基于Lyapunov范數的線性斜積半流非一致指數二分性的離散Datko型定理

岳 田， 宋曉秋

（1.湖北汽車工業學院理學院，湖北十堰442002； 2.中國礦業大學 數學學院，江蘇徐州221116）

眾所周知，近年來關于微分系統定性理論的研究取得了突破性的進展，尤其是在指數漸近行為方面，大量公開問題的解決，使得相關理論不斷拓展和完善［1-12］.1930年，Perron［1］在有限維空間中利用“輸入-輸出”方法（又稱Perron方法或測試函數方法）建立了齊次微分方程˙x（t）＝A（t）x（t）的解的指數漸近行為（指數二分性）與對應的非齊次微分方程˙x（t）＝A（t）x（t）+f（t）之間的聯系.隨后，Massera等［2］在其基礎上，將其結果擴展到了無限維空間的情形，并首次研究了相應微分系統的非一致指數漸近行為.2010年，Barreira等［3］通過定義合適的范數（又稱Lyapunov范數），討論了演化過程非一致指數穩定性與容許性之間的聯系.此后，通過Lyapunov范數來獲取非一致指數漸近行為（指數穩定性、指數膨脹性、指數二分性、指數三分性）成為了一個重要的技術手段，如文獻［4］針對具有非一致指數增長的演化族，研究了其非一致指數二分性與函數空間對（Lp（X），Lq（X））的容許性之間的聯系，獲得了刻畫非一致指數二分性的Perron型結論；文獻［5］對于非一致指數增長的半流上的強連續上閉鏈給出了非一致指數二分性存在的容許性條件.

作為C0半群、演化算子、演化過程的推廣，由半流和上閉鏈構成的線性斜積（半）流，是動力系統漸近行為分析方面的一類重要工具.如文獻［6］借助穩定性理論中的Datko-Pazy型方法［7-9］，討論了斜積半流一致指數穩定的特征，建立了其一致指數穩定的若干充要條件；文獻［10-11］基于Lyapunov范數將Datko相關經典結論擴展到了線性斜積半流，分別給出了其非一致指數穩定與非一致指數二分的Datko型條件的連續型刻畫.

受文獻［11］的啟發，從已知的連續型特征出發，本文將基于Lyapunov范數建立Banach空間中刻畫線性斜積半流非一致指數二分的Datko型條件的離散形式，給出若干充要條件，所得結論推廣了指數穩定性與指數二分性理論中一些已有結果（如Datko、Pazy、Preda等）.

1 預備知識

設X是一個Banach空間，Θ是一個度量空間，將空間X上的范數及作用其上面的有界線性算子全體B（X）上的范數記作‖·‖.記I為單位算子，［a］表示不超過實數a的最大整數，M（R+，X）表示所有從R+到X的Lebesgue可測函數構成的集合.

定義1.1［5，10-11］稱映射σ：Θ×R+→Θ，（θ，的線性連續半流，如果滿足

（i）σ（θ，0）＝θ，?θ∈Θ；

（ii）σ（θ，t+s）＝σ（σ（θ，s），t），?t，s≥0，θ∈Θ；

定義1.2［5，10-11］設σ為Θ上的線性連續半流，稱算子值函數Φ：Θ×R+→B（X），（θ，t）Φ（θ，t）為具有（非）一致指數增長的強連續上閉鏈，如果滿足

（i）Φ（θ，0）＝I，?θ∈Θ；

（ii）對每個θ∈Θ及x∈X，Φ（θ，·）x連續；

（iii）Φ（θ，t+s）＝Φ（σ（θ，t），s）Φ（θ，t），?t，s≥0，θ∈Θ；

（iv）?ω∈R及M：Θ→R+使得對?t≥0，θ∈Θ有‖Φ（θ，t）‖≤M（θ）eωt.

注1.1［5，10-11］若，則稱Φ具有一致指數增長性.

稱ε＝X×Θ上的動力系統π＝（Φ，σ）為線性斜積半流［5，10-11］，其中

設π＝（Φ，σ）為一具有（非）一致指數增長的線性斜積半流，記易知為定義在X上的一個范數（即Lyapunov范數，詳見文獻［5，10-11］），且滿足

注1.2［5，10-11］對?θ∈Θ，x∈X，t≥0，有

對每個p∈［1，∞］，記

為了同文獻［11］保持連貫，本文將作相同假定：X1（θ）是閉的，且存在一個閉子空間X2（θ）使得X＝X1（θ）⊕X2（θ）.P1（θ）、P2（θ）為兩個投影族，并滿足Pi（θ）（X）＝Xi（θ），i＝1，2.

定義1.3［5，11］稱線性斜積半流π＝（Φ，σ）為非一致指數二分的，如果存在常數N1，N2，v＞0，使得

注1.3在定義1.3中，若P2（θ）＝0，則稱線性斜積半流π＝（Φ，σ）為非一致指數穩定的［10］；若P1（θ）＝0，則稱線性斜積半流π＝（Φ，σ）是非一致指數膨脹的.

引理1.1［11］如果對所有的θ∈Θ及t≥0有

則線性斜積半流π＝（Φ，σ）是非一致指數二分的，當且僅當存在常數p，K，m＞0使得

采用類似于文獻［12］中定理3.1的證明方法，可得引理1.2.

引理1.2如果對所有的θ∈Θ及t≥0有

則線性斜積半流π＝（Φ，σ）是非一致指數二分的，當且僅當存在常數p，K＞0使得

注1.4若將引理1.1與引理1.2中的條件

去掉，則后面相應的關系式僅為線性斜積半流π是非一致指數二分的充分條件，如文獻［11］中的定理

3.1.

2 主要結論

定理2.1如果對所有的θ∈Θ及t≥0有

則線性斜積半流π＝（Φ，σ）是非一致指數二分的，當且僅當存在常數p，K′＞0使得

證明必要性 若線性斜積半流π＝（Φ，σ）是非一致指數二分的，則利用定義1.3可得，對?θ∈Θ，?x∈X1（θ）有

從而

另一方面，借助定義1.3以及

的事實，可得對于?θ∈Θ，?n∈N*，?x∈X2（θ）以及k∈｛0，1，…，n｝，有

進而，

故有

根據（1）與（2）式，取

可得結論成立，其中N1、N2、v詳見定義1.3.

充分性 設θ∈Θ，x∈X1（θ），由于

故有

設θ∈Θ，x∈X2（θ）.記

則由條件（ii）有

進而

另一方面，

故對?t≥0有

根據（3）-（5）式，取K＝e2ωK′，m＝1／K′，可得引理1.1中的條件（i）-（iii）成立，故線性斜積半流π＝（Φ，σ）是非一致指數二分的.

定理2.2如果對所有的θ∈Θ及t≥0有

則線性斜積半流π＝（Φ，σ）是非一致指數二分的，當且僅當存在常數p，K′＞0使得

證明必要性 顯然.類似定理2.2的討論可得關系式（i），基于

可得關系式（ii）成立.

充分性 設θ∈Θ，x∈X1（θ），則由條件（i）有

從而類似于定理2.1中的討論，可得（3）式成立.

設θ∈Θ，x∈X2（θ）＼｛0｝，t≥0.記m＝［t］，則

進一步地，

這意味著

故借助引理1.2可得線性斜積半流π＝（Φ，σ）是非一致指數二分的.

致謝湖北汽車工業學院學生工作研究重點項目（2020XGYJ06）和湖北汽車工業學院黨的十九屆四中全會精神研究闡釋專項課題（No.8）對本文給予了資助，謹致謝意.