精確函數在IVIFS多準則決策中的應用

張燕麗, 占玉芬, 黃淑偉

(沈陽師范大學 軟件學院, 沈陽 110034)

0 引 言

為處理不精確、不確定信息決策問題,1986年,Atanassov[1]提出了直覺模糊集的概念。1989年,Atanassov等[2]提出了區間直覺模糊集的概念,使隸屬度和非隸屬度由一個精確數變為區間數,這個概念在處理不確定信息時更為靈活。在實際應用中,這更符合人們的偏好,并且直覺模糊或區間直覺模糊更容易提供信息。因此,直覺模糊集和區間直覺模糊集理論被頻繁地應用于決策領域[3-4]。基于區間直覺模糊集,Atanassov等[5-6]定義了其基本運算法則;Xu等[7-8]定義了區間直覺模糊集幾何算子,如:加權幾何集成算子(IIFWGA)、加權算術集成算子(IIFWAA),同時提出了一種基于精確函數和得分函數的多準則決策過程的直覺模糊集排序方法。此后,隨著精度函數理論與多準則決策理論相結合,研究逐步深入,區間直覺模糊集的排序對于處理不完整和模糊信息發揮了越來越重要的作用。2007年,Xu[7]提出了通過比較區間直覺模糊集的得分函數和精確函數值大小,進而對區間直覺模糊集進行排序的方法。但Xu的方法未全面考慮區間直覺模糊集涉及的信息,所以存在較多排序失效或與實際情況不符的情形。因此,很多學者先后提出了一些不同的得分或者精確函數[9-14],但都存在排序失效的情況以及不合理之處。

本文首先介紹IFS和IVIFS基礎知識;然后引入區間直覺模糊加權算術平均算子以及加權幾何平均算子;接著介紹現有的得分函數以及精確函數,并且分析其中的不合理性,提出新的精確函數;最后用實例說明新提出的精確函數的有效性、可行性。

1 區間直覺模糊集的基本知識

設X是一個給定的非空論域,其上的一個區間直覺模糊集A被定義為以下形式:

A={x,uA(x),vA(x)|x∈X}

(1)

(2)

Ac={x,vA(x),uA(x)|x∈X}

(3)

為簡化形式,記α=([a,b],[c,d])為一個區間直覺模糊集,其中0≤a≤b≤1, 0≤c≤d≤1, 0≤b+d≤1。區間直覺模糊加權算術平均算子[7]為

(4)

區間直覺模糊加權幾何平均算子為

(5)

公式(4)側重于群體影響,對個體對象的影響不敏感,相反,公式 (5)側重于個體影響。

眾多區間直覺模糊集學者先后提出了多種排序算法。2007年,Xu[7]依據得分函數以及精確函數給出了區間直覺模糊集的排序方法S(A) 和H(A),其A的得分函數S和精確函數H定義如下:

其中:S(A)∈[-1,1];H(A)∈[0,1]。通過得分函數進行排序,在得分函數相同的情況下,比較精確函數的大小進行最終的排序,但是這個方法未考慮到隸屬度區間和非隸屬度區間大小。

2008年,Ye[9]提出了精確函數M(A):

(8)

其中M(A)∈[-1,1]。Ye將區間直覺模糊值的猶豫度引入了精確函數,然而公式(8)中在精確函數隸屬度、非隸屬度大小不變的情況下,精確函數M與非隸屬度區間的長度無關。

2010年,Nayagam等[10]介紹了新的精確函數L(A):

(9)

2016年,Sahin[11]定義了精確函數K(A):

(10)

2017年,Zhang等[12]定義了精確函數F(A):

2019年,Priyadharsini等[13]定義一個精確函數P(A):

(12)

2 精確函數N(A)

結合Xu提出的得分函數S(A)和精確函數H(A),同時考慮到各方面信息對決策的影響以及隸屬度和非隸屬度的對比程度,本文提出一個新的精確函數N(A):

