積累數學活動經驗，發展直觀想象

李俊

[摘 ?要] 數學起源于生活、來源于生活，文章探索在初中數學教學中通過折紙活動，引導學生在幾何知識探究中，從直觀觀察到表象表征，再到抽象內化培養其直觀想象能力，從而促進學生數學核心素養的提升.

[關鍵詞] 數學活動;折紙;直觀想象

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“數學活動經驗的積累是提高學生數學素養的重要標志. ”“數學活動經驗需要在‘做’的過程和‘思考’的過程中積淀，是在數學學習活動過程中逐步積累的. ”心理學家皮亞杰指出：“活動是認識的基礎，智慧從動作開始.”直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養. 史寧中教授說過：“數學的思路是‘看’出來的，不是‘證’出來的. 這種‘看’的依賴就是數學直觀. ”筆者認為，史教授所說的“看”，不僅僅是用眼睛看，動手操作也是一種觀察體驗，更有助于提升“看”的效果. 因此，利用數學活動課——動手探索操作，發展學生的直觀想象，是非常直接、有效的方式. 下面以“折紙中的數學思考”教學為例，嘗試在綜合實踐課程的活動中，培養學生的直觀想象能力，發展學生的數學核心素養.

備課思考

備課思考的內容是新人教版八年級下冊“平行四邊形”一章的數學活動1——折紙做60°，30°，15°的角. 根據以往的數學活動的經驗，本節課為了讓學生從比較容易動手操作的環節開始，并能夠通過操作而體會層層深入，揭示折疊的本質——軸對稱. 筆者根據本章的矩形的性質，結合已經學習過的軸對稱的性質和勾股定理的弦圖，設計了“折紙中的數學思考”一課，通過折紙讓學生建立對軸對稱變化的直觀認識，并通過軸對稱的性質解決一些與邊、角有關的幾何問題，培養學生的空間想象能力，以及發現問題、分析問題和解決問題的能力.

教學實踐

1. 問題初探，形成直觀印象，揭示折疊的本質

探究活動1：利用矩形紙片折出等腰三角形. 分小組折一折，要求：（1）用直尺、虛線畫出折痕. （2）用實線畫出你折出的等腰三角形. 由此得到兩種折疊方法：

方法1：折矩形紙片的一個角. （如圖1、圖2所示）

原理：有兩邊相等的三角形是等腰三角形.

追問1：你還能找到其他相等的邊、相等的角嗎？

追問2：圖1、圖2中有哪些是二倍角的關系？

方法2：對折矩形紙片. （如圖3所示）

原理：垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等.

追問3：當______=______時等腰三角形ABP是等邊三角形.

如何折疊可以得到等邊三角形？動手試一試.

設計意圖 ?讓學生初步感受折疊的本質是關于折痕的軸對稱變化，折痕所在的直線就是對稱軸，可以充當角平分線和垂直平分線的作用. 通過折疊得到全等的圖形，從而得到對應線段和對應角相等，對應線段相等就可以得到等腰三角形. “追問1”和“追問2”進一步讓學生在實踐操作的過程中，探尋幾何模型，形成幾何直觀. 尋找二倍角可以讓學生對等腰三角形頂角的外角等于底角的兩倍這個基本模型從折紙過程中抽離出來，建立幾何直觀印象. 這個活動既有動手操作，可以培養學生的折疊技能;又有一定的趣味性，還可以揭示折疊的本質和復習全等的知識. 提出“追問3”，為后面“探究活動2”的操作提供了思路，為問題再探做好了鋪墊.

2. 問題再探，從表征到抽象，抽離幾何模型

探究活動2：利用矩形紙片折特殊角.

操作1：在一張矩形紙片上，你怎么折出一個45°的角？

原理：平分矩形紙片的一個直角.

追問1：由45°的角，你還能折出哪些度數的角？

操作2：你能通過折紙的方法，折出一個30°的角嗎？怎樣折？

小組討論：說出你們的方法并與大家分享.

