基于最大糾纏｜χ〉態(tài)的量子信息集中

張玉春， 柏明強(qiáng)， 柳人菊， 吳 帆

（四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川成都610066）

根據(jù)量子不可克隆定理［1］，一個(gè)未知的量子態(tài)不能被精確克隆，使得克隆態(tài)與初始態(tài)完全相同.那么考慮是否可以進(jìn)行近似精確的克隆呢？基于這樣的問(wèn)題，Buzek等［2］在1996年首次提出量子克隆的概念.量子克隆可以將一個(gè)未知態(tài)的信息以某些概率分布到更大的系統(tǒng)中.將量子克隆與隱形傳態(tài)相結(jié)合，Murao等［3］提出了量子遠(yuǎn)程克隆.

作為量子遠(yuǎn)程克隆的逆過(guò)程，2001年Murao等［4］首次提出了遠(yuǎn)程量子信息集中的概念.他們以一個(gè)四粒子非束縛糾纏態(tài)作為量子信道，僅通過(guò)局域操作就可將分布于空間分離的三方的量子信息集中回單粒子態(tài).從此，一些學(xué)者開(kāi)始這方面的研究.2003年Yu等［5］利用四粒子GHZ態(tài)完成了優(yōu)化1→2的通用遠(yuǎn)程克隆之逆.此后，遠(yuǎn)程量子信息集中被推廣到多粒子和高維系統(tǒng)中［6-7］.不同于以往主要關(guān)注最優(yōu)通用遠(yuǎn)程克隆之逆，Wang等［8］2013年提出了輔助自由相位協(xié)變克隆之逆的量子遠(yuǎn)程信息集中.其主要思想是利用非對(duì)稱W態(tài)，將通過(guò)一個(gè)輔助自由相位協(xié)變克隆機(jī)而分布于空間分離的兩方的量子信息集中回單粒子態(tài).同年Bai等［9］提出了優(yōu)化非對(duì)稱經(jīng)濟(jì)1→3相位協(xié)變克隆之逆.2014年，Peng等［10］提出了優(yōu)化通用1→2的任意兩粒子量子信息集中協(xié)議.2016年，Wang等［11］提出了增加控制方的量子信息集中方案.

現(xiàn)有成果中，量子信道大多選用GHZ態(tài)［5，9，11-12］、W態(tài)［13-15］、Cluster態(tài)［16-17］等.到現(xiàn)在為止卻缺少用｜χ〉態(tài)作為量子信道來(lái)完成量子信息集中的研究.而Wu等［18］證明了｜χ〉態(tài)比GHZ態(tài)、W態(tài)及Cluster態(tài)具有更好的糾纏性質(zhì).Wang等［19］證明｜χ〉態(tài)很難被局部操作摧毀，具有很好的魯棒性.基于以上考慮，選擇｜χ〉態(tài)作為量子信道完成量子信息集中是有意義的.

1 量子遠(yuǎn)程信息集中

1.1 1→3的相位協(xié)變量子遠(yuǎn)程克隆假設(shè)通過(guò)優(yōu)化非對(duì)稱經(jīng)濟(jì)1→3相位協(xié)變量子克隆機(jī)［20］后，一個(gè)未知赤道態(tài)

的信息被加載到由粒子A、B和C構(gòu)成的克隆態(tài).

其中，粒子A、B、C分別屬于空間分離三方Alice、Bob和Charlie.并且態(tài)｜Ψ1〉A(chǔ)BC和｜Ψ2〉A(chǔ)BC被定義如下：

系數(shù)a、b和c滿a2+b2+c2＝1且a，b，c≥0.

1.2 以糾纏χ態(tài)為信道的遠(yuǎn)程信息集中考慮四粒子糾纏｜χ〉態(tài)

作為量子信道，將態(tài)｜Ψ〉A(chǔ)BC的信息集中回到一個(gè)單粒子態(tài)｜τ〉D，即｜Ψ〉A(chǔ)BC→｜τ〉D.這里粒子1、2、3、D分別屬于Alice、Bob、Charlie和David（David是量子信息｜τ〉D的恢復(fù)方）.于是整個(gè)系統(tǒng)為

利用Bell基系統(tǒng)總態(tài)｜T〉可以表示為

其中

而?Ui是酉操作，具體關(guān)系及酉操作?Ui見(jiàn)表1.

表1 ｜ξi〉D（i＝1，2，…，16）與｜ξj〉D（j＝1，2，3，4）的關(guān)系Tab.1 Relationship between｜ξi〉D（i＝1，2，…，16）and｜ξj〉D（j＝1，2，3，4）

（5）式中

其中

（7）式中i＝1時(shí)s1＝1，t1＝-1，r1＝-1.則｜ρ1〉的第一項(xiàng)｜Φ1〉A(chǔ)1｜Φ-1〉B2｜Ψ-1〉C3也即｜Φ+〉A(chǔ)1｜Φ-〉B2｜Ψ-〉C3具體指Alice、Bob及Charlie對(duì)各自的粒子對(duì)執(zhí)行Bell測(cè)量｜Φ+〉A(chǔ)1、｜Φ-〉B2、｜Ψ-〉C3.其他測(cè)量情況類似.在此之后，他們需要將自己的測(cè)量結(jié)果以經(jīng)典通信的方式告訴David.根據(jù)（5）式，一旦三方實(shí)施聯(lián)合Bell測(cè)量，總系統(tǒng)就會(huì)坍縮成

信息恢復(fù)方David再對(duì)粒子D按表1執(zhí)行適當(dāng)?shù)挠喜僮鳎蝘〉（i＝1，2，…，16）就可以轉(zhuǎn)化為｜ξi〉（i＝1，2，3，4）之一.因此，只需要針對(duì)

進(jìn)行討論.

