基于最大糾纏｜χ〉態的量子信息集中

張玉春， 柏明強， 柳人菊， 吳 帆

（四川師范大學 數學科學學院，四川成都610066）

根據量子不可克隆定理［1］，一個未知的量子態不能被精確克隆，使得克隆態與初始態完全相同.那么考慮是否可以進行近似精確的克隆呢？基于這樣的問題，Buzek等［2］在1996年首次提出量子克隆的概念.量子克隆可以將一個未知態的信息以某些概率分布到更大的系統中.將量子克隆與隱形傳態相結合，Murao等［3］提出了量子遠程克隆.

作為量子遠程克隆的逆過程，2001年Murao等［4］首次提出了遠程量子信息集中的概念.他們以一個四粒子非束縛糾纏態作為量子信道，僅通過局域操作就可將分布于空間分離的三方的量子信息集中回單粒子態.從此，一些學者開始這方面的研究.2003年Yu等［5］利用四粒子GHZ態完成了優化1→2的通用遠程克隆之逆.此后，遠程量子信息集中被推廣到多粒子和高維系統中［6-7］.不同于以往主要關注最優通用遠程克隆之逆，Wang等［8］2013年提出了輔助自由相位協變克隆之逆的量子遠程信息集中.其主要思想是利用非對稱W態，將通過一個輔助自由相位協變克隆機而分布于空間分離的兩方的量子信息集中回單粒子態.同年Bai等［9］提出了優化非對稱經濟1→3相位協變克隆之逆.2014年，Peng等［10］提出了優化通用1→2的任意兩粒子量子信息集中協議.2016年，Wang等［11］提出了增加控制方的量子信息集中方案.

現有成果中，量子信道大多選用GHZ態［5，9，11-12］、W態［13-15］、Cluster態［16-17］等.到現在為止卻缺少用｜χ〉態作為量子信道來完成量子信息集中的研究.而Wu等［18］證明了｜χ〉態比GHZ態、W態及Cluster態具有更好的糾纏性質.Wang等［19］證明｜χ〉態很難被局部操作摧毀，具有很好的魯棒性.基于以上考慮，選擇｜χ〉態作為量子信道完成量子信息集中是有意義的.

1 量子遠程信息集中

1.1 1→3的相位協變量子遠程克隆假設通過優化非對稱經濟1→3相位協變量子克隆機［20］后，一個未知赤道態

的信息被加載到由粒子A、B和C構成的克隆態.

其中，粒子A、B、C分別屬于空間分離三方Alice、Bob和Charlie.并且態｜Ψ1〉ABC和｜Ψ2〉ABC被定義如下：

系數a、b和c滿a2+b2+c2＝1且a，b，c≥0.

1.2 以糾纏χ態為信道的遠程信息集中考慮四粒子糾纏｜χ〉態

作為量子信道，將態｜Ψ〉ABC的信息集中回到一個單粒子態｜τ〉D，即｜Ψ〉ABC→｜τ〉D.這里粒子1、2、3、D分別屬于Alice、Bob、Charlie和David（David是量子信息｜τ〉D的恢復方）.于是整個系統為

利用Bell基系統總態｜T〉可以表示為

其中

而?Ui是酉操作，具體關系及酉操作?Ui見表1.

表1 ｜ξi〉D（i＝1，2，…，16）與｜ξj〉D（j＝1，2，3，4）的關系Tab.1 Relationship between｜ξi〉D（i＝1，2，…，16）and｜ξj〉D（j＝1，2，3，4）

（5）式中

其中

（7）式中i＝1時s1＝1，t1＝-1，r1＝-1.則｜ρ1〉的第一項｜Φ1〉A1｜Φ-1〉B2｜Ψ-1〉C3也即｜Φ+〉A1｜Φ-〉B2｜Ψ-〉C3具體指Alice、Bob及Charlie對各自的粒子對執行Bell測量｜Φ+〉A1、｜Φ-〉B2、｜Ψ-〉C3.其他測量情況類似.在此之后，他們需要將自己的測量結果以經典通信的方式告訴David.根據（5）式，一旦三方實施聯合Bell測量，總系統就會坍縮成

信息恢復方David再對粒子D按表1執行適當的酉操作，｜ξi〉（i＝1，2，…，16）就可以轉化為｜ξi〉（i＝1，2，3，4）之一.因此，只需要針對

進行討論.

假設，Alice、Bob及Charlie聯合測量結果為｜Φ+〉A1｜Φ-〉B2｜Ψ-〉C3，那么系統的態將坍縮為

忽略全局因子并將其歸一化得到

為重構原始態，David引入一個處于基態｜0〉D′的輔助粒子D′，從而粒子D和D′構成的復合態為

接下來，用2種不同的測量方法來恢復初始量子態，即重新構建初態

1.2.1利用投影測量來進行量子信息集中 本小節主要利用投影測量來完成量子信息集中，并對系數a、b、c做2種情況的討論.

第一種情況：c≥0，a≥b，則（a+b+c）≥（a+b-c），（a+c-b）≥（b+c-a）.

為了恢復初始量子信，David選擇適當的酉變換U1如下：

然后，在基｛｜00〉、｜01〉、｜10〉、｜11〉｝DD′下對粒子DD′施行酉運算U1.這樣，粒子D和D′的態變成

David再對輔助粒子D′進行投影測量：如果測量結果為｜0〉D′，則原始態被恢復，成功的概率為

若測量結果為｜1〉D′，則信息集中失敗.

