一類隨機微分變分不等式

山述強， 王中寶

（1.西南民族大學數學學院，四川成都610041； 2.西南交通大學數學學院，四川成都611756）

假設K是Rn的閉凸子集，f：R×Rm×Rn→Rm和g：R×Rm×Rn→Rn是兩向量值函數.有限維空間中的變分不等式可以表述為：對幾乎所有的t∈［0，T］，找（xt，μt）滿足

其中Sol（K，g（t，xt，·））表示動態變分不等式的解集.

對于問題（1），2008年Pang等［1］考慮它的Carathédory弱解，即找（xt，μt），其中xt是一絕對連續函數，μt是一可積函數，使得微分方程對幾乎所有的t成立；2009年Pang等［2］找到了在初值條件下微分變分不等式的解.在此基礎上，Han等［3］研究了一類非芝諾微分擬變分不等式；Stewart［4］研究了微分變分不等式解的唯一性；Pang等［5］介紹了強正則微分變分系統；Wang等［6］研究了有限維的微分向量變分不等式；Li等［7］研究了有限維空間中的微分混合變分不等式；Friesz等［8］研究了托運人動態寡頭壟斷網絡競爭，并將其轉化為微分變分不等式；Li等［9］研究了有限維空間中的微分逆變分不等式；還有許多數學工作者也關注了微分變分不等式［10-19］.

然而現實中的許多問題總是會受到一些不確定因素的影響.為了刻畫出這些影響，隨機微分變分不等式變得非常重要.

假設Rm和Rn為兩實歐氏空間，其范數為內積為·〉Rn.假設K是Rn中的閉凸子集，（Ω，F，P）為一概率空間，Bt是標準的n-維布朗運動.假設｛Ft｝是由Bt生成的σ-域，即Ft＝σ｛Bs；0≤s≤t｝.令ξ為一Rm-值的F0可測隨機變量.一般來說，假設｛Ft｝是右連續的，且滿足通常假設.隨機微分變分不等式（簡寫為SDVI）可以表述為：找（x（t，ω），μ（t，ω））滿足

其中“a.s.”表示在dt×dP下幾乎確定成立，Sol（K，ψ（t，ω，x（t，ω），·））表示下面的隨機動態變分不等式的解集：找μ（t，ω）∈K，滿足

2013年，Gwinner［20］介紹了一類新的微分變分不等式，并證明了動態變分不等式與動態投影系統等價.受上述工作影響，本文將研究隨機微分變分不等式，并找到其適定解.

1 預備知識

下面介紹一些定義、假設和引理.

1）對于i＝m，n，記H2（［0，T］，Ri）（簡記為為所有的R-值Ft-可測過程，即i

2）定義集合K如下：

注1.1對于任意的i＝m，n，H2（（0，T），Ri）為一Hilbert空間，其內積為

引理1.2K為H2（（0，T），Rn）中的閉凸子集.

證明假定μ1，μ2∈K，即

和對幾乎所有的

對任意的0＜λ＜1，容易驗證

和

因此，對任意的0＜λ＜1，

所以K為閉凸子集.

假定μn∈K為H2（［0，T］，Rn）的函數列，且μn→μ*，即

那么存在子函數列μn k滿足

因為K是閉集，則有

即K是閉集.證畢.

以下記x（t，ω）和μ（t，ω）分別為xt和μt.

假設1.3對于?（x，μ）∈Rm×Rn，函數ψ（·，·，x，μ）：［0，T］×Ω×Rm×Rn→Rn滿足ψ（·，·，x，μ）∈H2（［0，T］，Rn），且存在正實數c使得下式成立

因此可以定義映射Ψ如下：

引理1.4如果假設1.3成立，那么Ψ為從H2（［0，T］，Rm）×H2（［0，T］，Rn）到H2（［0，T］，Rn）的映射.

證明對于任意給定的

由假設1.3可知

即

證畢.

