交換半環(huán)上半模的標準基

周藝璇， 王學平

（1.四川民族學院理工學院，四川 康定626001； 2.四川師范大學數(shù)學科學學院，四川 成都610066）

半環(huán)上半模理論的研究歷史悠久.1966年，Yusuf［1］提出半環(huán)上可逆半模的概念，并得到類似于模理論的定理.于是，很多學者以此為起點展開對半模理論的研究［2-4］.如：文獻［2］廣泛地描述半環(huán)以及半環(huán)上的半模，并介紹半模理論在數(shù)學的其他分支、密碼學及理論計算機科學等上的應用；文獻［5-6］討論零和自由半環(huán)上可逆矩陣的性質，完善了半可逆矩陣的性質，擴展了矩陣的應用范圍；文獻［7］描述了有極小理想的半環(huán)的結構.

基是半模中最重要的概念，由此國內(nèi)外學者關于基的研究工作很多，如：文獻［3］在MV代數(shù)上建立了半線性空間，引入基的概念，并提出在半線性空間中不同基的勢是否相等的開問題；文獻［8］在join-半環(huán)中給出不同基的勢相等的充要條件；文獻［9］給出Zerosumfree半環(huán)上n維半線性空間Vn中每組基有相同勢的充要條件；文獻［10］探討了交換的Zerosumfree半環(huán)上n維半線性空間Vn的標準正交向量，并給出向量集成為正交向量組生成的半線性空間的基的充要條件；文獻［11-12］對交換半環(huán)的基和基數(shù)展開了深入的討論；文獻［13］引入自由基的概念，探討交換半環(huán)上半模的基的基本性質及其特征，并給出了交換半環(huán)上有限生成自由半模的基為自由基的充要條件；文獻［4］研究了交換半環(huán)上半模的自由集和自由半模.從已有的研究工作不難發(fā)現(xiàn)，按現(xiàn)有半模上基的概念，不同基的勢要相等需要條件，文獻［13］引入的自由基也是有條件的，這就限制了很多半模.為此，本文提出了標準基的概念，并以此為基礎，將標準基與自由基做對比，討論標準基的基本性質.

1 預備知識

下面回憶一些基本概念及已有結論.

定義1.1［2，14］設L是非空集合，若代數(shù)結構L＝〈L，+，·，0，1〉滿足：

1）（L，+，0）是交換幺半群；

2）（L，·，1）是幺半群；

3）?r，s，t∈L，r·（s+t）＝r·s+r·t與（s+t）·r＝s·r+t·r成立；

4）?r∈L，0·r＝r·0＝0成立；

5）0≠1；則稱L為半環(huán).

特別地，若對?r，r′∈L，都有r·r′＝r′·r，則稱L為交換半環(huán).

定義1.2［2，14］設L＝〈L，+，·，0，1〉為半環(huán)，A＝〈A，+A，0A〉為交換幺半群.若外積*：L×A→A滿足：?r，r′∈L，a，a′∈A，

1）（r·r′）*a＝r*（r′*a），

2）r*（a+Aa′）＝r*a+Ar*a′，

3）（r+r′）*a＝r*a+Ar′*a，

4）1*a＝a，

5）0*a＝r*0A＝0A，則稱〈L，+，·，0，1；*；A，+A，0A〉為左L-半模.類似可給出右L-半模的定義.

也稱半環(huán)L上的半模為L-半線性空間［13］，這里的半模或是左L-半模，或是右L-半模.

例1.1設L＝〈L，+，·，0，1〉是半環(huán).對n≥1，令

其中（a1，a2，…，an）T表示（a1，a2，…，an）的轉置.對任意的x＝（x1，x2，…，xn）T，y＝（y1，y2，…，yn）T∈Vn（L）和r∈L，定義

則

是L-半線性空間，其中

設

類似地，按照以上方法定義運算“+”和“*”，則

是L-半模，其中

在不會引起混淆的情況下，在L-半模〈L，+，·，0，1；*；A，+A，0A〉中，對任意的r∈L，α∈A，將用rα代替r*α.

設N為L-半模M的非空子集，若N在加法和數(shù)乘運算下封閉，則稱N為M的子半模.顯然，若是M的一族子半模，則也是M的子半模.

令S為L-半模M的非空子集，則所有包含S的M的子半模的交是M的子半模，稱其為由S生成的子半模，并用符號LS表示.容易驗證

則

特別地，若S＝｛α｝，則用Lα定義LS，即

若LS＝M，則稱S為M的生成集.進一步，若S為有限集，則稱該半模為有限生成的.定義L-半模M的最小的生成集的勢為L-半模M的秩，并用符號r（M）表示.顯然，任何有限生成的L-半模M的秩r（M）都存在.

