注重例題教學設計 激發課堂生命活力

周錦春

[摘? 要] 眾所周知，數學例題教學發揮著承上啟下的作用：“承上”是幫助學生理解概念、公式、定理，從而認清問題的本質屬性;“啟下”是讓學生通過對例題的探究和思考而形成解決問題的“雙基”，從而培養和發展學生的數學思維.

[關鍵詞] 例題教學;承上啟下;數學思維

例題教學可謂數學教學的“重頭戲”，首先，其肩負著理解、消化新知的重任;其次，通過例題的運用將數學知識轉化為數學學習能力;最后通過反思、總結、歸納形成數學思維和數學方法. 那么，例題教學如此重要，在教學中應如何實施呢？筆者從例題的設計、教學及反思三方面出發，淺談幾點認識.

[?] 例題的設計

1. 例題的設計要切實體現新知

在概念的內涵和外延講解后，為讓學生初步理解新知并體驗其應用價值的最有效的手段即是運用例題教學. 然而例題教學中應如何設計例題呢？筆者認為，例題的設計只有做到恰當、精準，切實反映新授內容，才能真正地發揮其價值.

例1 有一個三層書架，第1層放有4本數學書，第2層放有3本語文書，第3層放有2本英語書. （每本書各不相同）

（1）若任取一本書，有多少種不同的取法？

（2）若每層各取一本書，有多少種不同的取法？

問題（1）可直接運用分類計數原理一步求解;問題（2）因每層都要選取書本且各不相同，因此需要進行分步計數. 通過簡單情境的對比，不僅讓學生輕松掌握兩個基本計數原理，而且通過親身體驗知曉了兩個計數原理的本質差異;另外，分類思想的應用，也有利于學生數學思想的培養.

2. 例題設計要分層實施

無論從尊重個體差異的角度出發，還是為調動學生積極性的角度來考慮，例題設計都應體現層次. 首先，課堂是全體學生的課堂，課堂內容的設計需要充分考慮學生的認知，照顧個體差異，借助于基礎題目讓學困生收獲學習的信心，利用拓展題目讓學優生可以“跳一跳”;其次，通過分層次的梯度練習有利于舊知的回顧和新知的構建，充分發揮例題承上啟下的作用.

例2 （1）已知銳角α的終邊經過點（3，4），求sinα，cosα，tanα.

（2）已知銳角α的終邊經過點（-3，-4），求sinα，cosα，tanα.

問題（1）的α是第一象限角，利用初中三角函數的定義即可求解，通過簡單的舊知回顧為下面引出新知做好了鋪墊. 將“經過點（3，4）”改為“經過點（-3，-4）”，打破了學生認為三角函數都是正值的局限，也充分認識到α也可以是其他象限的角，激發了學生對“任意角的三角函數”進行探究的熱情. 本題采用的是分層設計，讓學生利用已有認知解決問題后，自然地進入了下一個發展區的問題，這比傳統的“強灌”更有利于激發學生學習的興趣.

[?] 例題教學的實施過程

教材中例題設計的目的之一是為了讓學生進一步理解和掌握概念、定理、公式，因此大多數例題反映了數學知識的本質屬性. 同時，例題是專家精挑細選的，具有一定的典型性和示范性，蘊含著豐富的解題思路和解題技巧，因此合理利用例題有利于學生數學思維和數學思想的培養. 然而因地區差異和個體差異的存在，如果講解例題采用的是“照本宣科”的教學模式，那么其在很大程度上會限制例題發揮作用. 因此，若要充分發揮例題的作用，教師應該將例題的結構特點和本質屬性與學生的認知相結合，通過簡單的變式方法將題設計成為適合本班學生思維特點、有利于提高學生興趣的“范例”. 設計好“范例”后，教師要引導學生在“范例”的求解過程中學會審題、學會分析，充分調動已有認知促進思維發展.

1. 引導學生學會審題

審題是解決問題的前提，因此要提高學生的解題能力必須從審題開始培養. 首先，學會找關鍵詞，從而將已知和結論關聯起來;其次，學會挖掘隱含條件，尋找解題思路;最后，學會觀察，通過觀察題目特征和結構特點，結合解題的通性通法，認清題目的本質屬性，從而正確求解.

例3 判斷函數f（x）=的奇偶性.