(13)

表1 各個排序方法的值Table 1 The values of each ranking method

3 決策步驟

綜上,本文提出一種基于改進的區間直覺模糊集排序方法的多準則決策算法,具體步如下:

步驟1 對于某多準則決策問題,設C為準則集,C={Cj|j=1,2,…,n},決策者給出候選方案集A,A={Aj|j=1,2,…,m},決策者對候選方案Ai∈A(i=1,2,…,m) 關于準則Cj∈C(j=1,2,…,n) 進行測度,得到屬性值為區間直覺模糊集rij=([aij,bij],[cij,dij])。其中,[aij,bij]表示決策者對于方案Ai關于準則Cj的支持程度的上界和下界,[cij,dij]表示決策者對于方案Ai關于準則Cj的不支持程度的上界和下界。將決策者給出的所有候選方案在各準則上的區間直覺模糊集組成一個決策矩陣為

R=(rij)m×n,i=1,2,…,m,j=1,2,…,n

步驟3 為突出所有準則對于方案的決策作用,根據步驟1得到的決策矩陣和步驟2的權重值集合的結果,利用區間直覺模糊加權算術平均算子(4),求出決策方案Ai的綜合屬性值ri(i=1,2,…,m),此步結合準則權重將決策矩陣轉成決策向量。其中

步驟4 利用本文提出的精確函數(13),依據步驟3得到的各備選方案的綜合屬性值ri求出各候選方案Ai(i=1,2,…,m)的精確函數值N(ri)。

步驟5 根據精確函數值N(ri)由大到小對備選方案排序,N(ri)值最高者所對應的備選方案為綜合考量后的最佳方案。

4 實例分析

某投資公司根據3個評價準則(風險分析C1,成長分析C2,環境影響分析C3),對4家可供選擇的企業(汽車公司A1,食品公司A2,IT公司A3, 武器裝備公司A4)進行評估。假設3個準則的權重分別為W=(0.35,0.25,0.40)。該實例被Herrera等[16]和Sahin等[11]用來證明新提出排序方法的有效性,本文所有計算函數均采用開源的統計建模語言R語言編寫。

決策者給出每個備選方案的區間直覺模糊集,如表2所示。

表2 備選公司在各準則的評價信息Table 2 Evaluation information of candidate companies in each criteria

利用公式(4)計算出4個備選公司的綜合屬性值分別為

利用新提出的精確函數公式(13),求出4個備選方案的精確函數值分別為N(r1)=0.375 0,N(r2)=0.718 0,N(r3)=0.672 0,N(r4)=0.725 0。因此,4個備選方案的排序為A4>A2>A3>A1,最優的方案為武器裝備公司A4。

表3是Ye等計算該實例的結果。只有Zhang等[12]的F(A) 排序結果與本文新提出的精確函數N(A)得出的排序一致。由表2可見,在指標C1的區間值模糊集中,A4的隸屬度比A1的隸屬度大0.1,同時A4的非隸屬度比A2的非隸屬度小0.1;反過來,在指標C3中,A2的隸屬度比A4的隸屬度大,然而C3指標的權重值僅僅只比C1大0.05。根據上述的分析,備選方案A4(武器公司)比A2(食品公司)的得分稍高,在綜合屬性值r2和r4中,r2的非隸屬度大于r4,隸屬度基本保持一致,所以可以得出備選方案A4優于A2。

表3 各文獻中的值和排序情況Table 3 The values and ranking in the literatures

5 結 語

本文針對現有的排序函數,包括得分函數和精確函數,分析了排序失效的情況或者不足之處后,提出了一個新的精確函數,采用側重于整體影響的區間直覺模糊加權算術平均算子對區間模糊集的相關信息進行集合,進而根據新的精確函數對備選方案進行排序。通過實例分析比較,本文所提出的精確函數能夠在一定程度上克服其他排序函數存在的不足,有利于做出更好的決策。