定義1.3［2，13］設S是L-半模M的非空子集，若對任意的α∈S，α?L（S＼｛α｝），則稱S是線性無關的.否則，稱S線性相關.如果L-半模M的元至多能被非空子集S中元以一種方式表出，則稱S是自由的.

顯然，自由集一定是線性無關的.

定義1.4［2，13］稱L-半模M中線性無關的生成集為M的基.特別地，稱L-半模M的自由生成集為自由基.稱有自由基的L-半模M為自由的.

例1.2例1.1中的L-半模Vn是有限生成的自由的L-半模.｛e1，e2，…，en｝是Vn的自由基，其中，e1＝（1，0，…，0）T，e2＝（0，1，…，0）T，…，en＝（0，0，…，1）T.顯然，r（Vn）＝n.易見，Vn也是有限生成的自由的L-半模，且r（Vn）＝n.

設下文中的M均為交換半環(huán)上有限生成的L-半模.

2 自由基的性質

設T1，T2，…，Tn是L-半模M的n個L-子半模.定義T1，T2，…，Tn的和如下：

顯然，T1+T2+…+Tn是L-半模M的L-子半模.設T＝T1+T2+…+Tn，若對任意向量ν∈T，都存在唯一的使得

則稱M的L-半模T為T1，T2，…，Tn的直和，記作

定理2.1設V1與V2是M的2個L-子半模，｛γ1，γ2，…，γs｝和｛η1，η2，…，ηp｝分別是V1和V2的自由基，則V1+V2＝V1⊕V2當且僅當任意α∈V1+V2可唯一地由γ1，γ2，…，γs，η1，η2，…，ηp線性表示.

證明充分性 對任意α∈V1+V2，設

其中，α1，β1∈V1，α2，β2∈V2.于是存在ki，k′i，lj，使得

因此

由于α∈V1+V2可唯一的由γ1，γ2，…，γs，η1，η2，…，ηp線性表示，因此

從而

也就是說

必要性 對任意α∈V1+V2，設

其中，ki，k′i，lj，lj′∈L.因為

所以

又｛γ1，γ2，…，γs｝和｛η1，η2，…，ηp｝分別是V1和V2的自由基，因此ki＝k′i，lj＝l′j.即，任意α∈V1+V2可唯一地由γ1，γ2，…，γs，η1，η2，…，ηp線性表示.

注2.1定理2.1推廣了文獻［15］中定理3.1.

為了說明注2.1，首先回憶標準正交的概念［16］.

設M為L-半模，若對任意的α，β，γ∈M，λ，μ∈L，滿足：

1）〈α，β〉＝〈β，α〉；

2）〈λα+μβ，γ〉＝λ〈α，γ〉+μ〈β，γ〉；

則稱M×M→L的二元運算〈，〉為M上的內(nèi)積運算.

設U（L）＝｛a∈L｜存在b∈L使得ab＝ba＝1｝.再設A是L-半模M的非空子集，若對任意α，β∈A，α≠β，有

成立，則稱A是標準正交的.

引理2.1［16］設A＝｛α1，α2，…，αn｝是M的標準正交集，則A自由.

由引理2.1即知L-半模M的標準正交集一定是自由的，但自由的向量集不一定是標準正交的.

例2.1設α＝（a1，a2，…，an）T，β＝（b1，b2，…，bn）T∈Vn，定義

易見〈，〉為半模Vn的內(nèi)積，又稱為Vn上的標準內(nèi)積.

例2.2考慮模8的剩余類環(huán)

易見（0，0，1）T、（0，1，1）T、（1，1，1）T是V3的自由基，但按標準內(nèi)積顯然不是標準正交的.

由定理2.1及其證明易見下面定理成立.

定理2.2設V1與V2是M的2個L-子半模，｛γ1，γ2，…，γs｝和｛η1，η2，…，ηp｝分別是V1和V2的自由基，則V1+V2＝V1⊕V2當且僅當｛γ1，γ2，…，γs，η1，η2，…，ηp｝是V1+V2的自由基.

定義2.1定義半模的秩為半模的維數(shù).半模M的維數(shù)用符號dim M表示.

注2.2上面維數(shù)的定義與經(jīng)典線性代數(shù)中維數(shù)的定義是一致的，但與文獻［9］中維數(shù)的定義不同.

