綜合實踐理念指導(dǎo)下的“數(shù)學(xué)活動”設(shè)計

沈小亮

[摘 ?要] 核心素養(yǎng)背景下，教育評價由“知識核心”向“素養(yǎng)發(fā)展”轉(zhuǎn)變，而自身內(nèi)容和學(xué)習(xí)方式都具備特殊性的初中數(shù)學(xué)綜合與實踐活動，對提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也就具有獨特的意義. 文章以 “探究點所在曲線的形狀——拋物線”（人教版九年級上冊）數(shù)學(xué)活動為例，啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去思考問題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法深入體驗，從而提升學(xué)生的綜合素質(zhì).

[關(guān)鍵詞] 綜合實踐;數(shù)學(xué)活動

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“綜合與實踐”是以一類問題為載體、以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動. 在學(xué)習(xí)活動中，學(xué)生將綜合運用“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”等知識和方法，在綜合與實踐理念指導(dǎo)下解決問題[1]. 活動內(nèi)容設(shè)置的目的在于讓學(xué)生經(jīng)歷問題的解決過程，積累學(xué)生的活動經(jīng)驗，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，從而使學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到提升. 筆者對綜合與實踐內(nèi)容的教學(xué)實施做了思考，現(xiàn)以“探究點所在曲線的形狀——拋物線”（人教版九年級上冊）為例，與同行交流、探討.

活動再現(xiàn)

1. 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)是（0，2）. 在x軸上任取一點M，完成以下作圖步驟.

（1）連接AM，作線段AM的垂直平分線l，過點M作x軸的垂線l，記l與l的交點為P.

（2）在x軸上通過改變點M的位置，取多個不同的點M，重復(fù)（1）的操作得到相應(yīng)的點P，把這些點用平滑的曲線連接起來.

觀察畫出的曲線L，猜想它是我們學(xué)過的哪種曲線.

2. 在曲線L上任取一點P，完成以下步驟.

（1）連接PA，線段PA與PM有什么數(shù)量關(guān)系？為什么？

（2）假設(shè)點P的坐標(biāo)是（x，y），你能由PA與PM的關(guān)系得到x，y滿足的關(guān)系式嗎？

（3）由此你能確定曲線L是哪種曲線了嗎？為什么？這結(jié)論與你先前的猜想一樣嗎？

教學(xué)設(shè)計

1. 溫故知新，提出問題

教師：任意畫線段AB并用尺規(guī)作圖畫它的垂直平分線，線段垂直平分線的性質(zhì)是什么？

學(xué)生1：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等.

教師：若把剛才所畫的線段AB放在直角坐標(biāo)系中，其長度如何表示？

學(xué)生2：構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理計算.

教師：直角坐標(biāo)系中的線段長度一定都要用勾股定理計算嗎？

（全體學(xué)生若有所思）

學(xué)生3：如果線段AB是平行（或重合）于坐標(biāo)軸，直接用坐標(biāo)相減即可，就不需要用勾股定理計算那么麻煩了.

教師：很好，直角坐標(biāo)系中位置、坐標(biāo)、長度三者之間可以實現(xiàn)互相轉(zhuǎn)化.

教學(xué)分析：通過回憶所學(xué)知識，并設(shè)問引導(dǎo)學(xué)生說出直角坐標(biāo)系中線段長度的合理算法，促進學(xué)生對問題的理解與轉(zhuǎn)化，也為接下來的數(shù)學(xué)活動做好鋪墊.

2. 動手作圖，觀察猜想

學(xué)生自主作圖完成活動1，教師巡視指導(dǎo)并投影展示學(xué)生作圖結(jié)果，如圖3～5所示.

學(xué)生4：如圖3，猜想它是我們學(xué)過的拋物線.

學(xué)生5：學(xué)生4的點M都是整數(shù)點，太特別了，取非整數(shù)點也可以，如圖4，也是拋物線.

