高中數學中函數概念教學的遐思

田瑞華

[摘? 要] 高中數學教學中函數概念教學要思考兩個根本問題：如果說函數概念是最基本的概念，那么這種基本性體現在哪些方面？當數學教學面對著核心素養培育的任務，那么在核心素養的背景下，函數概念的教學應當有哪些新的理解與新的任務？從核心素養的角度來看，核心素養強調培養學生的必備品格以及關鍵能力，如果學生在理解了函數概念后，能夠運用動態與聯系的眼光去看待生活中的事物，那么也就意味著一種關鍵能力養成了. 核心素養是一個新的概念，有可能會引導今后很長一段時間內包括數學學科在內的高中教學的發展，因此教師有必要結合函數概念教學，進行一些前瞻性思考.

[關鍵詞] 高中數學;數學教學;函數概念

作為高中數學體系中最重要的概念之一，函數概念一直是筆者非常感興趣且高度重視的教學內容. 在很長一段時間內，函數概念教學往往圍繞著如何讓學生理解并掌握不同的函數，然后用之去解題，并根據學生的解題結果判斷函數概念教學是否有效. 經過多次的教學與優化，應當說這一思路越來越適合當前數學教學評價的需要. 與此同時筆者發現，這樣的教學思路也有一些不足，其中有兩個根本問題需要思考：如果說函數概念是最基本的概念，那么這種基本性體現在哪些方面？當數學教學面對著核心素養培育的任務，那么在核心素養的背景下，函數概念的教學應當有哪些新的理解與新的任務？

誠然，這兩個問題都是比較大的問題，回答這兩個問題需要系列的研究. 限于篇幅，這里筆者不想進行宏大敘事的闡述，更想在實踐的基礎上談談筆者的一些初步思考.

[?] 在核心素養培育的視角下再思考函數概念

對于第一個問題的回答，既可以將研究的視角投向歷史，又需要將研究的視角投向當下.

從歷史的角度來看，函數概念的形成本質是函數思想的形成. 函數思想的形成又來自于對動態和變量的描述，正是因為對這兩者的描述，才推進了函數思想的產生，并且隨其發展，函數及其思想方法逐漸在整個數學中占有越來越重要的地位. 在中學代數中，函數逐漸從方程圖解中分離開，并且函數解析式與函數圖像成為聯系中學代數與幾何的重要紐帶. 通過這一闡述可以發現，函數概念教學最為關鍵的就是要讓學生理解動態、理解變化，在動態變化中要能夠尋找到變量，然后發現變量之間的關系. 經歷這樣的過程，學生往往就能夠清晰地認識到函數思想.

得出這一認識是非常有意義的，因為讓學生在函數概念學習的基礎上，進一步認識了函數的本質、理解了函數思想. 盡管從時間的角度來看，讓學生在學習函數概念時體會函數思想需要花費更多的時間，但是只要學生認識到了函數思想，那么再教學所有類型的函數往往都能收到事半功倍之效.

從核心素養的角度來看，核心素養強調培養學生的必備品格以及關鍵能力，如果說學生在理解了函數概念后，能夠運用動態與聯系的眼光去看待生活中的事物，那么也就意味著一種關鍵能力養成了. 眾所周知，函數是描述客觀世界中變量之間的關系和規律的最為重要的數學模式，是研究其他數學領域的基本工具，有廣泛的實際應用. 正因為如此，函數及應用是貫穿高中數學課程的主線. 在核心素養的背景下，以核心素養培育作為教學的遠景目標，以教學函數概念及在教學中滲透函數思想作為載體，那就可以實現函數概念的教學過程與教學目標相吻合. 通過上面的分析可以發現，在高中函數概念的教學中，既思考歷史又思考當下，既思考教學過程又思考教學目標，那就可以讓教師更加立體地認識到函數概念的教學，同時也可以讓學生學習函數的過程變得更加豐滿.