例2.3設L是非負整數(shù)連同運算

和

構成的半環(huán)，其中g.c.d.｛a，b｝表示a與b的最大公因數(shù)，l.c.m.｛a，b｝表示a與b的最小公倍數(shù).在L-半模V2中，向量組｛（0，1）T，（1，0）T｝、｛（2，0）T，（3，0）T，（0，2）T，（0，3）T｝都是V2的基.在定義2.1下，dim V2＝2.但在文獻［9］的定義下，維數(shù)是不存在的.

引理2.2［13］設M是有限生成的自由的R-半模，則對其任意基S和任意自由基T都有

推論2.1設V1與V2是M的2個L-子半模，｛γ1，γ2，…，γs｝和｛η1，η2，…，ηp｝分別是V1和V2的自由基.若

則

1）dimV1+dimV2＝dim（V1+V2）；

2）V1∩V2＝｛0｝.

證明1）由定理2.2及引理2.2易知結論成立.

2）設α∈V1∩V2，于是存在ki，k′i，lj，lj′∈L，使得

因此

而由定理2.2可知｛γ1，γ2，…，γs，η1，η2，…，ηp｝是V1+V2的自由基，于是

從而α＝0.

推論2.2設V1與V2是M的2個L-子半模，｛γ1，γ2，…，γs｝和｛η1，η2，…，ηp｝分別是V1和V2的自由基.若α∈V1+V2可唯一地由γ1，γ2，…，γs，η1，η2，…，ηp線性表示，則V1∩V2＝｛0｝.

證明由定理2.1及引理2.1易知結論成立.

定理2.1、定理2.2、推論2.1以及推論2.2都只討論了2個子半模的情況.事實上，在n個子半模上也有類似的結論，并且其證明過程也是類似的.

定理2.3若｛γ1，γ2，…，γs｝是L-半模V的自由基，則

〈γ1〉+〈γ2〉+…+〈γs〉＝〈γ1〉⊕〈γ2〉⊕…⊕〈γs〉.

證明假設存在使得

不妨設

由｛γ1，γ2，…，γs｝自由可知ki＝k′i，從而ηi＝η′i，即

3 L-半模的標準基

定義3.1稱L-半模M中向量個數(shù)最少的基為標準基.

顯然，任意有限生成的L-半模M都有標準基.

注3.1秩為r（M）的L-半模M中任意r（M）個線性無關的向量不一定為M的基，更不一定為標準基.

例3.1已知布爾格B2＝｛0，σ1，σ2，1｝，其中σ1、σ2為B2的原子.0、1分別為B2的最小元和最大元.顯然〈B2，+，·〉是交換環(huán)，其中“+”＝∨，“·”＝∧.考慮B2-半模V3.設

其中

則M是有限生成的B2-半模，它的基分別為：

顯然，一個向量不能成為M的基.因此，r（M）＝2.顯然α1與α3線性無關，但｛α1，α3｝不是基，更不是標準基.

由引理2.2即知L-半模M的自由基一定是標準基，但標準基不一定是自由基.

例3.2例3.1中M的所有基都不是自由的，從而M無自由基，但T1、T2、T3為M的標準基.

設L是半環(huán)，定義Mm×n是L上的m×n階矩陣的集合.特別地，令

對任意的定義

容易驗證，〈Mn（L），+，·，0，In〉是半環(huán)，其中0為n×n零矩陣，In為n×n單位矩陣.

以下先回憶可逆矩陣的概念［17］.

設A∈Mn（L），如果存在矩陣B∈Mn（L）使得AB＝In，則稱矩陣A是右可逆的；類似地，可定義左可逆矩陣.如果矩陣A既是左可逆的又是右可逆的，則稱A是可逆矩陣.

引理3.1［17］設L是交換半環(huán)，A，B∈Mn（L）.若AB＝In，則BA＝In.

定理3.1若M是有限生成的自由的L-半模，A＝｛α1，α2，…，αn｝為M的標準基，則A也是M的自由基.

證明由引理2.2與定義3.1可設B＝｛β1，β2，…βn｝為M的自由基，于是存在A∈Mn×n（L）與B∈Mn×n（L）使得

成立，從而有

因為B是自由的，所以BA＝In.由引理3.1可知B可逆.現(xiàn)設

其中ki，λi∈L，且則

于是

因為B是自由的，所以

又因為B可逆，所以

從而A自由.

注3.2定理3.2中L-半模M是自由的條件一般不能去掉.

例3.3在例3.1中，L-半模M是有限生成的，M不是自由的.T1、T2、T3為M的標準基，但不是自由基.

推論3.1若M是有限生成的自由的L-半模，則A＝｛α1，α2，…，αn｝是M的標準基的充要條件是A是M的自由基.

