一類具雙阻尼項的非線性波動方程的周期Cauchy問題

2021-03-15 04:37:34宋瑞麗

四川師范大學學報(自然科學版) 2021年2期

宋瑞麗，蘇曉

（1.鄭州經貿學院基礎學科部，河南鄭州451191； 2.河南工業大學理學院，河南鄭州450001）

研究下列四階具雙阻尼項非線性波動方程的周期Cauchy問題小振幅解的存在性及衰減估計，其中，x∈R，ξ、η是已知的初始函數，u（x，t）是未知函數且滿足u（x+2π，t）＝u（x，t），下標t和x分別表示關于t和x求偏導，μ＞0為常數，非線性函數f∈Ck（R）滿足｜f（l）（u）｜≤｜u｜α-l且0≤l≤k≤α，α＞1.

文獻［1］探討了孤立水波，這推進了人們對描述流體、等離子體、彈性體中波動現象的非線性偏微分方程的研究.文獻［2］首次提出了如下2種基本形式的Boussinesq（Bq）方程：

文獻［3-4］研究了多維IMBq方程

的Cauchy問題解的整體存在性和唯一性，并給出該方程解不存在的充分條件以及小振幅解的整體存在性和唯一性.文獻［5］研究了具有阻尼項的IMBq方程

的Cauchy問題解的整體存在性和解的爆破，其結果與文獻［3］相似，但沒有體現阻尼項對解存在性和解性質的影響.文獻［6-7］利用Besov空間改進了文獻［5］中的一些結果.文獻［8］研究了方程（4）的Cauchy問題在小初值下解的整體存在性和解的衰減性并體現了阻尼項對解的影響.文獻［9］對方程

的Cauchy問題做了進一步研究.大多數學者研究的是這類方程的Cauchy問題或初邊值問題，對其周期問題的研究結果還相對較少.本文同時考慮2種阻尼項，研究在小初值下周期Cauchy問題（1）和（2）解的整體存在性、唯一性和衰減性.

約定使用如下記號：Lebesgue空間Lp＝Lp（Rn），且賦予范數‖·‖L p.周期函數的Sobolve空間

周期函數的齊次Sobolve空間及其范數

1 線性方程的衰減性

下面討論線性Cauchy問題

解的衰減性質.利用周期函數性質、Fourier變換和Duhamel原理，可得問題（4）和（5）的解可表示為

其中

其中s

引理1.1設ξ，η∈H，s≥0，則對所有的t＞0，有下列估計式成立：

其中

證明1）‖G（t）η‖˙H s的估計.由Parseval等式可知

下面對L（n，t）進行估計.先假定0＜μ≤2，令

得

L（n，t）可寫為

根據不等式

易得

根據不等式

和

可得

因為n0和1之間的大小關系會直接影響L（n，t）在｜n｜＞1時的取值，進而影響L（n，t）的估計，所以首先假定n0≤1，此時

從而

對于n0＞1，此時

由（7）、（9）和（12）式可得

從而，當0＜μ≤2時，有

對于μ＞2，易知

必為正，易得

由（7）和（13）式可得

從而，當μ＞2時，有

綜合0＜μ≤2和μ＞2兩種情況，可得

其中

2）‖G（t）η‖H s的估計.由Parseval等式和（14）式可知

其中

下面對K（n，t）進行估計.對于0μ≤2，有

根據（8）式，易得（8）、（10）和（11）式可得

根據

同樣需要考慮n0和1之間的大小關系.當n0≤1時，K（n，t）＝K1（n，t），由（15）和（16）式可得

當n0＞1時，有

由（15）-（17）式可得

所以，當0＜μ≤2時有

對于μ＞2，有

因此，有

由（15）和（18）式，可推出

綜合0＜μ≤2和μ＞2兩種情況，得

由（19）和（20）式可推出

所以

類似（14）式的估計，有

由Minkowaki不等式，得

由Minkowaki不等式得

綜上，引理1.1成立.