若聯合Bell測量后系統塌縮為

David選擇酉變換U2、U3、U4，用類似方法就能恢復原始態，U2、U3、U4如下

表2 坍縮態｜ξi〉D（i＝1，2，…，16）及執行的酉操作和UiTab.2 Collapse state｜ξi〉D（i＝1，2，…，16）and unitary operationand Ui

表2 坍縮態｜ξi〉D（i＝1，2，…，16）及執行的酉操作和UiTab.2 Collapse state｜ξi〉D（i＝1，2，…，16）and unitary operationand Ui

｜ξi〉D 需在｜ξi〉D上執行的?U+i投影測量階段U i｜ξi〉D，i≡1（mod 4） ?U+i U 1｜ξi〉D，i≡2（mod 4） ?U+i U2｜ξi〉D，i≡3（mod 4） ?U+i U3｜ξi〉D，i≡0（mod 4） ?U+i U 4

整個方案成功的概率為

第二種情況：c≥0，a＜b，則（a+b+c）＞（a+b-c），（a+c-b）＜（b+c-a），采用與上面一樣的方法就可以完成信息集中.其中相應的酉算子如下：

整個方案成功的概率為

1.2.2利用POVM測量來進行量子信息集中

POVM測量又稱為半正定算子值測量，常被用于概率性量子信息任務處理中.與投影測量相比，POVM測量要更為簡單，后者算子的矩陣階數是前者的一半，并且也不需要再滿足算子之間的正交性.基于此，考慮用POVM測量來完成信息集中任務.以｜ξ′1〉DD′為例，其余情況類似.David對粒子對（D，D′）執行受控非門.其中粒子D為控制粒子，而粒

子D′為目標粒子.從而｜ξ′1〉DD′變為

為了恢復初始量子信息，｜ξ′1〉DD′可以改寫為

David需要對輔助粒子D′執行某適當測量獲得態

和［（a+b-c）｜0〉-（a+b+c）｜1〉］D′.通常情況下，這二者不正交，因此不能確定性區分.但可以使用POVM測量概率性地對二者加以區分.POVM算子取下列形式，對于系數的討論，也分2種情況.

第一種情況：c≥0，a≥b，則（a+b+c）≥（a+b-c），（a+c-b）≥（b+c-a），則

其中

I為恒等算子，與a、b、c密切相關的參數η1應確保P3為半正定算子，參數η1必須滿足

3個算子可以寫成下列矩陣形式：執行POVM測量后，David能以如下概率獲得P1和P2，

利用POVM測量David一定能確定粒子D′的態.而以概率David可以得到P3的值，但不能確定粒子D′的態.一旦David確定了

或

就意味著知道了態

或

表3 坍縮態｜ξi〉D（i＝1，2，3，4）與執行POVM測量的相關參數Tab.3 Collapse state｜ξi〉D（i＝1，2，3，4）and parameters related to POVM measurement

從而整個方案成功的概率為

第二種情況：若c≥0，a＜b，則

采用與上面一樣的方法就可以完成信息集中，其相關參數的取值與表3一樣.整個方案成功的概率為

關于上述方案的物理實現問題，主要考慮以下4點：1）四粒子最大糾纏｜χ〉態的準備，文獻［21］給出了一個任意四粒子｜χ〉態的聯合遠程制備方案.2）Bell態測量，文獻［22-23］中關于原子和光量子的Bell測量已經能被物理實現.3）POVM測量，文獻［24］表明在一定輔助條件下POVM測量能被物理實現.4）投影測量，文獻［25］證明利用Bell基投影測量可以物理實現.基于這些已有的研究，此方案在物理上是可行的.

2 安全性分析

假設在方案中存在不誠實的參與者（不妨是Alice），她打算單獨安全地重構原始態而不需要其他參與者幫助.這種內部竊聽比外部竊聽更有力，因為竊聽者合法地知道部分信息.在量子信息集中過程中，Alice、Bob、Charlie三者需要對自己的粒子對執行Bell測量，并將測量結果以經典通信的方式發送給David.在經典信息的發送過程中，竊聽者可以竊聽消息而無法篡改它們，因此存在經典信息泄露的可能.但在本方案中，這種經典信息的泄露也無法使得Alice的竊聽成功.假設Alice竊取到經典信息并以的概率猜測到某次測量中Bob和Charlie的測量結果均為｜Φ+〉，此時Alice和David的聯合態形式為：

由于粒子D是糾纏信道中的粒子，這使得如果David不對自己擁有的粒子進行測量并向Alice公布測量結果，那么Alice將無法單獨地重構原始態，從而竊聽失敗.因此Alice采用第二種方法，把一個初態為｜0〉的輔助粒子E與信道中Bob或Charlie的粒子進行糾纏（不妨是Bob），然后測量輔助粒子來竊取信息.Alice執行CNOT操作將2粒子與E粒子進行糾纏，2粒子為控制粒子，E粒子為目標粒子，這樣糾纏后的信道為

系統總態｜T′〉＝｜Ψ〉ABC?｜χ′〉12E3D.當Alice、Bob、Charlie執行聯合測量｜Φ+〉A1｜Φ+〉B2｜Φ+〉C3后，粒子E和D塌縮為

（27）式中粒子D和E處于糾纏狀態，但不管David對自己的粒子做什么測量，Alice都無法通過粒子E獲得完整的信息，竊聽失敗.綜上所述，本方案是安全的.

3 結論

以四粒子最大糾纏｜χ〉態作為量子信道，在優化非對稱經濟1→3相位協變量子克隆的基礎上提出了一種量子信息集中方案.分別采用投影測量和POVM測量將信息集中回單粒子態，并對整個方案成功的概率做了討論.通過計算發現采用不同的測量方法成功的概率不一樣，方案成功的概率都依賴于克隆態的系數.最后對方案實驗的可行性和安全性進行了分析，發現方案在物理上是可以實現的并且是安全的.