定理3.2設M是有限生成的L-半模，｛α1，α2，…，αn｝是M的一組標準基.若存在可逆矩陣

使

則｛γ1，γ2，…，γn｝是M的標準基.

證明設B是A的逆矩陣，則

從而有

于是｛γ1，γ2，…，γn｝與｛α1，α2，…，αn｝可相互線性表出，也就是說｛γ1，γ2，…，γn｝也是M的生成集.顯然｛γ1，γ2，…，γn｝線性無關，否則與標準基的向量個數(shù)為n相矛盾，即是說｛γ1，γ2，…，γn｝是基.于是，｛γ1，γ2，…，γn｝是標準基.

注3.3定理3.2的逆命題不一定成立.

例3.4在例3.2中，T1＝｛α1，α4｝，T2＝｛α2，α3｝均為M的標準基.容易得到但均不可逆.

4 標準基的性質

設M和N是L-半模，若映射φ：M→N滿足以下條件：

1）對任意的α，β∈M，

2）對任意的α∈M，λ∈L，φ（λα）＝λφ（α）；則稱φ為L-同態(tài)映射.若φ是滿射，則稱φ為滿同態(tài)映射；若φ是雙射，則稱φ為同構映射［2］，并記為M?N.

定理4.1設M與M′是2個有限生成的L-半模，φ：M→M′是同構映射，則｛α1，α2，…，αn｝是M的標準基當且僅當｛φ（α1），φ（α2），…，φ（αn）｝是M′的標準基.

證明設｛α1，α2，…，αn｝是M的標準基，α′∈M′，則由φ是滿射知存在α∈M使φ（α）＝α′.因此存在使得

由于φ同構，于是

于是｛φ（α1），φ（α2），…，φ（αn）｝是M′的生成集.再由φ同構容易證明｛φ（α1），φ（α2），…，φ（αn）｝是M′的標準基.

反之，設｛φ（α1），φ（α2），…，φ（αn）｝是M′的標準基，α∈M，于是φ（α）∈M′.因此存在

使得有

于是

所以｛α1，α2，…，αn｝是M的生成集.再由φ同構容易證明｛α1，α2，…，αn｝是M的標準基.

由定理4.1及秩的定義易見下面推論成立.

推論4.1設M、N是2個有限生成的L-半模，若M?N，則r（M）＝r（N）.

注4.1推論4.1的逆命題不一定成立.

例4.1在例3.1中，令

其中

則r（N1）＝2＝r（N2）.顯然有N1與N2不是同構的.

但我們有下面定理.

定理4.2設M、N是2個有限生成的L-半模，若r（M）＝r（N）且N是自由的，則M?N.

證明設A＝｛α1，α2，…，αn｝是M的標準基，A′＝｛α′1，α′2，…，α′n｝是N的自由基.定義φ：M→N滿足任意

由A′是N的自由基，易見φ是M到N的映射.設

其中l(wèi)i∈L，則

從而φ是同態(tài)映射.對任意

令＝

則有φ（y）y′，從而φ是滿射.設

則

由于｛α′1，α′2，…，α′n｝自由，所以ki＝li，于是α＝β，從而φ是單射.綜上，M?N.

定理4.3設V1、V2是M的2個L-子半模，｛γ1，γ2，…，γs｝、｛η1，η2，…，ηp｝分別是V1、V2的標準基.如果任意α∈V1+V2可唯一地由γ1，γ2，…，γs，η1，η2，…，ηp線性表示，則：

1）｛γ1，γ2，…，γs，η1，η2，…，ηp｝是V1+V2的標準基；

2）V1+V2＝V1⊕V2；

3）dimV1+dimV2＝dim（V1+V2）；

4）V1∩V2＝｛0｝.

證明1）由任意α∈V1+V2可唯一地由γ1，γ2，…，γs，η1，η2，…，ηp線性表示可知｛γ1，γ2，…，γs，η1，η2，…，ηp｝是V1+V2的自由基，從而｛γ1，γ2，…，γs，η1，η2，…，ηp｝是V1+V2的標準基.

2）由定理2.1充分性的證明過程易知結論成立.

3）由于｛γ1，γ2，…，γs｝是V1的標準基，于是dimV1＝s.同理，dimV2＝p.又由1）的結論，于是dim（V1+V2）＝s+p.從而結論成立.

4）設α∈V1∩V2，于是存在ki，k′i，lj，l′j∈L，i∈s，j∈p，使得

因此

由于α∈V1+V2可唯一地由γ1，γ2，…，γs，η1，η2，…，ηp線性表示，所以

從而α＝0.