淺談定積分幾何應用第一課時教學設計

謝麗娜

摘 要：高等數學“定分幾何應用求面積”這一節微元法的教學內容比較抽象，本文利用情景導入法，創設問題，采用師生互動的教學模式去突破本節重難點。通過這樣的教學設計，達到了較好的教學效果。

關鍵詞：定積分;微元法;求平面面積;教學設計

一、教材分析

《定積分幾何應用》第一課時選自薛利敏主編《高等數學》第五章第六節。本節首先探索定積分解決實際問題的方法----- 微元法 ，進而利用微元法求解一些曲邊多邊形面積問題。由于本章第一節學習定積分概念時是通過實際問題引入的，因此本節課是前幾節的概括和升華。

二、學情分析

該課程的授課對象是機電一體化技術專業一年級的學生。具有一定的數學素養和團隊協作溝通能力。同時，已經掌握了不定積分概念及運算、定積分概念及幾何表示，定積分計算等，為本任務的學習打下了良好的基礎。但學生對抽象知識的理解能力相對較弱，學起微元法會很吃力，而且數形結合意識不強，利用微元法求解一些曲邊多邊形面積問題還是有一定的難度。

三、目標分析

1.知識目標

使學生掌握定積分微元法解決幾何問題的基本技巧，并使學生學會用微元法（元素法）去解決各種領域中的一些求平面多邊形的面積問題;

2.能力目標

培養學生數形結合的思想，以及觀察問題、提出問題等方面的能力。

3.情感目標

通過任務驅動，合作探究的學習過程，培養了學生思考、探究等方面的數學素養。

4.思政育人目標

激發了學生學習的興趣;增強了學生團隊合作意識;培養了吃苦耐勞的精神。

四、重點難點

重點：用微元法求平面圖形的面積;

難點：如何選擇積分變量和確定被積函數。

五、教法學法

教法： 任務驅動法和演示法;

學法：小組探究法和合作學習法。

六、教學過程

6.1? 創設情境，激發學生興趣（課件同步展示）

1）百歲山的廣告你們知道其中的寓意嗎？（教師講述）

2）心形線圍成的封閉圖形面積如何求得？（學生討論，教師總結）

求心形線面積不能像中學求圓、矩形、梯形等面積，可利用現有的公式，但我們知道定積分概念是通過求曲邊梯形面積過程獲得的，所以及時設疑：

3）你們能從定積分概念的獲得過程，探討一種求心形線面積的方法嗎？（學生討論，教師總結）

總結：

學習定積分概念時，是通過分割、取近似、求和、取極限這四步得來的，通過這個過程不難發現能用定積分解決的問題每次都用分割、取近似、求和、取極限過程非常復雜，而且關鍵是取近似、取極限，那么有沒有什么較好的方法去實現這兩步呢？（及時提出問題，引出微元法。）

6.2? 微元法（課件同步展示）

1）復習前面學習的微分，引出概念。

假如A是非均勻連續分布在區間上的量，在區間上任取一點x，我們把分布的量記為，則：

，

且在上? ，有：

利用微分定義，即有：

又由牛頓-萊布尼茨公式：

定義：這種將所求的量表示成微元積分的方法稱為微元法（元素法）

在實際應用時，我們根據具體問題選取一個適當的自變量（積分變量）例如x，若用 表示任一小區間（區間微元）上的窄曲邊梯形的面積，取點x處的函數值為高，dx為底的小矩形面積為（面積微元，也稱面積元素記為dA），所以：

即：

也即：

同學們，到此，你能講出利用微元法求平面圖形面積的步驟嗎？（進一步加深學生對微元法的理解，并為后面處理具體問題埋下伏筆。）（學生分組討論，教師和學生共同總結，）

總結：用微元法解決實際問題的關鍵步驟是：

第一步：在分布量區間上找一個小區間，找這個區間上的微元，即寫出;

第二步：微元積分。

6.3 解決課堂一開始提出的問題，首尾呼應，而且讓學生深刻感受數學課堂的邏輯性，應用性。（課件同步展示）

求心形線所圍成平面圖形的面積？（學生分組解答，教師最后點評）

總結：通過了解數學文化，進而解決實際問題，使得學生和老師共同感悟數學之美。

6.4 練習反饋，鞏固新知。（課件同步展示，學生分組練習，比速度，比正確率，激發學生學習興趣）

例1：求拋物線?? 與x軸所圍平面圖形的面積.

解：求拋物線與x軸所圍平面圖形如下圖，它與x軸交點為（0，0），（2，0），取x為積分變量，則? 在 任取一小區間 對應的面積微元為 ：

，

于是所求面積：

例2：求橢圓??? 與x軸所圍平面圖形的面積.

解：橢圓的參數方程??? ，由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積，于是所求面積

例3：求曲線 與直線 x=0，x=π所圍平面圖形的面積.

解：如圖所示，它們交點為? ，取x為積分變量，則 ，在取一小區間，對應的面積微元為，在任取一小區間 ，對應的面積微元為，于是所求面積：

例4：求擺線 一拱與直線 x軸所圍平面圖形的面積.

解：如圖所示，取x為積分變量，則 ，在上任取一小區間，則對應的面積微元為，

于是所求面積：

總結：用微元法求平面圖形面積具體解題步驟：

1）畫出草圖，求得曲線的交點坐標;

2）根據圖形特點選擇適當的積分變量;

3）把函數變形成積分變量的函數，從而確定被積函數和積分區間;

4）找微元;

5）計算定積分，求出面積。

（利用微元法去解決實際問題，讓學生充分體會到比“分割，取近似，求和，取極限”要方便得多。）

6.5 知識拓展。（培養學生發現問題，用數學去解決自己專業問題的能力。）

你們專業中遇到有求面積問題嗎？請舉出實例，并用微元法加以求解。

6.6 課堂結束語。（為學生學習數學指明方向，并且認識到數學與生活息息相關。）

定積分這個概念盡管抽象難懂，似乎與我們的生活相距甚遠，但通過本節課的學習，我們知道它可以解決生活中的一些實際問題，且作為一種工具，與我們的生活緊密相連。所以，數學無處不在，定積分無處不在。

6.7 教后反思。（“教然后知不足”，不僅有利于提高教學水平，而且認識也會提高到一個新的高度。）

課堂一開始同學們就對“一封另類的情書”產生濃厚的興趣，通過教師的講解引發他們對數學問題的思考，循序漸進，一環扣一環像畫布一樣展開課堂，最終完成了本節課的教學任務。

本節課教學流程符合學生的認知發展規律。通過教師設疑，教師與學生探討，學生分組討論，教師和學生共同總結等環節，讓學生輕松理解微元法，并學會了用微元法求不規則平面圖形的面積。

經驗始于實踐。在以后的課堂教學中，我將從以下幾個方面持續改進：一是從生活實例出發，將“枯燥乏味”的數學知識盡可能與實際生活充分聯系，讓學生身臨其境，感受到數學不僅來源于生活，而且用于生活;二是多了解學生的專業知識，課堂盡量引入專業實例，發掘數學為其專業服務的職責;三是充分利用網絡學習資源，盡可能發揮互聯網對學生學習的積極作用。

參考文獻：

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