一類細胞分裂群體平衡方程的對稱群及精確解

林府標， 張千宏

（貴州財經大學 數統學院，貴州貴陽550025）

群體平衡模型廣泛用于微粒過程及系統等眾多領域［1-5］.如生物化學、農業科學、醫藥科學等領域中微生物、細菌、細胞的出生、生長、死亡、傳輸、破損等過程.細胞的分裂導致新的子細胞出生和死亡的微生物群體平衡方程（積分-偏微分方程）［1，3-5］可寫成

其中，x表示細胞質量，t表示時間.進一步，f（x，t）表示微生物種群密度，假設密度函數f（x，t）足夠光滑且任意階偏導數均連續，G（x，t）表示細胞的生長率，v（x，t）表示t時刻細胞分裂的平均數量，Γ（x，t）表示細胞的出生率，p（x，y）表示原質量是x的細胞分裂成質量是y的子細胞的概率，概率函數滿足正則性條件：

考慮細胞的生長率、分裂平均數量及出生率皆為常數，對研究微生物種群細胞分裂過程是有價值和意義的.若選取動力學參變量函數

其中g、ν、κ均為正常數，則在約束限制條件（2）下群體平衡方程（1）可簡化成

尋找群體平衡方程的精確解及解析解技術比較困難，實體工程科學應用領域常采用數值實驗方案［1-4］進行研究，如對一般簡單積分-偏微分方程（1）對應的實體模型，探尋精確解都是比較棘手的問題.雖然經典李群分析方法［6-10］是計算常微分方程和純偏微分方程的對稱群的有效方法之一，但不能用于計算積分-偏微分方程（1）和（3）的對稱群.近年來，改進的李群分析方法［11-12］已被用于研究群體平衡方程的對稱群、約化-積分常微分方程及精確解［13-16］.運用改進了的李群分析方法探究積分-偏微分方程（3）的對稱群，障礙就是積分-偏微分方程（3）對應的決定方程的求解問題.因決定方程仍是積分-偏微分方程及積分類型的下限是變量，這些棘手問題阻礙了通解的探尋和方法的研究與創新.

本文計算積分-偏微分方程（3）的細胞質量分布的矩、對稱群、群不變解、約化積分-常微分方程、顯式精確解及分析解的動力學行為性質及特征.

1 細胞質量分布的矩

源于統計學中矩的概念和方法常用于研究群體平衡模型中的粒子、微粒或細胞尺寸、質量分布的均值及方差［1-4］.若f＝f（x，t）是方程（3）的任一解，則對質量足夠大的細胞種群密度分布函數值必然為零［1-4］，特別地種群密度f（x，t）更應滿足性質細胞種群密度分布的j階矩定義為

其中零階矩M0（t）表示任意時刻單位體積內細胞總的平均數量，一階矩M1（t）表示任意時刻細胞分裂總的質量，j階矩Mj（t）（j≥2）代表的實體含義可參見文獻［1-4］.運用性矩的定義、分部積分法及交換二重積分的積分次序可得矩恒等式

因此，采用這些矩恒等關系式，一方面對方程（3）兩邊關于變量x從0到∞同時積分.另外，先在方程（3）兩邊皆乘以x，然后關于變量x從0到∞同時積分，得到完全封閉的矩方程組滿足的柯西問題

若任意t時刻，微生物種群分裂系統中沒有細胞，即可假設種群細胞密度f（0，t）＝0.在此條件下，常微分方程組（4）給出的零階矩M0（t）和一階矩M1（t）分別為

若f（0，t）≠0，可類似地求解矩方程組（4），為了行文簡潔省略求解過程.若種群細胞在分裂或破損過程中總保持質量守恒，則恒有即細胞的總質量密度函數M1（t）是時間t的不變量.

2 方程（3）的對稱群

鑒于經典李群分析方法［6-10］直接不能用于計算積分-偏微分方程（3）的對稱群.而改進了的李群分析方法［11-12］計算積分-偏微分方程（3）的對稱群，最大困難是寫出積分-偏微分方程（3）的決定方程且求解決定方程.因決定方程仍是積分-偏微分方程，通解的探尋是很棘手的問題，如何求解取決于原積分-偏微分方程（3）自身的結構特征［13-16］.基于這些障礙和羈絆對積分-偏微分方程（3）兩邊同時關于變量x求導得

