關于帶記憶的線性熱彈性板方程解的衰減

米小平， 蒲志林， 趙夕雅

（四川師范大學 數學科學學院，四川成都610066）

1 預備知識

設Ω?R2是一個具有光滑邊界?Ω的區域，考慮如下的Kirchhoff熱彈性薄板方程

其中，x∈Ω，t∈R+＝（0，∞）.

根據方程的物理背景，考慮如下邊界條件

及初始數據

其中，c≥0，函數u0，v0，?0：Ω→R和ψ：Ω×R+→R是給定的函數，未知函數u表示板的垂直位移，而?表示平衡參考值的溫度變化場.為簡便起見，把所有其他物理常數設為1.實際上，在文獻［1-2］最早提出的原始模型中，c＞0.Fabrizio等［3］考慮了c＝0的情況.

已廣泛研究熱傳導方程中沒有記憶效應的線性熱彈性板［4］.在熱通量的傅立葉定律被Gurtin-Pipkin定律取代后，就產生了出現在第一個方程中的卷積項.Giorgi等［1］考慮了解的衰減問題.本文在對記憶核進行非常弱的假設下，根據Hilbert空間上的c0半群，并利用抽象半群理論［4］，證明指數穩定性.與我們的模型相比，主要區別是第二個方程中存在一個耗散項，這是因為除了熱通量之外，熱功率還依賴?的過去歷史.

2 記號和假設

設H是Hilbert空間，分別用〈·，·〉H和‖·‖H表示H上的內積和范數，當H＝L2（Ω）時省略下標，固定c≥0.給出定義在L2（Ω）上的正定算子A＝-Δ和B＝cI-Δ，定義域D（A）＝D（B）＝對r∈R，引入Hilbert空間Hr＝D（Ar／2），賦予通常的內積顯然，當r1＞r2時為緊嵌入，它在Hr上與〈Br／2·，Br／2·〉為等價內積.

令μ（s）＝-κ′（s），μ（s）滿足以下條件：

注意（7）式意味著μ不等于零.令σ∞＝sup｛s｜μ（s）＞0｝，也可能σ∞＝∞，對于每一個σ＜σ∞，通過（4）-（6）式存在一個集合Oσ?（σ，σ∞）具有正的Lebesgue測度，使得

通過（4）和（5）式，對于r∈R，給出加權Hilbert空間

在M1中引入線性算子T：

這里ηs是η關于s的偏導數，算子T是C0壓縮半群的無窮小的生成元，特別有

最后定義Hilbert空間

為了后文的需要，對空間Mr的緊致性做一個簡單的介紹.對η∈M1，引入尾部函數

3 抽象線性系統解的衰減性質

設S（t）＝etL為Banach空間（H，‖·‖）上的一個線性C0半群，其中L是其無窮小生成元.現在為‖S（t）z0‖→0當t→∞時提供一個簡單的充分條件.

定義3.1［5］稱滿足以下2個條件的S（t）為線性梯度系統：

如果S（t）為一個線性梯度系統，那么它必然是一個C0收縮半群.而且線性梯度系統并不是對所有的初始數據都衰減到零.

定理3.2設z0∈H，S（t）為一個線性梯度系統.若集合在H中相對緊，則

證明令由于集合Bt是非空的、緊的、連通的和嵌套的，則是ω一極限集ω（z0）.因而，是非空的、緊的且連通的.選取任意的ζ0∈ω（z0），則存在tn→∞使得S（tn）z0→ζ0.由（i）可知，若存在，則對所有的ζ0∈ω（z0），又ω（z0）是不變的，因此

通過（ii）可得ω（z0）＝｛0｝，從而S（t）z0收斂到0.

推論3.3設S（t）為一個線性梯度系統，?z0∈X，其中X是H的稠密子集.則對于所有的z0∈H，當t→∞時S（t）z0→0.

證明給出z0∈H.對于?ε＞0，存在?z0∈X，使得此外存在tε≥0，使得

因此

4 解半群與解的衰減

根據文獻［6］的思想，引入一個額外變量，即?的過去歷史總和，定義為形式上滿足方程ηt+ηs＝?，s∈Ω，（t，s）∈R+×R+，及邊界條件和初始條件

線性算子L定義為

定義域為

由Lumer-Phillips定理［11］可得到，系統（10）在相空間H0上定義C0線性收縮半群S（t）＝etL.由（6）式可知

明確表示I-L將D（L）映射到H0.

系統（10）是通過分部積分得到的，實際上等同于最初始的問題，此外，解的分量有明確的表示公式：

定理4.1S（t）是H0上的線性梯度系統.

證明如果存在z0∈H0和任意的t≥0，使得‖S（t）z0‖H0＝‖z0‖H0成立，根據（9）式發現

任取σ＜σ∞.由于上述方程和（8）式是等價的，對于任意的t≥0，ηt≡0在Oσ上幾乎處處成立.根據（12）式，對于任意的t≥0，?（t）≡0（注意s和?是無關的）.根據（13）式有

但這意味著η0≡0幾乎處處成立，至少應該在區間（0，σ）上.根據σ的任意性的確可以得知η0≡0幾乎處處成立.

引理4.2［7］設C?M1滿足：

則C在M1中相對緊.

證明系統（10）具有足夠的耗散性，可以使得任何軌跡衰減到零，在μ具有較弱的衰減性條件下.

定理4.3假設條件（4）-（7）式滿足，如果存在δ＞0，使得

證明固定z0∈D（L）∩H1，用C＝C（z0）≥0來表示一個一般的常數.特別地，對于?t≥0，有z（t）＝S（t）z0∈D（L），將由下列步驟完成定理的證明.

第一步

事實上，在H0上引入對角算子?B＝BIH0.根據（10）式和?Bz可得

根據（9）式可得

第二步

本研究采用綜合心理護理方法，在以人為本護理理念指導下，充分了解患者需求和存在的問題，為其提供心理護理，干預人員與患者建立互信平等的朋友關系，為實施心理護理奠定基礎。

事實上，根據（13）式可得

利用（16）和（7）式可得

而且由于（6）式可得

根據以上2個結論，可得第三步.

第三步

定義

很明顯

由第一步結論和（7）式可得

因此，當t1＝t1（M1）≥1時，

則當x→∞時，J0（x）→0.

根據（13）式和Young不等式可得

可知當x→∞時，J∞（x）→0.