一類退化加性噪聲驅動的隨機偏微分方程的振幅方程

雷 婷， 陳光淦

（四川師范大學數學科學學院可視化計算與虛擬現實四川省重點實驗室，四川成都610068）

隨機偏微分方程在物理、化學等應用學科中具有重要的意義.例如，確定性的Cahn-Hilliard方程描述了材料科學中某些重要的定性特征［1-2］，隨機增長模型［3-4］模擬了粗糙非晶體曲面，以及隨機Kuramoto-Sivashinsky模型［5-6］刻畫了地表侵蝕問題.這些模型都滿足本文研究的抽象形式.

本文關心一類含退化噪聲的隨機偏微分方程

其中算子A、L、B以及擾動參數ε和噪聲W的定義詳見第一節.

對于方程（1），不同的噪聲強度和擾動強度影響著系統最終有效行為.Bl?mker等研究了隨機偏微分方程在擾動強度為0，噪聲強度為ε-1［7］；擾動強度為0，噪聲強度為情形下的有效行為.本文主要目的是推導出方程（1）的有效逼近系統——振幅方程，給出振幅方程的具體形式以及解逼近的收斂刻畫.

1 預備知識

讓H表示Hilbert空間，其內積和范數可表示為＜·，·＞和‖·‖.

假設1設A是H空間上自伴隨的非正算子，其特征值的相反數滿足0≤λ1≤λ2≤…≤λk≤…，并且對所有足夠大的k，有λk≥Ckm成立.是特征向量對應的完備正交系，并且Aek＝-λkek.

令N：＝kerA，T：＝N⊥是N在空間H的正交補集，并且Pc：H→N，Ps：＝I-Pc.Ps和Pc與算子A可交換.假設N的維數為n，基為｛e1，e2，…，en｝.任給α∈R，則為H空間上的完備正交基.算子Dα為Dαek＝kαek，所以有‖u‖α＝‖Dαu‖成立.

注記2由假設1定義的算子A生成解析半群｛etA｝t≥0，進一步

引理3［9］在假設1條件下，存在常數M＞0和K＞0，對任意的t＞0，β≤α和任意的u∈Hβ，滿足

假設4（算子L） 固定α∈R，當β∈［0，m），則L：Hα→Hα-β為連續線性映射.一般而言，算子L不與Ps和Pc交換.

假設5（雙線性算子B） 設α、β是假設4中的參數，B是從Hα×Hα到Hα-β的有界雙線性映射，滿足B（u，v）＝B（v，u），并且對任意的u∈N，滿足PcB（u，u）＝0.簡記符號Bs＝PsB，Bc＝PcB，其中Ps、Pc如前面定義.

為使符號簡潔，令F：N→N，對任意的u∈N，有

則F是對稱映射F：N3→N，特別地F（u）＝F（u，u，u）.

根據假設，可推出F是三線性的連續算子.因此，F也是有界算子.

引理6［9］非線性算子F滿足

進一步，存在δ＞0，滿足

和

設W是抽象完備概率空間（Ω，F，P）上的柱狀Wiener過程.W的有界協方差算子為Q：H→H，其中｛αk｝k是一組有界實序列，｛f k｝k∈N是H空間上的一組正交基.

假設7假設

定義8定義隨機卷積為

定義9（停時） 對于N×T-值隨機過程（a，和時間T0＞0，定義停時

定義10對于實值隨機過程構成的集合｛Xε（t）｝t≥0，若對任意的p≥1，存在常數Cp，滿足

則記Xε＝O（fε），這里fε為無窮小量ε的冪函數，如

本文除特別說明外，C表示所有正的常數.

2 振幅方程

將方程（1）的解u分解為

其中a∈N，ψ∈T，時間尺度變換T＝ε2t，則

和

其中?W（T）：＝εW（ε-2T）是時間尺度變化后的Wiener過程.

