滯后型泛函微分方程的解關(guān)于初值的可微性

李寶麟， 楊銀杏

（西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅蘭州730070）

Kurzweil于1957年建立的廣義常微分方程理論［1］在處理常微分方程、脈沖微分方程、滯后型泛函微分方程及拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)等問題時(shí)有著重要作用，且被許多學(xué)者進(jìn)行深入廣泛的研究，取得了一些新的成果［2-5］.

在經(jīng)典常微分方程理論中，方程

的解關(guān)于初值條件可微是指在一定條件下，如果方程右端函數(shù)f關(guān)于x可微，那么函數(shù)是可微的，其中x（t，x0）表示方程的解在t∈［a，b］處的值.Federson等［6］建立了滯后型泛函微分方程與廣義常微分方程的等價(jià)關(guān)系，從而廣義常微分方程中的很多相關(guān)理論都可以應(yīng)用到滯后型泛函微分方程中.文獻(xiàn)［7］研究了廣義常微分方程的解關(guān)于初值和參數(shù)的可微性，主要工作如下：盡管廣義常微分方程的解關(guān)于t不一定是可微的甚至不是連續(xù)的，但方程右端函數(shù)關(guān)于x（或關(guān)于參數(shù)）的可微性仍能保證廣義常微分方程的解關(guān)于初值條件（或參數(shù)）是可微的.本文借助滯后型泛函微分方程與廣義常微分方程的等價(jià)關(guān)系，考慮滯后型泛函微分方程

的解關(guān)于初值的可微性.

記G（［a，b］，Rn）是正則函數(shù)x：［a，b］→Rn構(gòu)成的空間，即對緊區(qū)間［a，b］，單側(cè)極限

分別存在且有限.區(qū)間［a，b］?R，對所有的

定義

則G（［a，b］，Rn）為Banach空間.給定函數(shù)

考慮

由

給定，則對函數(shù)

有

設(shè)開集

且具有下列性質(zhì)：如果

給定且屬于G1.特別地，G（［t0-r，t0+σ］，Rn）中的任意開球都具有此性質(zhì).

方程（1）等價(jià)于積分方程

（A）對所有的x∈G1，u1，u2∈［t0，t0+σ］，存在Lebesgue可積函數(shù)M：［t0，t0+σ］→R，使得

（B）對所有的x，y∈G1，u1，u2∈［t0，t0+σ］，存在Lebesgue可積函數(shù)L：［t0，t0+σ］→R，使得

本文利用廣義常微分方程的解關(guān)于初值的可微性，討論滯后型泛函微分方程（1）的解關(guān)于初值的可微性.

1 預(yù)備知識(shí)

下面介紹本文要用到的廣義常微分方程與滯后型泛函微分方程的概念與結(jié)論.

定義1.1［8］設(shè)函數(shù)

在區(qū)間［a，b］上稱為Kurzweil可積的，如果存在I∈Rn，使得對任意的ε＞0，存在正值函數(shù)

對［a，b］的任何δ-精細(xì)分劃

及｛τ1，τ2，…，τk｝，有

其中

則I∈Rn稱為U在區(qū)間［a，b］上的Kurzweil積分，記作

特別地，當(dāng)

時(shí)，上面定義的積分稱為K-S（Kurzweil-Stieltjes）積分，記作

定義1.2［7］設(shè)F：Ω→Rn，Ω?Rn+1，函數(shù)

若對所有的

有

其中右端積分為Kurzweil積分，則稱x為廣義常微分方程

的解.

定義1.3［8］設(shè)函數(shù)F：Ω→Rn，其中

如果F屬于函數(shù)族F（Ω，h，ω），則下列條件成立：對任意的（x，t1），（x，t2）∈Ω，有

對任意的（x，t1），（x，t2），（y，t1），（y，t2）∈Ω，有

其中h：［t0，t0+σ］→R為不減連續(xù)函數(shù)，ω：［0，+∞）→R是連續(xù)的增函數(shù)且ω（0）＝0.

引理1.1［7］若f：［a，b］→Rn為正則函數(shù)，g：［a，b］→R為不減函數(shù)，則積分（K-S）

存在.

注1如果f關(guān)于g是L-S（Lebesgue-Stieltjes）可積的，則f關(guān)于g是K-S可積的（見文獻(xiàn)［8-9］）.

引理1.2［7］設(shè)f：［a，b］→Rn為正則函數(shù)，g：［a，b］→R為不減函數(shù)，U：［a，b］×［a，b］→Rn×n是Kurzweil可積的，若對任意的τ，t，s∈［a，b］，有

‖U（τ，t）-U（τ，s）‖≤f（τ）｜g（t）-g（s）｜，則

引理1.3［7］設(shè)函數(shù)U：［a，b］×［a，b］→Rn×m是Kurzweil可積的，u：［a，b］→Rn×m是U的原函數(shù)，即如果U關(guān)于第二個(gè)變元是正則的，那么u也是正則的，且滿足

更進(jìn)一步，若存在不減函數(shù)h：［a，b］→R，使得

則

引理1.4［7］設(shè)函數(shù)

且A滿足

其中h：［a，b］→R為不減左連續(xù)函數(shù).若對任意的s∈［a，b］，有

則z在區(qū)間［a，b］上是正則的.

引理1.5［7］設(shè)函數(shù)A：［a，b］×［a，b］→Rn×n是Kurzweil可積的，且A相對于左連續(xù)函數(shù)h滿足（6）式，則對于每個(gè)z0∈Rn，初值問題

存在唯一解z：［a，b］→Rn.