雖然本題給出了函數解析式，然而直接觀察f（x）與f（-x）的關系很難判斷其奇偶性，此路不通，需要另辟蹊徑. 在解決函數問題時，首先應考慮定義域，因此可回歸原始思路，則9-x2>0，解得-3<x<3. 根據定義域可以將原解析式化簡，得f（x）==. 化簡后，根據f（x）與f（-x）的關系，也就不難求解了. 通過仔細審題和通法的應用，解決問題也就水到渠成了.

2. 引導學生自主探究

解題能力的高低與學生的思維水平有著直接的關系，因此，在例題教學中要重視學生思維能力的培養，可通過問題情境、自主探究、合作交流等方式來充分展現和發展思維過程. 大多數例題的設計是前后關聯的，為學生創設了思考的空間，那么教學中應留給學生足夠的時間去探究，這樣不僅可以培養學生自主學習的好習慣，而且因學生更加深入地思考，也有助于他們思維的發展.

例4 設x，y為實數，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是________.

師：請大家仔細審題，看看此題該如何求解. （教師留給學生足夠的時間去思考）

生1：根據待求的算式可將4x2+y2+xy=1進行轉化，即（2x+y）2=3xy+1. 本題若要求解需要將3xy進行改造，即3xy=·2x·y. 根據基本不等式，可得（2x+y）2≤

+1，解得-≤2x+y≤.

師：在求解過程中從待求的算式出發，運用基本不等式將“和與積”進行互化，展現了強大的構建能力和運算能力，是一個很不錯的解法. 同學們還有沒有其他的解法呢？

生2：把2x+y看為一個整體，即設2x+y=m，則y=m-2x，代入已知等式并化簡可得6x2-3mx+m2-1=0. 關于x的方程有實數解，則Δ=-15m2+24≥0，求得-≤m≤，即-≤2x+y≤.

師：很好，運用換元法和轉化與化歸思想，將題目轉化為求關于x的方程有實數解的問題. 那么這樣這個題目就真的解決了嗎？

生3：在解題后需要進一步檢驗，若要使等號成立，則2x=y=，2x+y取得最大值.

師：很好，對于能否取等號需要進一步驗證，這一步必不可少.

在本題的求解過程中，讓學生利用已有認知去分析，嘗試使用不同的方法進行解答，教師及時引導、鼓勵、總結并利用教學活動充分地展現了學生的思維過程，其有利于培養學生的發散思維，有利于提升學生解決問題的能力.

[?] 反思與總結

如果例題教學采用的是“就題論題”的方式，不重視知識的關聯、總結和歸納，那么知識點是凌亂的，不利于學生認知結構的構建，也會限制學生的知識遷移能力. 因此，例題教學需要引導學生經過反思和總結，從而發現問題的本質，提煉出解題思路，總結和歸納一般規律. 為了讓學生更好地進行總結和歸納，可以嘗試將例題進行一定的拓展和延伸，使學生通過進一步的剖析而提煉出通性通法，從而收獲觸類旁通的效果.

1. 重視變式拓展

變式拓展是數學教學中常用的一種教學手段，通過變式可以將抽象的、難度大的問題轉化為直觀的、易懂的問題，從而誘發學生的探究欲望;也可以通過變式拓展，讓學生找到問題的本質，發現隱含其中的內在聯系，從而提升學生的解題能力.

例5 （1）函數y=cos，求函數最大值、最小值及自變量x的集合.

（2）函數y=2-sin2x，求函數的最大值及自變量x的集合.

由于本班學生初學三角函數的圖像和性質，直接求解可能會使部分學生因難度大而束手無策，為讓學生可以順利求解，可以將題目轉化為“小坡度”的變式題，從而利用梯度變化消除學生的畏難心理. 因此，筆者設置了如下函數：①y=cosx;②y=cos;③y=sin

x+

;④y=2-sin2x;⑤y=3-cos2x. 從學生熟悉的函數的圖像和性質出發，讓思維通過“低起點，小坡度”上升，通過問題變化不斷地誘發學生的探究欲望. 利用變式拓展，使得學生對三角函數的圖像和性質進行了更加深入的學習，學生的解題能力獲得了明顯提升.

2. 重視反思與總結

例題講解后，不應急于求成而進行強化訓練，應引導學生及時地進行反思，領悟解決問題的過程和方法，總結解題的策略，通過對例題的反思而進行知識的內化和知識體系的構建.

總之，例題設計必須有一定的深度和廣度，其教學過程要具備一定的參與性和探究性. 只有這樣，才能發揮例題教學對提升學生學習能力和發展學生思維的作用. 同時，要重視反思、歸納、總結，實現“會一題、通一類”的目的，提高教學的有效性，使課堂更具生命活力.

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