對Bc（a，A-1sψ）運用It?公式，結合（11）和無窮小量ε，得到

令b：［0，T0］→N是方程

的解，則稱方程（14）為方程（1）的振幅方程.當ε充分小時，它將收斂到方程（1）的解.最后將證明方程（1）的解為

若令余項R為

則可得到帶余項的振幅方程

3 主要結論和證明

對任意的ε∈（0，1），T≤τ*，

證明考慮方程（12）則T

因此可得到

利用引理3，當0≤β＜m時，對任意的T≤τ*，滿足

其中利用了τ*的定義和假設4.類似的，對任意的T≤τ*，有

結合4項的結果得到（18）式.

引理12［9］在假設1和7的條件下，‖z（0）‖α＝O（1）.對任意的κ0＞0，p＞1和T＞0，存在常數C＞0，滿足

引理13在假設1和5的條件下，利用停時τ*的定義，對任意的ε∈（0，1），則

這套叢書項目由姚安縣民族宗教局主持，列入云南省民族宗教委和楚雄州民族宗教委的“民族文化精品工程”。主編郭曉煒具體負責采訪、收集、整理和翻譯。這項工作從性質上講，跟老版《梅葛》都屬于政府的民族文化工程，但做法上則有很大不同。表現在以下幾方面：

證明利用引理3和假設5，當T＜τ*時有進而（20）式得證.

引理14設引理11、12和13成立.對任意的p≥1，存在常數C＞0，滿足

證明由（18）式，運用三角不等式和假設5，得到

利用引理12和13，（21）式得證.

推論15在引理14的條件下，對任意的p＞1，存在一個常數C＞0，滿足

證明由切比雪夫不等式

運用（21）式，完成證明.

引理16若假設1、4、5和7成立，對任意的p＞1，存在常數C＞0滿足

證明對于R的有界性，通過證明（15）式中右端12項各項的有界來說明.這個證明過程依賴假設5和對任意的γ∈R，δ≥0，滿足‖ψ‖γ≤C‖ψ‖γ+δ.同時，因為Bc（a（τ），A-1sψ（τ））∈N和A-1s是T?Hα空間上的有界線性算子，所以從0到停時τ*的范圍內有運用停時τ*的定義，得到

則有

由Burkholder-Davis-Gundy不等式得到

其中｛gk｝k∈N是H空間上的任意正交基，Dα由定義1給出.HS是空間H上的Hilbert-Schmidt算子空間，空間上范數為‖Ψ‖HS＝Tr［ΨΨ*］.因此，

其中

整合R中的12項，又因為在停時的定義中所以可得到結論（23）.

引理17假設1、4、5和7成立.N空間上的隨機過程b（T）其初始條件是E‖b（0）‖≤C，t

對T0＞0，存在常數C＞O，滿足

證明方程（27）解的存在唯一性是成立的.下面驗證（28）式，

在公式（29）等號兩邊做內積＜·，b＞，得到利用Young不等式、Cauchy-Schwarz不等式和假設6，得到

忽略4次項，在［0，T］上積分，兩邊同取次，再取期望，從而得證（28）式.

定義18設空間Ω*?Ω，且滿足

注記19集合Ω*的概率近似于1，因為

運用Chebycher不等式和引理14、16和17，當q充分大時，滿足

引理20假設1、4、5、6和7成立.b為（27）式的解.a由（16）式給出定義，在空間Ω*上有若初始條件滿足a（0）＝b（0），對上有

和

證明定義φ（T）為

由（18）式得到義h（T）為定

從（35）式中減去（27）式，得到

參見文獻［9］引理28，得到在空間Ω*上

運用（31）和（36）式，得到第一部分的結論

對于定理的第二部分，考慮

運用第一部分結論和（32）式，得出結論（34）.

定理21（逼近定理） 在假設1、4、5和7的條件下，由公式（10）定義的u為方程（1）的解，其初值條件為其中a（0）和b（0）階數為1.設b為振幅方程（16）的解.對任意的p＞1和T0＞0，存在常數C＞0，滿足

證明對于停時，注意到

對于逼近結論，運用（11）式和三角不等式，得到

由（30）和（33）式，在空間Ω*上有