引理1.6［8］設(shè)h：［a，b］→［0，+∞）是不減左連續(xù)函數(shù)，k＞0，l≥0.設(shè)ψ：［a，b］→［0，+∞）有界且滿足則對任意的ξ∈［a，b］，有

引理1.7［6］f（φ，t）：G（［-r，0］，Rn）×［t0，t0+σ］→Rn滿足條件（A）和（B）.

（i）設(shè)y（t）是滯后型泛函微分方程

的一個(gè)解.給定t∈［t0-r，t0+σ］，令

則

是廣義常微分方程

的一個(gè)解，其中

且

（ii）相反地，如果x（t）是方程（8）的一個(gè)解，且F由（9）式給出，在區(qū)間［t0-r，t0+σ］上滿足初始條件對任意?∈［t0-r，t0+σ］，定義

則y（?）是方程（7）在［t0-r，t0+σ］上的一個(gè)解，且

y（?）＝x（t0+σ）（?）， ?∈［t0-r，t0+σ］．

注2引理1．7的詳細(xì)證明過程見文獻(xiàn)［10］中的定理3．4和定理3．5．

2 主要結(jié)果

考慮廣義常微分方程

其中解x∈G1，且函數(shù)x0：Rl→Rn表示初始條件關(guān)于參數(shù)λ∈Rl的依賴性，F(xiàn)：G1×［t0-r，t0+σ］→Rn．

設(shè)x（s，λ）是解在s∈［t0，t0+σ］處的值．文獻(xiàn)［7］證明了方程（10）的右端函數(shù)F關(guān)于x可微時(shí)，x（s，λ）關(guān)于λ是可微的．利用Kurzweil積分的定義，x（s，λ）的值由

逼近，其中t0＜t1＜…＜tk＝s是區(qū)間［t0，s］的一個(gè)精細(xì)分劃，且

逼近．上式是

的一個(gè)逼近．因此，由文獻(xiàn)［7］中定理4．1知，導(dǎo)數(shù)Z（t）＝xλ（t，λ0）是廣義常微分方程

的唯一解．

定理2．1設(shè)

且x0在λ0處可微，f：P×［t0，t0+σ］→Rn是連續(xù)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)f x存在且在P×［t0，t0+σ］上連續(xù)，并且滿足條件（A）和（B）．對任意的λ∈Λ，方程（1）在［t0，t0+σ］上有一個(gè)解，令x（t，λ）是解在t∈［t0，t0+σ］上的值，則對所有的t∈［t0，t0+σ］，函數(shù)在λ0處一致可微，其導(dǎo)數(shù)

是滯后型泛函微分方程

的唯一解．

證明根據(jù)假設(shè)，對每個(gè)x，y∈G1，t∈［t0，t0+σ］，存在正常數(shù)A1、A2，使得

由引理1．7，對任意的λ∈Λ，方程（1）等價(jià)于廣義常微分方程

其中F由（9）式給出，F(xiàn)正則且關(guān)于第二個(gè)變元左連續(xù)，且滿足下列條件：

1）對每個(gè)固定的t∈［t0，t0+σ］，函數(shù)xF（x，t）在G1上連續(xù)可微；

2）函數(shù)x0在λ0處可微．

由條件1）知

根據(jù)文獻(xiàn)［7］中的引理5．1（其中g(shù)（s）＝s）的結(jié)論2，有

根據(jù)F由（9）式給出

對于任意的

由G1中所定義的范數(shù)可得：

則有

及

即

其中

由假設(shè)，存在常數(shù)A3＞0，使得

成立，則

對每個(gè)x，y∈G1，t∈［t0，t0+σ］及不減左連續(xù)函數(shù)k：［t0，t0+σ］→R，令k（t）＝A3t，則

對任意的λ∈Λ，s∈［t0，t0+σ］，根據(jù)假設(shè)，有

由

及引理1.3可知，在區(qū)間［t0，t0+σ］上，每個(gè)解x都是正則的左連續(xù)函數(shù).如果Δλ∈Rl使得‖Δλ‖＜ρ，則

其中

通過（16）式可得

由引理1.2可得

對任意的s∈［t0，t0+σ］.利用引理1.6，則有

從而，對所有s∈［t0，t0+σ］，當(dāng)Δλ→0時(shí)，x（s，λ0+Δλ）一致收斂于x（s，λ0）.令

由（14）和（15）式知

且A（τ，t）滿足（6）式.由引理1.4和引理1.5可知，方程（12）有唯一解

且Z是正則的，從而存在常數(shù)K＞0，使得對任意的t∈［t0，t0+σ］，有‖Z（t）‖≤K.

對任意的Δλ∈Rl，當(dāng)‖Δλ‖＜ρ時(shí)，令

下證對所有r∈［t0，t0+σ］，若Δλ→0，則ξ（r，Δλ）一致趨于0.

對任意的ε＞0，存在δ＞0，使得Δλ∈Rl，‖Δλ‖＜δ時(shí)，有

及

從而

其中由于函數(shù)F在G上相對于x是連續(xù)可微的，則1

從而

利用三角不等式得

最后，由引理1.6可得

因?yàn)棣拧?+，對所有r∈［t0，t0+σ］，當(dāng)Δλ→0時(shí)，ξ（r，Δλ）→0.證畢.