假設1.5對于任意的（x，μ）∈Rm×Rn，

且對于

存在正實數c1＞0滿足

注1.6由假設1.5可知，對于所有的

假設1.7Ψ是強單調的，即存在實數c2＞0且滿足

有

由引理1.2可知，上述的隨機動態變分不等式可以表述為：找μ*∈K滿足

定義1.8稱函數對統（2）的適定解，當且僅當

為系滿足

注1.9隨機動態變分不等式等價于下述隨機動態投影系統

其中，ρ＞0為一正實數，PK為K→K的投影.由此可知，隨機微分變分不等式可以改寫為：找函數對

滿足

2 隨機微分變分不等式解的存在性與唯一性

下面將應用壓縮映射原理找出系統（5）的解，并得到其解是唯一的.

考慮空間H2（［0，T］，Rm）×K，其內積為

引理2.1假設E［｜ξ｜2］＜∞和A2＝1-2ρc2+ρ2c1＜1.如果假設1.3、1.5和1.7成立，那么Φ為從H2（［0，T］Rm）×K到H2（［0，T］，Rm）×K的映射.

證明由引理1.2可知，K為H2（［0，T］，Rn）中的閉凸子集.對于任意的

可知

這表明PK（μt-ρΨ（xt，μt））是非空的，且滿足

另一方面，有

由Doob不等式，可知

由假設1.5和E［｜ξ｜2］＜∞，可知

因此

證畢.

由引理2.1可知，希望Φ為H2（［0，T］，Rm）×K中的壓縮映射，一般來說，這個不成立，但是有下面的定理.

定理2.2假設

其中c1、c2為假設1.5和假設1.7給定的實數.如果假設1.3、假設1.5和假設1.7成立，則算子Φ為H2（［0，T］，Rm）×K到H2（［0，T］，Rm）×K的壓縮映射，并且存在唯一的（xt，μt）滿足系統（5）.

證明由假設1.3、假設1.5和假設1.7可知，對任意的

有

因此

另一方面，由假設1.7可知

結合范數

的定義可知

令則有

因為L＜1，那么Φ為H2（［0，T］，Rm）×K上的壓縮映像.由壓縮映像原理可知，存在唯一的函數對（xt，μt）∈H2（［0，T］，Rm）×K滿足系統（5）.證畢.

3 參隨機微分變分不等式適定解的穩定性

下面將考慮含參隨機微分變分不等式適定解的穩定性.

假定｛fα，gα，ψα，?α∈A｝和ξα∈Rm為下述的含參隨機微分變分不等式的函數族和隨機變量族

其中KαRn中的閉凸子集族.

現給出將要用到的假設.滿足ψα（·，·，x，μ）∈H2（［0，T］，Rn）和

其中c為正實數.

（B）函數族｛fα，gα，ψα，?α∈A｝滿足Lipschitz條件，其中Lipschitz系數為定義在假設1.5中的實數c1.

上關于α連續.

（D）ξα是f0-可測的，且在L2（P）上關于α連續.

注3.1由假設（A），可以定義H2（［0，T］，Rm）中的閉凸子集族Kα，并定義函數族Ψα如下：

（E）對于任意的α∈A，Ψα是強單調的，即存在實數c2＞0滿足Rm）×H2（［0，T］，Rn），

注3.2由上述假設可知，系統（6）可以另行描述為

由上述假設，易見下述引理成立.

引理3.3系統（7）的解當且僅當下述映射的不動點Φα：H2（［0，T］，Rm）×K→H2（［0，T］，Rm）×K，其中Φα（x，μ）定義如下

引理3.4令L2＝max（（8T+T2+ρ2）c1+1-2ρc2，（8T+T2+ρ2）c1+2ρc2）＜1，其中c1、c2為假設1.3和假設1.5中的實數.如果（A）-（E）成立，則對于任意的

證明因為和Kα是閉凸集，那么也是閉凸集.可以用定理2.2類似的方法證明，所以在這里省略證明過程.

由引理3.4和Banach不動點定理，下面的引理顯然成立.

引理3.5對于任意的α∈A，函數有唯一的不動點

由上述引理和假設，可以得到如下的主要定理.連續.

證明對于任意的α∈A，有

另一方面，

由定理的假設可知，如果ρ足夠的小，那么

證畢.

致謝中國博士后基金項目（2018M643434）和中央高校基本科研項目（2015NZYQN70）對本文給予了資助，謹致謝意.