兩個互異的零點，則函數g（t）=t2+4t+m在[-3，2]上有兩個互異的零點t，t，且t=logα，t=logβ，所以Δ=16-4m>0，

g（-3）≥0，

g（2）≥0，可解得3≤m<4，所以m的取值范圍為[3，4）. 根據根與系數的關系可得t+t= -4，即logα+logβ=-4，所以log（α·β）= -4，可解得α·β=.

評析：上述是關于參數取值范圍問題，其中第（2）問設定了函數的兩個互異零點，結合函數定義域可將其范圍縮小，并構建相關的方程組，求出m的取值范圍.

[?] 反思教學

導數是研究函數問題的重要工具，同樣可用于隱零點問題中，上述所總結的三步策略及注意事項可用于多類型問題求解，是證明不等式、突破函數最值與范圍問題的強有力的手段，下面開展教學反思，提出幾點建議.

1. 理解隱零點定義，總結確定方法

“隱零點”本質上還是零點，是基于精準求解而設定的零點劃分，學習時需要關注其本質，把握“難以精確定位”和“準確求極值”對“隱零點”的定義，故“隱零點”的存在性是一定的. 另外需要關注“隱零點”的確定方法，上述總結了零點存在性定理、函數圖像、題設條件三種，理解方法原理，掌握方法技巧極為關鍵. 故教學中需要注重對“隱零點”兩大內容的剖析，一是“隱零點”的定義設定，二是“隱零點”的確定方法，教學中可對比“顯零點”，結合實例具體探究.

2. 歸納三步策略，強化解析思維

上述所歸納的“三步法”是求解導數“隱零點”的重要方法，構建了“零點判斷→單調性分析→代入轉化”的解析思路. 三步過程之間緊密相關，具有嚴密的邏輯順序，嚴格按照該方法求解可實現問題的高效作答. 而在實際教學中，除了需要指導學生掌握“三步法”的構建思路外，還要注重解題引導，培養(yǎng)學生的解析思維. 讓學生親歷探究過程，通過設問引導來完善學生的數學思維，從根本上提升學生的能力.

3. 掌握轉換方法，積累變形經驗

變形轉換是求解導數“隱零點”問題的重要環(huán)節(jié)，將直接確定問題走向，該環(huán)節(jié)需要使用一定的方法技巧. 常見的轉換方法有分離參數、變更主元、整體代換、分離函數等，對于涉及參數的不等式問題，可采用分離參數來簡化，然后基于代數式構造函數來研究性質，同時配合整體代換實現函數的簡潔化，而變更主元常用于導函數無法求出零點的情形. 教學中要指導學生掌握上述轉換技巧的內涵，然后結合實例具體講解，幫助學生積累簡化經驗，提升學生的運算能力.

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