方法：（1）對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平;（2）再一次折疊紙片，使點B落在EF上交于點N，并使折痕經過點A，得到折痕AM，同時得到線段AN.（如圖4、圖5所示）

追問2：在圖5中，你能找出所有的30°的角嗎？60°的角呢？還有其他度數的角嗎？還能折出15°的角嗎？

設計意圖 ?在學生揭示了折疊的本質以后，繼續對特殊角的探究，既是對折疊本質的進一步鞏固，也是對折疊基本模型的直觀化或可視化. “操作1”的設計不但強化了學生對角平分線的認識——只要將角對折就可以平分角，而且直觀地證明了角是軸對稱圖形——它的對稱軸是角平分線所在的直線，也就是折痕所在的直線. “操作2”中結合了折一個等邊三角形和平分60°角的方法，并且在整個圖形中融合了等邊三角形的“三線合一”和直角三角形“30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”的模型.

上述活動利用矩形紙片的直角與直角邊的特點，結合對直角三角形的已有認知，構建有特殊邊、角的軸對稱圖形. 操作過程中紙片的變化具有很強的直觀感，可以培養學生的空間想象能力、推理能力，讓幾何模型生動化.

課堂練習：如圖6所示，將矩形ABCD沿EF折疊，使點B落在AD邊上的點G處，點C落在點H處.

（1）通過折疊，四邊形EBCF翻折到了四邊形______的位置，對稱軸是折痕______所在的直線，即四邊形______≌四邊形________. EB=________，BC=______=______，FC=______.∠BEF=∠______，∠EBC=∠______=______°，∠C=∠______=______°，∠EFC=∠______.

（2）若∠DGH=30°，連接BG，則∠AGB=______.

設計意圖 ?通過折疊題目的練習，讓學生從實踐操作（動作表征）形成的關于軸對稱圖形的幾何直觀（表象表征）深入理解并過渡到符號性表象（符號表征）. 如果說“問題（1）”直接引導學生發現了軸對稱圖形等邊、等角的關系，那么“問題（2）”則是引導學生對軸對稱圖形等角關系的理解和應用，需要抽象出全等角、角平分線等關系，以此培養學生將幾何模型從空間直觀中抽離出來的能力.？搖

3. 拓展提升，從抽象到內化，固化幾何模型

如圖7所示，ABCD是一張矩形紙片，AD=BC=1，AB=CD=5. 在矩形ABCD的邊AB上取一點M，在CD上取一點N，將紙片沿MN折疊，使MB與DN交于點K，得到△MNK.

（1）若∠1=70°，求∠MKN的度數.

（2）△MNK的面積能否小于 ？若能，求出此時∠1的度數;若不能，試說明理由.

（3）如何折疊能夠使△MNK的面積最大？請你試一試用矩形紙片折出可能出現的情況.

設計意圖 ?“問題（1）”：由折疊得到∠BMN=∠1，可以算出∠BMA的度數;由矩形對邊平行得到內錯角相等，即∠MKN=∠BMA，求得∠MKN的度數. “問題（2）”：由矩形對邊平行得到內錯角相等和折疊角相等，可以得到△MNK是一個等腰三角形;求△MNK的面積可以把KN看成底，則高恒為1. 若△MNK的底KN為1，則△MNK的面積剛好等于 ;但若KN=KM>1，則△MNK的面積一定大于 .“問題（2）”為“問題（3）”做鋪墊，只要折疊以后使等腰三角形MNK的底邊KN最大，這時面積就是最大. 通過折疊可以發現，若對折使點B與點D 重合，或者沿對角線AC 折疊時，等腰三角形MNK的面積最大.

對實驗操作類題目的設置，利用“探究活動1”和“探究活動2”形象化的直觀印象，并關聯舊知，引導學生發現矩形紙片對邊平行形成的內錯角相等和折疊后得到的兩個角相等，由此構造等腰三角形，然后抽象形成“平行線間的夾角平分得等腰三角形”的基本幾何模型解決實際問題，進一步讓操作形成的直觀想象內化.

4. 應用升華，玩轉數學弦圖，深化問題探究

探究活動3：利用正方形紙片折疊、觀察與發現.

如圖8所示，將正方形ABCD的四個角分別向內折疊，取DH=AE=BF=CG，將點A沿EH折疊到點M，點B沿FE折疊到點N，點C沿GF折疊到點I，點D沿HG折疊到點L，發現點M，N，I，L分別在線段EN，FI，GL，HM上.