假設(shè)，Alice、Bob及Charlie聯(lián)合測(cè)量結(jié)果為｜Φ+〉A(chǔ)1｜Φ-〉B2｜Ψ-〉C3，那么系統(tǒng)的態(tài)將坍縮為

忽略全局因子并將其歸一化得到

為重構(gòu)原始態(tài)，David引入一個(gè)處于基態(tài)｜0〉D′的輔助粒子D′，從而粒子D和D′構(gòu)成的復(fù)合態(tài)為

接下來(lái)，用2種不同的測(cè)量方法來(lái)恢復(fù)初始量子態(tài)，即重新構(gòu)建初態(tài)

1.2.1利用投影測(cè)量來(lái)進(jìn)行量子信息集中 本小節(jié)主要利用投影測(cè)量來(lái)完成量子信息集中，并對(duì)系數(shù)a、b、c做2種情況的討論.

第一種情況：c≥0，a≥b，則（a+b+c）≥（a+b-c），（a+c-b）≥（b+c-a）.

為了恢復(fù)初始量子信，David選擇適當(dāng)?shù)挠献儞QU1如下：

然后，在基｛｜00〉、｜01〉、｜10〉、｜11〉｝DD′下對(duì)粒子DD′施行酉運(yùn)算U1.這樣，粒子D和D′的態(tài)變成

David再對(duì)輔助粒子D′進(jìn)行投影測(cè)量：如果測(cè)量結(jié)果為｜0〉D′，則原始態(tài)被恢復(fù)，成功的概率為

若測(cè)量結(jié)果為｜1〉D′，則信息集中失敗.

若聯(lián)合Bell測(cè)量后系統(tǒng)塌縮為

David選擇酉變換U2、U3、U4，用類似方法就能恢復(fù)原始態(tài)，U2、U3、U4如下

表2 坍縮態(tài)｜ξi〉D（i＝1，2，…，16）及執(zhí)行的酉操作和UiTab.2 Collapse state｜ξi〉D（i＝1，2，…，16）and unitary operationand Ui

表2 坍縮態(tài)｜ξi〉D（i＝1，2，…，16）及執(zhí)行的酉操作和UiTab.2 Collapse state｜ξi〉D（i＝1，2，…，16）and unitary operationand Ui

｜ξi〉D 需在｜ξi〉D上執(zhí)行的?U+i投影測(cè)量階段U i｜ξi〉D，i≡1（mod 4） ?U+i U 1｜ξi〉D，i≡2（mod 4） ?U+i U2｜ξi〉D，i≡3（mod 4） ?U+i U3｜ξi〉D，i≡0（mod 4） ?U+i U 4

整個(gè)方案成功的概率為

第二種情況：c≥0，a＜b，則（a+b+c）＞（a+b-c），（a+c-b）＜（b+c-a），采用與上面一樣的方法就可以完成信息集中.其中相應(yīng)的酉算子如下：

整個(gè)方案成功的概率為

1.2.2利用POVM測(cè)量來(lái)進(jìn)行量子信息集中

POVM測(cè)量又稱為半正定算子值測(cè)量，常被用于概率性量子信息任務(wù)處理中.與投影測(cè)量相比，POVM測(cè)量要更為簡(jiǎn)單，后者算子的矩陣階數(shù)是前者的一半，并且也不需要再滿足算子之間的正交性.基于此，考慮用POVM測(cè)量來(lái)完成信息集中任務(wù).以｜ξ′1〉DD′為例，其余情況類似.David對(duì)粒子對(duì)（D，D′）執(zhí)行受控非門(mén).其中粒子D為控制粒子，而粒

子D′為目標(biāo)粒子.從而｜ξ′1〉DD′變?yōu)?/p>

為了恢復(fù)初始量子信息，｜ξ′1〉DD′可以改寫(xiě)為

David需要對(duì)輔助粒子D′執(zhí)行某適當(dāng)測(cè)量獲得態(tài)

和［（a+b-c）｜0〉-（a+b+c）｜1〉］D′.通常情況下，這二者不正交，因此不能確定性區(qū)分.但可以使用POVM測(cè)量概率性地對(duì)二者加以區(qū)分.POVM算子取下列形式，對(duì)于系數(shù)的討論，也分2種情況.