下面對ut進行估計.由（6）式可得

引理1.2 設ξ，η∈Hs，s≥0，則對所有的t＞0，有下列估計式成立：

證明1）‖?tG（t）η‖˙H s的估計.記

由Parseval等式可知

下面先對P（n，t）進行估計.首先，假定0＜μ≤2，P（n，t）可寫為

根據（8）式易得

根據（10）和（11）式可推出

首先，假定n0≤1，此時

由（21）和（22）式可得

對于n0＞1，此時

由（21）-（23）式可得

所以，當0＜μ≤2時有

其次，對于μ＞2，易知此時＞

由（21）和（24）式可得當μ2時，有

綜合0＜μ≤2和μ＞2兩種情況，可得

2）‖?tG（t）η‖H s的估計.由Parseval等式和（25）式可知

由Parseval等式可知

根據（8）式，易得

類似（12）式的推導，可得

當n0≤1時，Q（n，t）＝Q1（n，t），由（26）和（27）式可得

當n0＞1時，有

由（26）和（27）式可得

所以，當0＜μ≤2時，成立

對于μ＞2，有

因此，有

由（26）和（28）式可推出

綜上0＜μ≤2和μ＞2兩種情況，可得

類似（25）式的推導，可得

由Minkowaki不等式得

引理1.2證明完畢.

引理1.3假設函數f∈C1（k），u∈H1且滿足

則有

證明一方面，有綜上

命題1.4假設ξ，η∈Hs，s≥0，則線性問題（4）和（5）存在唯一解

u∈C（［0，T］；Hs）∩C1（［0，T］；Hs），且有衰減估計：

2 局部解的存在性和唯一性

下面利用壓縮映射原理和積分估計式，討論周期Cauchy問題（1）和（2）局部解的存在性及唯一性.

定理2.1假設f∈C1（R），則存在正常數δ，使得對于滿足

進一步，如果

那么T0＝∞.

證明根據Duhamel原理，問題（1）和（2）可寫作如下的積分方程

定義函數空間

其中

容易驗證X是一個Banach空間.定義映射N如下：

在（31）式中令s＝1注意到M1≥1并利用引理1.3，可推出

當σ和ρ充分小時，有

在（32）式中令s＝1注意到M2≥1并利用引理1.3，可推出

當σ和ρ充分小時，有

由（33）和（34）式可以得到因此，N把X映到X.

下面證明N是嚴格壓縮的.設?u，v∈X，已知

類似（35）式，可得

由（35）和（36）式可得

因此，對于充分小的ρ，N在X上是映上的且嚴格壓縮的.根據壓縮映像原理，N（u）在X上存在唯一的不動點u（x，t）.因此，u（x，t）是問題（1）和（2）的解，且

至于解的唯一性，可用一般的論證方法，在此忽略不證.

下面證明解的存在區間［0，T］是可以延拓的.以u（·，T1）和ut（·，T1）作為初值，由壓縮映像原理可得問題（1）和（2）在［0，T2］（T2＞T1）上的一個解.繼續使用壓縮映像原理，可得一個關于時間的遞增序列使得問題（1）和（2）在［0，Tk］（k＝1，2，…）上有一個解.事實上，在每個區間［Tk，Tk+1］（k＝1，2，…）上的解可看作由壓縮映像得到的不動點，.于是出現2種情況：

如果T0＝+∞，那么問題（1）和（2）的解就是整體解.如果T0＜+∞，那么

否則，假設‖u‖H1+‖ut‖H1有有限上界M，那么就可以以u（·，t0）和ut（·，t0）為初值，運用壓縮映像原理得到局部解.由（33）和（34）式可知，總可以選取依賴M但不依賴t0的T*∈（0，T0），使得問題（1）和（2）在X（T*）上有唯一解.通過有限次的迭代運用壓縮映像原理可得這個解是［0，T0+ε］（ε＞0）上的解.因此，（37）式成立.定理證畢.