因方程（6）是純偏微分方程，經典李群分析方法可直接運用.于是假設偏微分方程（6）接受的無窮小李對稱算子為

其中X（2）是X的二階延拓算子，系數函數ξx、ηxx、ηxt的定義分別為

其中Dx和Dt分別是關于x和t的全微分算子.通過計算系數函數ξx、ηxt、ηxx的表達式為

依據經典李群分析框架及算法，得偏微分方程（6）的決定方程為

其中左下角標符號｜（6）表示決定方程（7）對偏微分方程（6）的任一解均恒成立.將系數函數ξx、ηxx、ηxt的表達式分別代入決定方程（7）得到

方程（6）可改寫成

將f xt的表達式代入上述決定方程，把決定方程寫成關于f tt、f xx、f t、f x的多項式.再令多項式的各項系數為零，得到系數函數ξ、τ、η滿足的超決定方程組為

運用方程ηxf＝0和ηff＝0，函數η（x，t，f）可假設為η（x，t，f）＝h（t）f+p（x，t），其中h（t）、p（x，t）是任意待確定的未知函數.將η（x，t，f）的表達式代入上述超決定方程組的最后一個方程得到

采用方程ξf＝0，將函數ξ（x，t，f）按照泰勒級數展開成，其中ai（t）（i＝0，1，…）是任意待決定的可微函數.因此，將ξ（x，t，f）的表達式代入方程（8）得到

由此方程可推出

從而ai（t）＝0（i＝0，1，2，…），即ξ（x，t，f）＝0.最后采用τf＝0，τx＝0，將η（x，t，f）的表達式代入超決定方程組，可求得決定方程（7）的通解為

ξ＝0， τ＝c1， η＝c2f+σ（x，t），

其中c1、c2為任意常數，σ（x，t）是偏微分方程（6）的任一解.因此，偏微分方程（6）的對稱群的全體生成元構成一個無窮維李代數，它包含一個2維的子李代數L2＝span｛X1，X2｝，并且有一組基無窮維的子李代數L＝span｛X｝，其無

以及一個∞σ窮小李對稱算子為

無窮小李對稱算子Xσ對應的李群為

其中a為群參數.積分-偏微分方程（3）不接受李群Ta.事實上，采用積分-偏微分方程（3），將李群Ta的表達式代入積分-偏微分方程

因σ＝σ（x，t）是偏微分方程（6）的任一解，不是積分-偏微分方程（3）的解，對任意群參數a恒等式

表明李群Ta不是將積分-偏微分方程（3）的任一解映射變換成同一積分-偏微分方程的解.

無窮小李對稱算子X1和X2對應的李群分別為

其中τ0和b分別是李群Tτ0和Tb的群參數.積分-偏微分方程（6）接受李群Tb.事實上，采用積分-偏微分方程（3）將李群Tb的表達式代入積分-偏微分方程

對任意群參數b恒等式

表明李群Tb將積分-偏微分方程（3）的任一解映射變換成同一積分-偏微分方程的解.同理可證積分-偏微分方程（3）接受李群Tτ0.因此，基于無窮小李對稱算子（9）被積分-偏微分方程（3）接受的事實呈現下列定理1和2.

定理1偏微分方程（6）接受的無窮小李對稱算子，積分-偏微分方程（3）不全部接受.

定理2積分-偏微分方程（3）的對稱群的部分生成元構成一個2維的子李代數L2＝span｛X1，X2｝，并且有一組基（9）.

針對定理1激發的思考，這里給出一個具有啟發性的常微分方程例證性的例子.設y＝y（x），對方程y′＝x-1兩邊同時關于x求導得y″＝1.于是易驗證方程y″＝1接受平移算子但方程y′＝x-1卻不接受.

3 方程（3）的群不變解、精確解及解的動力學行為

3.1 方程（3）的群不變解利用子李代數L2的一維最優化子李代數span｛X2｝，span｛X1+αX2｝，α∈R，計算積分-偏微分方程（3）的群不變解、約化積分-常微分方程及顯式精確解.

情形span｛X1+αX2｝.李對稱算子X1+αX2的群不變量為J1＝x，J2＝exp（-αt）f，于是方程（3）的群不變解的表達式可假設為

函數φ（x）滿足約化的積分-常微分方程

一維子李代數span｛X2｝對應的群不變量沒有找到，故相應方程（3）的群不變解和約化方程皆沒有找到.

3.2 方程（3）的顯式精確解利用平移變換群Tτ0的平移作用，方程（3）的精確解可寫成采用觀察試湊函數方法［13-16］研究約化積分-常微分方程（10），可找到許多精確解，再結合相應群不變解的表達式可獲得方程（3）的精確解.事實上，假設積分-常微分方程（10）的精確解的表達式可寫成

其中常數γ＞0，di（i＝1，…，n）為待決定的未知常數.將表達式（11）代入積分-常微分方程（10），通過計算整理成關于xj（j＝0，1，…）的多項式，分別令xj（j＝0，1，…）的各項系數為零，得到關于未知參數di（i＝1，…，n）、α、ν、κ、γ、g的方程組.利用吳消元法［17］結合數學軟件Reduce［18］計算解得di（i＝1，…，n）、α、ν、κ、γ、g.采用積分-常微分方程（10）對應的群不變解的表達式以及平移變換李群Tτ0的平移作用，得到積分-偏微分方程（3）的精確解為

當取n＝1，…，7時，積分-偏微分方程（3）的精確解（12）的計算結果列于表1.當n取其余值的情況可根據微生物種群細胞分裂實體模型的需要類似計算.表1中解的動力學行為分析僅考慮n＝1的情形，其它的解可類似分析.