實踐與運用：

（1）請判斷四邊形EFGH和四邊形MNIL的形狀;

（2）若DH=AE=BF=CG=b，AH=a，EH=c，你能說說a，b，c有何數量關系嗎？（提示：用面積相等的方法去思考）

設計意圖 ?“探究活動3”折疊的圖形為“弦圖”，是2002年北京第24屆國際數學家大會會徽圖案. 趙爽在為《周髀算經》寫序時提到：“勾股各自乘，并之，為弦實……”圖9折疊后的圖形就是“趙爽弦圖”（如圖10所示），利用“4個全等的直角三角形的面積和+中間最小的正方形的面積=折疊后的正方形的面積”得到4× ab+（a-b）2=c2，化簡后得到勾股定理;而展開圖形也能夠通過面積相等構建4× ab+c2=（a+b）2的等量關系，從而得到直角三角形直角邊與斜邊的關系. 勾股定理是人類早期發現并證明了的重要的數學定理之一，是用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數形結合的紐帶之一. 通過動手操作，讓弦圖“活”起來，引導學生通過操作弦圖，使其很容易發現圖中的邊、角的關系，通過可視化操作和推理進一步強化學生對弦圖的認識和對勾股定理的理解. 同時，通過引入數學史的相關內容，提高學生的數學文化修養.

課后反思

1. 因材施教，活動內容設置應貼近學生的思維特點

一方面要立足初中生的基本“材”質. 根據教育心理學家皮亞杰的認知發展階段理論，可知初中生的抽象思維水平還不高，處于從直覺經驗型思維向邏輯思維過渡的階段，其邏輯思維層次在很大程度上仍處于形式邏輯階段，辯證思維還處于萌芽和初始階段. 因此，初中生對概念的理解、判斷、推理在很大程度上離不開直觀形象的支撐. 折紙正好實現了幾何知識的“看得見”“摸得著”. 另一方面要選好活動課的“材”料. 紙張是生活中最容易獲得和接觸到的材料，也是可塑性最強的材料之一，充分利用紙張的特性展開活動課程，構建邊、角的關系及關于折痕（對稱軸）的對稱關系，使教學活動的組織實施變得更加容易和更加具有可操作性.

2. 螺旋上升，活動層次遵循“經驗—抽象—內化”的漸進過程

布魯納認為，教學過程首先應從直接經驗入手（動作表征），然后是經驗的映像性表象（表象表征），再過渡到經驗的符號性表象（符號表征）. 通過折紙活動課程的實施，讓學生學會從已有的生活認知（小學時期對折疊紙張活動的基本認知），實現對數、形的理解;從直觀到抽象——對數學中邊、角數量關系的認知構建，解決一些有關幾何圖形數量關系的基本問題，使學生在活動中認識并重塑自己的數學知識結構;再進行更高層次上的實驗與探索，體會數學的研究方法和構建的知識體系，以及抽象知識的實際應用，提升學生的認知能力，解決實際問題，實現從“直觀圖形—直觀想象—抽象思維”的轉變. 通過數學活動更加有助于學生對相關知識點的掌握和深刻理解、對數學本質的深刻認識和深度把握，從而提升學生對數學知識和技能的應用能力. （如圖11所示）

3. 駕馭課堂，讓思維從“手中”起航“飛翔”

數學活動課程既有動手實操又有數學理論的升華，能否充分駕馭課堂顯得十分重要. 一方面，課前準備要充分，根據教學要求設立明確的活動目標，擬定并嚴格執行課程進度，圍繞每一小項活動的教學目標對課程內容進行反復推敲;同時，推演課堂時間控制方案，做到課堂教學松緊有度、收放自如. 另一方面，數學活動課程需要在“做”的過程中“思考”，實現從“聽數學”到“做數學”的轉變，從用“眼”觀察到“手”“眼”并重的轉變，從“被動接受”到“主動探究”的轉變，學生的直觀想象由此會得到進一步拓展，加深對數學知識的理解，提升其分析和解決實際問題的能力.

結束語

列寧指出：“從生動直觀到抽象的思維，并從抽象的思維到實踐，這就是認識真理、認識客觀實在的辯證途徑. ”在數學教學中融入活動課程，讓學生通過眼、手、腦的感知、思考，培養和拓展他們的直觀想象能力.

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