教師：還有不同的作圖結(jié)果嗎？

學(xué)生6：學(xué)生4和學(xué)生5的點M都是正數(shù)，曲線只有一半，應(yīng)該在x軸負(fù)半軸也取點，如圖5，這樣形狀就更完整，也更明顯了.

教師：猜想曲線L的形狀只要一些特殊點就能進行大膽猜想，但學(xué)生6理解了“在x軸上多次改變點M的位置”這句話，他的作法更具有一般性.

教學(xué)分析：有了“溫故知新，提出問題”的鋪墊，學(xué)生作圖的環(huán)節(jié)會進行得比較順利. 學(xué)生根據(jù)要求準(zhǔn)確作圖，積累了畫圖的操作經(jīng)驗，再經(jīng)歷觀察與猜想，培養(yǎng)了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng). 教師讓學(xué)生的不同作圖方法進行碰撞與補充，滲透了“有序”地選擇具有代表性的點的決策思維.

3. 實驗證明，理解模型

教師：同學(xué)們通過取點作圖，猜想它是拋物線. 但畢竟大家取的是有限個點，現(xiàn)在老師可以借助數(shù)學(xué)軟件進行取點，點越多曲線形狀越精準(zhǔn). 大家再次觀察，直觀感受曲線形狀.

（教師利用幾何畫板進行操作、驗證，學(xué)生驚呼：“好漂亮的拋物線！”）

教師：我們從形的角度猜想它是拋物線，那么如何證明呢？

（學(xué)生面露難色）

教師：教材中是如何描述拋物線的？

學(xué)生7：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像叫作拋物線y=ax2+bx+c.

教師（追問）：所以有想法了嗎？

學(xué)生8：設(shè)點P的坐標(biāo)是（x，y），由PA與PM的關(guān)系得到x，y滿足的關(guān)系式是二次函數(shù).

教師：是的，根據(jù)教材的描述，我們可以選擇這種方法，大家現(xiàn)在按這種方法開始證明.

（學(xué)生進行自主探索、合作交流，教師巡視指導(dǎo)，學(xué)生展示證明結(jié)果）

學(xué)生9：設(shè)點M是在x軸正半軸，則有PM=y，PA=，利用線段垂直平分線的性質(zhì)得PA=PM，所以y=，化簡得到關(guān)系式y(tǒng)=x+1，是二次函數(shù)，所以證明曲線L是拋物線.

（教師板書學(xué)生9的證明過程）

教師：太好了！我們用求解析式的方法算出了x，y滿足的關(guān)系式是二次函數(shù)，根據(jù)教材對拋物線的描述，證明了曲線是拋物線.

（學(xué)生報以熱烈的掌聲）

學(xué)生10：那如果點M不是在x軸正半軸呢？

教師：哇，學(xué)生10對這個問題進行了深度思考，點M不在x軸正半軸的話，可以證明嗎？結(jié)論一樣嗎？

（學(xué)生再次思考、計算，教師投影展示學(xué)生計算的結(jié)果）

教師：通過努力，我們從代數(shù)的角度證明了圖形問題，證明了自己的猜想是對的. 同學(xué)們有沒有發(fā)現(xiàn)教材中是從數(shù)的角度定義了拋物線，而我們通過作圖得到的也是拋物線，所以對于拋物線，你們能否從形的角度也下個定義呢？

（從學(xué)生的表情看出這個問題有難度，所以接下來教師引導(dǎo)啟發(fā)，學(xué)生嘗試描述，并互相補充、完善，教師板書拋物線的新定義）

教學(xué)分析：教師讓學(xué)生經(jīng)歷從“形”的角度觀察問題（直觀），再讓學(xué)生從“數(shù)”的角度進行深度思考（數(shù)形結(jié)合），在此過程中提升了學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng). 關(guān)于拋物線的新定義的探索，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新思維，同時也提升了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)，學(xué)生對拋物線從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識.

4. 體會模型，提升感悟

教師：同學(xué)們，我們通過探究，對拋物線又有了新的認(rèn)識，接下來通過以下幾道練習(xí)題來應(yīng)用這個模型.