第一種情況：c≥0，a≥b，則（a+b+c）≥（a+b-c），（a+c-b）≥（b+c-a），則

其中

I為恒等算子，與a、b、c密切相關(guān)的參數(shù)η1應(yīng)確保P3為半正定算子，參數(shù)η1必須滿足

3個(gè)算子可以寫(xiě)成下列矩陣形式：執(zhí)行POVM測(cè)量后，David能以如下概率獲得P1和P2，

利用POVM測(cè)量David一定能確定粒子D′的態(tài).而以概率David可以得到P3的值，但不能確定粒子D′的態(tài).一旦David確定了

或

就意味著知道了態(tài)

或

表3 坍縮態(tài)｜ξi〉D（i＝1，2，3，4）與執(zhí)行POVM測(cè)量的相關(guān)參數(shù)Tab.3 Collapse state｜ξi〉D（i＝1，2，3，4）and parameters related to POVM measurement

從而整個(gè)方案成功的概率為

第二種情況：若c≥0，a＜b，則

采用與上面一樣的方法就可以完成信息集中，其相關(guān)參數(shù)的取值與表3一樣.整個(gè)方案成功的概率為

關(guān)于上述方案的物理實(shí)現(xiàn)問(wèn)題，主要考慮以下4點(diǎn)：1）四粒子最大糾纏｜χ〉態(tài)的準(zhǔn)備，文獻(xiàn)［21］給出了一個(gè)任意四粒子｜χ〉態(tài)的聯(lián)合遠(yuǎn)程制備方案.2）Bell態(tài)測(cè)量，文獻(xiàn)［22-23］中關(guān)于原子和光量子的Bell測(cè)量已經(jīng)能被物理實(shí)現(xiàn).3）POVM測(cè)量，文獻(xiàn)［24］表明在一定輔助條件下POVM測(cè)量能被物理實(shí)現(xiàn).4）投影測(cè)量，文獻(xiàn)［25］證明利用Bell基投影測(cè)量可以物理實(shí)現(xiàn).基于這些已有的研究，此方案在物理上是可行的.

2 安全性分析

假設(shè)在方案中存在不誠(chéng)實(shí)的參與者（不妨是Alice），她打算單獨(dú)安全地重構(gòu)原始態(tài)而不需要其他參與者幫助.這種內(nèi)部竊聽(tīng)比外部竊聽(tīng)更有力，因?yàn)楦`聽(tīng)者合法地知道部分信息.在量子信息集中過(guò)程中，Alice、Bob、Charlie三者需要對(duì)自己的粒子對(duì)執(zhí)行Bell測(cè)量，并將測(cè)量結(jié)果以經(jīng)典通信的方式發(fā)送給David.在經(jīng)典信息的發(fā)送過(guò)程中，竊聽(tīng)者可以竊聽(tīng)消息而無(wú)法篡改它們，因此存在經(jīng)典信息泄露的可能.但在本方案中，這種經(jīng)典信息的泄露也無(wú)法使得Alice的竊聽(tīng)成功.假設(shè)Alice竊取到經(jīng)典信息并以的概率猜測(cè)到某次測(cè)量中Bob和Charlie的測(cè)量結(jié)果均為｜Φ+〉，此時(shí)Alice和David的聯(lián)合態(tài)形式為：

由于粒子D是糾纏信道中的粒子，這使得如果David不對(duì)自己擁有的粒子進(jìn)行測(cè)量并向Alice公布測(cè)量結(jié)果，那么Alice將無(wú)法單獨(dú)地重構(gòu)原始態(tài)，從而竊聽(tīng)失敗.因此Alice采用第二種方法，把一個(gè)初態(tài)為｜0〉的輔助粒子E與信道中Bob或Charlie的粒子進(jìn)行糾纏（不妨是Bob），然后測(cè)量輔助粒子來(lái)竊取信息.Alice執(zhí)行CNOT操作將2粒子與E粒子進(jìn)行糾纏，2粒子為控制粒子，E粒子為目標(biāo)粒子，這樣糾纏后的信道為

系統(tǒng)總態(tài)｜T′〉＝｜Ψ〉A(chǔ)BC?｜χ′〉12E3D.當(dāng)Alice、Bob、Charlie執(zhí)行聯(lián)合測(cè)量｜Φ+〉A(chǔ)1｜Φ+〉B2｜Φ+〉C3后，粒子E和D塌縮為

（27）式中粒子D和E處于糾纏狀態(tài)，但不管David對(duì)自己的粒子做什么測(cè)量，Alice都無(wú)法通過(guò)粒子E獲得完整的信息，竊聽(tīng)失敗.綜上所述，本方案是安全的.

3 結(jié)論

以四粒子最大糾纏｜χ〉態(tài)作為量子信道，在優(yōu)化非對(duì)稱經(jīng)濟(jì)1→3相位協(xié)變量子克隆的基礎(chǔ)上提出了一種量子信息集中方案.分別采用投影測(cè)量和POVM測(cè)量將信息集中回單粒子態(tài)，并對(duì)整個(gè)方案成功的概率做了討論.通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)采用不同的測(cè)量方法成功的概率不一樣，方案成功的概率都依賴于克隆態(tài)的系數(shù).最后對(duì)方案實(shí)驗(yàn)的可行性和安全性進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)方案在物理上是可以實(shí)現(xiàn)的并且是安全的.