[?] 基于核心素養培育的函數概念教學途徑的探究

在上述理解的基礎上，在核心素養的背景下，函數概念教學應當有新的設計思路以及教學實施的過程. 從教學設計思路的角度來看，函數概念教學的設計，既需要重視學生第一次形成的對函數概念的理解，又需要重視在第一次理解的基礎上給學生提供一些新的情境，以進一步豐富學生的認識;從教學實施的角度來看，在函數概念的課堂教學中，教師要合理使用變式教學的方法教學生，靠著各式各樣的實例，加深他們對映射的理解，以及透徹地認識函數概念. 下面是筆者的教學設計以及教學實施的流程：首先，為學生提供他們相對熟悉的素材，這些素材都包含著變化關系以及變量. 在上述分析的基礎上，教師應當認識到這一教學環節的主要任務是讓學生通過分析與綜合，發現變量的存在以及變量之間的關系. 這種關系應當盡量由學生自主發現，教師只需在學生分析與綜合的過程中遇到困難時進行提示或提供幫助.

其次，引導學生用數學語言描述變量之間的關系. 這里所說的數學語言主要是集合語言. 在上面所舉的例子中，不同變量組成的集合是不一樣的，讓學生在集合的視角下去看待變量以及探究變量之間的關系：看待變量時，可以幫助學生認識定義域與值域，而探究這一關系的過程，也就是尋找對應法則的過程. 通常情況下，定義函數所用的數學語言往往是這樣的：設A，B是非空數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f（x）和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數. 記作：y=f（x），x∈A. 而為了讓學生理解這一定義，教師可以借助于變式思想，讓學生分析以前學習過的一些簡單的函數，如正比例函數、反比例函數、一次函數等. 這是一個學以致用的過程，有助于學生迅速地理解函數的定義.

再次，引導學生回顧函數概念的學習過程. 回顧的過程中，重點在于讓學生認識到函數概念是如何建立起來的，這實際上是對變量之間關系的一次回顧. 只有當學生心中確認了函數是描述變量之間關系的一種數學模型，函數概念在學生的大腦里才不是一個單純的抽象的數學概念，而是一個能夠描述事物（變量）之間關系的數學概念.

通過上述的三個教學環節可以發現，學生理解函數概念的過程中，既有生活事例等作為思維的載體，又有對變量以及變化關系的理解. 在這個時候，筆者將函數發展史上的一段話轉述給學生：有相互聯系之二量，一量變而另一量隨之變，定而隨之定，則前量名曰變量而后量名曰函數. 這樣的一段文字對于學生而言有文理結合之效，學生閱讀起來興趣盎然，因而能夠進一步促進學生對函數概念深入理解.

[?] 基于核心素養對函數概念教學的前瞻性思考

在核心素養的視角下理解函數概念教學，固然意味著要通過函數這一重要概念去培養學生的關鍵能力. 函數是高中數學的重難點內容，也是培養高中學生數學抽象、邏輯推理、數學建模等核心素養的最佳素材之一. 雖然在初中已接觸過函數概念，但由于高中的函數概念的視角不同、函數符號較抽象……所以學生仍然難以理解. 也正因為如此，函數概念教學不能流于定義表面，而是要真正促進學生理解函數概念. 與此同時，教師也應當認識到，函數概念在高中數學教學演變的過程中，曾經有過多種變化，因此在歷史視角下理解函數概念也是非常必要的. 在我國的高中數學教材中，函數思想幾乎貫穿了整個高中數學學習過程，教好了函數概念，也就教好了整個高中數學，這是因為學生在函數概念以及相關知識的學習過程中所形成的能力，是可以遷移到其他知識的學習過程中的.

核心素養是一個新的概念，有可能會在今后很長一段時間內引導數學教學的發展，因此教師有必要結合函數概念教學進行前瞻性思考. 所謂前瞻性思考，就是對今后一段時間內函數概念教學所面臨的背景以及學習過程的判斷，從函數概念的建立到各種復雜函數的學習，變化的是概念定義及其表示形式，不變的是函數思想;而從數學學科核心素養培育的角度來看，最為關鍵的就是讓學生理解函數思想，讓學生形成以動態的、變化的、聯系的觀點去看待生活事物. 明確了這一目標，再設計函數概念的教學過程，重點是讓學生能夠經歷數學抽象、邏輯推理等過程，然后讓學生帶著建模的思路去建立函數模型，這樣既秉承于函數思想的滲透，同時又滿足了核心素養培育的需要.

綜上所述，在高中數學教學中，面對函數這樣一個最重要的概念，教師應當堅持從函數概念發展的歷史脈絡出發，從核心素養培育的需要出發，努力想方設法讓函數思想植根于學生的思維. 只有這樣才能促進學生深入理解函數概念，并以之帶動整個高中數學的高效教學.

3899500589279