（教師投影出示練習(xí)題，學(xué)生獨立思考，小組討論交流，教師巡視指導(dǎo)）

（1）如圖7，已知點A（0，-2），平面內(nèi)滿足到點A距離與到x軸距離相等的所有點組成的曲線L的解析式為（ ?）

（3）在（2）條件下，若點B（4，5），當(dāng)PA+PB的值最小時，點P的坐標(biāo)為__________.

（學(xué)生展示講解，教師點評）

教師：同學(xué)們，給大家留一個思考題. 數(shù)學(xué)活動中的點A（0，2）若改成點A是平面上（除x軸外）任意一點，點M是y軸上任意一點，重復(fù)相同的操作，不同的點P組成的曲線L依然是拋物線嗎？拋物線等同于二次函數(shù)嗎？

教學(xué)分析：本節(jié)課讓學(xué)生經(jīng)歷從作圖到運算、從形到數(shù)體會拋物線的新定義. 學(xué)生通過解決問題、應(yīng)用模型等環(huán)節(jié)，再次體會數(shù)學(xué)建模的一般步驟，積累解決問題的經(jīng)驗，提升直觀想象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng). 課堂結(jié)束了但思維沒有結(jié)束，教師留下思考題讓學(xué)生探究后了解二次函數(shù)和拋物線的關(guān)系，能夠提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，使其學(xué)會批判的數(shù)學(xué)思維.

教學(xué)感悟

1.重視綜合實踐理念，實現(xiàn)數(shù)學(xué)活動課堂活化

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：綜合與實踐內(nèi)容的實施是通過數(shù)學(xué)活動來實現(xiàn)的，重在實踐、重在綜合[1]. 教師在這個理念的指導(dǎo)下，設(shè)計有效的數(shù)學(xué)探究活動，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)生發(fā)展過程. 本節(jié)課通過作圖提高學(xué)生的畫圖能力，通過猜想曲線形狀提高學(xué)生的識圖能力，通過鞏固練習(xí)提高學(xué)生的用圖能力，這些活動也直接或間接提升了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng). 華羅庚曾言“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，本節(jié)課上，教師引導(dǎo)學(xué)生進行深度探究，從數(shù)的角度證明曲線L的形狀是拋物線，使學(xué)生重新認(rèn)識拋物線，建立模型. 在此過程中，免不了的演繹推理、運算、歸納與交流無疑提升了學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)，綜合實踐成了實現(xiàn)積累活動經(jīng)驗、展現(xiàn)思考過程、激發(fā)創(chuàng)造潛能等目標(biāo)的重要和有效的載體.

2.巧設(shè)活動問題屬性，促進綜合實踐走向常態(tài)

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計考慮了學(xué)生的主體性，讓學(xué)生經(jīng)歷“思考問題情境——操作猜想——實驗證明——歸納定義——反思應(yīng)用——總結(jié)提升”的過程，促進了學(xué)生的深度學(xué)習(xí). 而這種研究問題、解決問題的思路，并不是只在綜合與實踐課堂才能呈現(xiàn). 比如平方差公式的學(xué)習(xí)，又比如勾股定理逆定理的探究等，也可以沿用這一套學(xué)習(xí)的方法和思路. 課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“綜合與實踐”的教學(xué)活動應(yīng)當(dāng)保證每學(xué)期至少一次，可以在課堂上完成，也可以課內(nèi)外相結(jié)合[1]. 筆者提倡把這種教學(xué)形式體現(xiàn)在日常教學(xué)活動中. 目前教育評價已由“知識核心”向“素養(yǎng)發(fā)展”轉(zhuǎn)變，所以經(jīng)驗的積累、素養(yǎng)的提升、思維的培養(yǎng)等不能僅依賴于有限的幾次綜合與實踐課，而應(yīng)通過有效的活動問題設(shè)計讓綜合實踐理念融入常態(tài)教學(xué)，使綜合實踐活動真正成為提高教師自身素質(zhì)和學(xué)生素質(zhì)的互動過程.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

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