RN中一類帶臨界指數項的p-Kirchhoff型問題的山路解

柳 鳩

（黔南民族師范學院數學與統計學院 復雜系統與計算智能重點實驗室，貴州 都勻558000）

考慮如下p-Kirchhoff型問題

其中

為D1，p（RN）嵌入Lp*（RN）的臨界指數.空間

的標準范數為

空間Ls（RN）的標準范數為為非零非負函數.

文獻［1］研究了問題（1）.當λ＝0時，利用分析技巧獲得了無窮多個正解的存在性；當λ＞0時，利用變分方法獲得了正解的存在性.特別地，在1＜p＜N＜2p，λ＞0的假設下：（i）當a＝0時，獲得了問題（1）的一個正局部極小解和一個正山路解；（ii）當a＞0時，只證得了一個正局部極小解.究其原因，在情形（ii）時，沒有證得局部（PS）c條件成立.一個值得研究的問題是：如何證得局部（PS）c條件成立使得問題（1）具有山路解？

當p＝2時，文獻［2］獲得了問題（1）正解的存在性與多重性；文獻［3-4］研究了帶超線性項的臨界Kirchhoff型問題正解的存在性與多重性.關于更多的Kirchhoff型問題和p-Kirchhoff型問題，可參閱文獻［5-11］.

問題（1）對應的能量泛函為

其中u+＝max｛u，0｝.顯然，Iλ∈C1（D1，p（RN），R）且對任意的u，v∈D1，p（RN）有

眾所周知，問題（1）的解與能量泛函Iλ在空間D1，p（RN）上的臨界點是一一對應的.

記S為的最佳Sobolev常數，即

當a＝1，b＝0，λ＝0時，問題（1）退化到如下經典的擬線性橢圓方程

由文獻［12］知

是問題（3）的正解且

本文的主要結論如下.

定理1假設a，b，λ＞0，1＜p＜N＜2p，則存在?λ＞0使得對任意的λ∈（0，?λ）問題（1）有一個山路解.

注1本文的結果補充了文獻［1］中定理1.4（1）的結論.

為了證明定理1，給出一些基本引理.定義

有如下結果.

引理1假設a，b＞0，1＜p＜N＜2p，則方程H（r）＝0有唯一的正解r0且H（r）≤0的解集為｛r：r≥r0｝.

證明對任意的r＞0，有

因為1＜p＜N＜2p，所以p*＞2p.定義

則H（r）在［0，rmax］上嚴格遞增，在［rmax，+∞）上嚴格遞減.結合知，存在唯一的r0＞rmax使得H（r0）＝0.顯然，不等式H（r）≤0的解集為｛r：r≥r0｝.

引理2假設a，b＞0，1＜p＜N＜2p，則對任意的泛函Iλ在D1，p（RN）上滿足局部（PS）c條件，其中

r0由引理1中定義.

證明假設｛un｝?D1，p（RN）為泛函Iλ的（PS）c序列，即當n→∞時，有

結合（2）式，由H?lder不等式知，對充分大的n，有

這表明｛un｝在D1，p（RN）中有界.從而存在u∈D1，p（RN）使得在子列的意義下，有

類似于文獻［13］中命題2.4的證明，有

令wn＝un-u，根據Brézis-Lieb引理［14］可得

根據（6）-（11）式，推得

對比（12）和（14）式得

即

一方面，根據（13）、（15）和（16）式得

另一方面，根據（2）、（14）式和H?lder不等式得

其中最后一個不等式使用了N＜2p和Young不等式.從而，由（17）和（18）式得出矛盾.

引理3假設a，b＞0，1＜p＜N＜2p，則存在一個λ**＞0使得對任意的0＜λ＜λ**有

其中U由（4）式定義，Λ、D由引理2中定義.

證明對任意的t≥0，定義

根據（5）式有

進一步，取λ**∈（0，λ*］使得對任意的λ∈（0，λ**）都有

故對任意的λ∈（0，λ**）有

因此，對任意的λ∈（0，λ**）有

定理1的證明類似于文獻［1］中命題3.1和命題3.4的證明知，存在λ*＞0，使得對任意的λ∈（0，λ*），Iλ在D1，p（RN）中滿足山路幾何結構［15-20］.令?λ＝min｛λ**，λ*｝，當λ∈（0，?λ）時，由山路定理知問題（1）有一個非零解uλ.設

則

致謝黔南民族師范學院項目（QNSY2018BS014和QNYSKYTD2018012）對本文給予資助，謹致謝意.