RN中一類帶臨界指數(shù)項(xiàng)的p-Kirchhoff型問(wèn)題的山路解

柳 鳩

（黔南民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 復(fù)雜系統(tǒng)與計(jì)算智能重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，貴州 都勻558000）

考慮如下p-Kirchhoff型問(wèn)題

其中

為D1，p（RN）嵌入Lp*（RN）的臨界指數(shù).空間

的標(biāo)準(zhǔn)范數(shù)為

空間Ls（RN）的標(biāo)準(zhǔn)范數(shù)為為非零非負(fù)函數(shù).

文獻(xiàn)［1］研究了問(wèn)題（1）.當(dāng)λ＝0時(shí)，利用分析技巧獲得了無(wú)窮多個(gè)正解的存在性；當(dāng)λ＞0時(shí)，利用變分方法獲得了正解的存在性.特別地，在1＜p＜N＜2p，λ＞0的假設(shè)下：（i）當(dāng)a＝0時(shí)，獲得了問(wèn)題（1）的一個(gè)正局部極小解和一個(gè)正山路解；（ii）當(dāng)a＞0時(shí)，只證得了一個(gè)正局部極小解.究其原因，在情形（ii）時(shí)，沒(méi)有證得局部（PS）c條件成立.一個(gè)值得研究的問(wèn)題是：如何證得局部（PS）c條件成立使得問(wèn)題（1）具有山路解？

當(dāng)p＝2時(shí)，文獻(xiàn)［2］獲得了問(wèn)題（1）正解的存在性與多重性；文獻(xiàn)［3-4］研究了帶超線性項(xiàng)的臨界Kirchhoff型問(wèn)題正解的存在性與多重性.關(guān)于更多的Kirchhoff型問(wèn)題和p-Kirchhoff型問(wèn)題，可參閱文獻(xiàn)［5-11］.

問(wèn)題（1）對(duì)應(yīng)的能量泛函為

其中u+＝max｛u，0｝.顯然，Iλ∈C1（D1，p（RN），R）且對(duì)任意的u，v∈D1，p（RN）有

眾所周知，問(wèn)題（1）的解與能量泛函Iλ在空間D1，p（RN）上的臨界點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的.

記S為的最佳Sobolev常數(shù)，即

當(dāng)a＝1，b＝0，λ＝0時(shí)，問(wèn)題（1）退化到如下經(jīng)典的擬線性橢圓方程

由文獻(xiàn)［12］知

是問(wèn)題（3）的正解且

本文的主要結(jié)論如下.

定理1假設(shè)a，b，λ＞0，1＜p＜N＜2p，則存在?λ＞0使得對(duì)任意的λ∈（0，?λ）問(wèn)題（1）有一個(gè)山路解.

注1本文的結(jié)果補(bǔ)充了文獻(xiàn)［1］中定理1.4（1）的結(jié)論.

為了證明定理1，給出一些基本引理.定義

有如下結(jié)果.

引理1假設(shè)a，b＞0，1＜p＜N＜2p，則方程H（r）＝0有唯一的正解r0且H（r）≤0的解集為｛r：r≥r0｝.

證明對(duì)任意的r＞0，有

因?yàn)?＜p＜N＜2p，所以p*＞2p.定義

則H（r）在［0，rmax］上嚴(yán)格遞增，在［rmax，+∞）上嚴(yán)格遞減.結(jié)合知，存在唯一的r0＞rmax使得H（r0）＝0.顯然，不等式H（r）≤0的解集為｛r：r≥r0｝.

引理2假設(shè)a，b＞0，1＜p＜N＜2p，則對(duì)任意的泛函Iλ在D1，p（RN）上滿足局部（PS）c條件，其中

r0由引理1中定義.

證明假設(shè)｛un｝?D1，p（RN）為泛函Iλ的（PS）c序列，即當(dāng)n→∞時(shí)，有

結(jié)合（2）式，由H?lder不等式知，對(duì)充分大的n，有

這表明｛un｝在D1，p（RN）中有界.從而存在u∈D1，p（RN）使得在子列的意義下，有

類似于文獻(xiàn)［13］中命題2.4的證明，有

令wn＝un-u，根據(jù)Brézis-Lieb引理［14］可得

根據(jù)（6）-（11）式，推得

對(duì)比（12）和（14）式得

即

一方面，根據(jù)（13）、（15）和（16）式得

另一方面，根據(jù)（2）、（14）式和H?lder不等式得

其中最后一個(gè)不等式使用了N＜2p和Young不等式.從而，由（17）和（18）式得出矛盾.

引理3假設(shè)a，b＞0，1＜p＜N＜2p，則存在一個(gè)λ**＞0使得對(duì)任意的0＜λ＜λ**有

其中U由（4）式定義，Λ、D由引理2中定義.

證明對(duì)任意的t≥0，定義

根據(jù)（5）式有

進(jìn)一步，取λ**∈（0，λ*］使得對(duì)任意的λ∈（0，λ**）都有

故對(duì)任意的λ∈（0，λ**）有

因此，對(duì)任意的λ∈（0，λ**）有

定理1的證明類似于文獻(xiàn)［1］中命題3.1和命題3.4的證明知，存在λ*＞0，使得對(duì)任意的λ∈（0，λ*），Iλ在D1，p（RN）中滿足山路幾何結(jié)構(gòu)［15-20］.令?λ＝min｛λ**，λ*｝，當(dāng)λ∈（0，?λ）時(shí)，由山路定理知問(wèn)題（1）有一個(gè)非零解uλ.設(shè)

則

致謝黔南民族師范學(xué)院項(xiàng)目（QNSY2018BS014和QNYSKYTD2018012）對(duì)本文給予資助，謹(jǐn)致謝意.