表1 積分-偏微分方程（3）的顯式精確解Tab.1 Explicit exact solutions of the integro-partial differential equation（3）

3.3 方程（3）解的動力學行為選取n＝1時，精確解（12）的表達式為精確解（13）滿足動力學的相關性質.首先當x→∞時，f（x，t）→0，這表明對質量足夠大的細胞，細胞分裂或破損進化分布函數值必然為零.另外f（x，t）→0，當ν＜1且t→∞時，這表明精確解是漸進穩定的.而f（x，t）→∞，當ν＞1且t→∞時，這表明精確解是不穩定的.若取ν＝1，精確解（13）是平凡的.精確解（13）對應的邊值條件和柯西問題的初值條件分別為

精確解（13）在矩形區域［0，L］×［0，T］上對應的邊值條件和柯西問題的初值條件分別為

通過計算得精確解（13）對應的零階矩M0（t）和一階矩M1（t）分別為

3.4 動力學參數與種群密度分布實際微生物化學工程科學系統中，任意時刻細胞分裂的平均數量v（x，t）的最小值為2，如微生物種群一個細胞分裂成兩個，此時恒有v（x，t）＝2.又因v（x，t）用的是平均值，故v（x，t）的值可不要求一定為正整數.在多重細胞分裂過程中，v（x，t）的取值常依賴實驗數據而決定.增長率G（x，t）代表質量是x的細胞的變化率表示每單位時間內細胞的質量及沿著x軸方向細胞的傳輸速度.對任意給定的t＝t0時刻，將種群密度分布函數（13）看作是關于細胞的質量x、分裂平均數量ν、增長率g及出生率κ的四元函數

可分別選取坐標平面（x，t），（x，ν），（x，g），（x，κ）研究函數值H的變化特征與性質，為生物化學中細胞分裂過程選取合適的真實動力學參數值ν、κ、g提供參考.

選取坐標平面（x，t）和動力學參數ν＝2，κ＝0.02，g＝1，τ0＝0和ν＝4，κ＝0.1，g＝1.5，τ0＝0，細胞分裂進化動力學行為分布函數（14）在矩形區域［0，150］×［0，4］和［0，20］×［0，4］上的空間圖像分別見圖1的（a）和（b）.選取坐標平面（x，ν）及動力學參數τ0＝0，t＝1，κ＝0.2，g＝1.2，細胞分裂進化動力學行為分布函數（14）在矩形區域［0，8］×［2，8］上的空間圖像見圖2的（c）.選取坐標平面（x，g）及動力學參數τ0＝0，t＝1，κ＝1.2，ν＝2，細胞分裂進化動力學行為分布函數（14）在矩形區域［0，8］×［0.1，8］上的空間圖像見圖2的（d）.分布函數（14）在其余坐標平面上的情形可類似討論，為了行文簡潔，省略了相關動力學行為分布函數在空間的圖像性質及特征分析.

＝圖1 圖（a）和（b）分別是ν2，4時細胞分裂進化行為分布函數（13）的空間圖像Fig.1 The figures（a）and（b）are spatial images of evolution behaviour of cells fission distribution function（13）withν＝2，4 respectively

＝圖2 圖（c）和（d）分別是平面（x，ν），（x，g）上t1時細胞分裂進化行為函數（14）的空間圖像Fig.2 The figures（c）and（d）are spatial images of evolution behaviour of cells fission distribution function（14）with t＝1 on（x，ν），（x，g）plane respectively

4 結束語

經典李群分析方法［6-10］不能直接計算積分-偏微分方程（3）的對稱群.本文獲得了積分-偏微分方程（3）的對稱群、約化積分-常微分方程、群不變解及顯式精確解.分析了部分精確解的動力學行為性質和特征.如何直接利用改進了的李群分析方法［11-12］計算積分-偏微分方程（3）的對稱群，值得在今后的工作研究中嘗試和探索.

致謝貴州省教育廳創新群體項目（黔教合KY字［2021］015）、貴州省教育廳青年科技人才成長項目（黔教合KY字［2017］150）、2018年度貴州財經大學校級科研基金（2018XYB04）和貴州財經大學創新探索及學術新苗項目（黔科合平臺人才［2017］5736-020）對本文給予了資助，謹致謝意.