芻議指向學生深度學習的生成課堂

林建彬

摘 要：正態分布雖是一個應用范圍廣泛的知識，但對學生而言，它仍是一個較為陌生的概念，學生沒有多少相應的知識、方法、思維的儲備作為基礎，尤其是由離散型跳躍到連續型，由有限質變到無限，對學生的挑戰極大，我們如何打造指向學生深度學習的生成課堂，這是值得我們深思和研究的。

關鍵詞：正態分布;深度學習;生成課堂;核心素養

教學背景：

前不久，筆者參加了晉江市姚立宏名師工作室一個活動，開展了一節研討課。在撰寫教學設計的過程中，筆者有一些體會。如何進行有效的合理的教學設計，去培養學生發現問題、分析問題、解決問題的能力，打造學生深度學習的生成課堂呢？這是值得我們深思和研究的。

教學設計

1.教材分析

在日常生活中，很多隨機現象服從或近似服從正態分布，正態分布的應用非常廣泛.在這之前學生已經學了離散型隨機變量的分布，而正態分布是連續型隨機變量，但對學生而言，它仍是一個較為陌生的概念，學生沒有多少相應的知識、方法、思維的儲備作為基礎，這是一個知識的跨越。學生需要了解總體密度曲線的產生過程，進而認識正態曲線，了解正態曲線的圖像特點;同時對正態分布的幾個具體概率數據要有所了解，雖然不需要證明，但要明白它們的概率意義。我認為較離散型隨機變量的分布而言，正態分布更廣泛存在于現實生活中，學生更能切身體會到，例題也無需刻意編造，如果能真正理解它，那么對生產生活很有指導意義。

2.教學目標

本節的教學重點是讓學生了解正態分布曲線的特點和正態分布曲線所表示的概率意義，認識數據0.6827、0.9545、0.9973，讓學生直觀感受正態分布的概率分布規律，會把正態曲線的特點以及正態分布的概率數據應用于簡單的實際問題當中.教學結果是希望學生能達到在實際問題中辨識某種現象是否符合正態分布，并用正態分布的知識去解決問題。

3.教學過程

環節1? 今天我們學習的是正態分布，對于分布我們已經接觸了超幾何分布、兩點分布和二項分布，這三種分布刻劃的都是離散型隨機變量的概率分布規律。但現實生活中還有大量問題中的隨機變量不是離散型的，它們的取值往往充滿某個區間甚至整個實軸，比如：班上同學的某次數學考試成績介于[35-143]，最低分35分，最高分143，但取一點的概率為0，比如：靠近兩極最低分35分和最高分143人很少概率非常低，甚至概率有的為0就像沒有同學剛好考到平均分86.5，但是靠近平均分86.5卻有很多。類似的還有同學的身高、體重、肺活量流水線零件的尺寸。我們稱這類隨機變量為連續型隨機變量，它的取值和概率都與區間有關且特點是越靠近兩極的人越少，越靠近平均數的人越多。

環節2? 這種現象我們可簡單地描述為中間高兩頭低，它是群體所呈現的一種中心極限效應。下面我們看一個具體例子：下面是晉江某學校高二年段某個班級50位同學在上學期末大泉州統考的數學成績：

根據已學的統計知識，可用頻率分布直方圖描述這組數據的分布，如圖所示。觀察圖形可知數學成績大致地分布在平均數83.9的兩側且呈現中間高兩頭低的特征

環節3? 隨著樣本數據量越來越大，分組越來越多，組距越來越小，由頻率的穩定性可知，頻率分布直方圖的輪廓就會越來越穩定，如圖所示

環節4? 當樣本容量無限增大，且分組的組距無限縮小時，那么頻率分布直方圖的輪廓就會越無限接近于一條光滑曲線，這條曲線我們就稱做總體密度曲線。

環節5? 高爾頓釘板電腦模擬實驗 如圖所示是一塊高爾頓釘板的示意圖，這個試驗是英國生物學家達爾文的表弟高爾頓設計的。在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃。從入口處放進一個直徑略小于兩顆釘子之間的距離的小圓玻璃球，當小圓球向下降落過程中，碰到釘子后皆以1/2的概率向左或向右滾下，于是又碰到下一層釘子。如此繼續下去，直到滾到底板的一個格子內為止。試驗證明：如果放入大量小球，則其最后所呈現的曲線幾乎總是類同的，就是中間高兩邊低左右對稱的古鐘形曲線

環節6 高爾頓FLASH演示

環節7?? 高爾頓釘板真實演示

環節8? 鐘形曲線的特點 由于鐘形曲線是由頻率分布直方圖演變而來的總體密度曲線，所以具備如下特點：①曲線都在x軸的上方，且兩側越來越低越無限接近x軸------非負性②曲線是左右對稱的，對稱軸為x=μ--------對稱性③曲線中間高，且方差σ2越小數據越集中就越高-----集中性④曲線與x軸圍成的面積總為1-------定值性

環節9? GGB探究μ和σ對鐘形曲線的影響

環節10 由函數知識可知，鐘形曲線是一個函數，這個函數一定存在解析式.在數學家的不懈努力下，找到了符合上面四個特征的解析式

環節11? 我們把這個函數 （其中參數μ用平均數來估計，σ用標準差來估計）為正態密度函數，稱這條鐘形曲線為正態密度曲線簡稱正態曲線，若隨機變量X的概率分布密度函數為，則稱隨機變量X服從正態分布，記為.特別地，當，時稱隨機變量X服從標準正態分布

環節12 對正態分布理論起重大貢獻的是德國數學家高斯，所以正態分布也叫高斯分布，為了紀念高斯在德國馬克幣上印有正態曲線的圖案

環節13? 經驗表明，一個隨機變量如果是眾多的，互不相干的，不分主次的偶然因素作用結果之和，它就會服從或近似服從正態分布.例如：數學成績受到很多因素的影響所以服從正態分布，一定條件下生長的小麥的穗長、株高、單位產量，還有某一地區同齡人的體重、肺活量、身高，正常生產條件下各種產品的質量指標，一般都會服從正態分布.但如果這些因素不是彼此獨立的，會互相加強影響，那么就不是正態分布也就不會呈現對稱特征。比如一個人能否掙大錢由多種因素決定：家庭、教育、工作、運氣等等這些因素都不是獨立的，會彼此加強。如果出生在上層，那么你就有更大的機會接受良好的教育、找到高薪的工作、遇見好機會，反之亦然。因此富豪的財富會大大地遠離平均數。出生家庭你改變不了，但你可以通過好好學習來接受更好的教育，找到高薪的工作獲得好的機會回報祖國的同時創造更多的財富也為下一代創造好的出生環境這樣你的家庭就進入了良性循環。

環節14 正態分布的簡單應用： 正態分布在概率和統計中占有重要的地位，廣泛存在于自然、生產和生活實際之中，探究正態分布的概率數據作為決策依據以便更好地指導我們的生產生活，這也是我們學習正態分布的意義所在。

例1：李明上學有時坐公交車，有時騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經數據分析得到：坐公交車平均用時30min，樣本方差為36;騎自行車平均用時 34min，樣本方差為4.假設坐公交車用時X和騎自行用時Y都服從正態分布.

（1）估計X，Y的分布中的參數;

（2）根據（1）中的估計結果，利用信息技術工具畫出X和Y的分布密度曲線;

（3）如果某天有38min可用，李明應選擇哪種交通工具？如果某天只有34min可用，又應該選擇哪種交通工具？請說明理由.

環節15 正態分布下的概率計算 ：在積分工具的幫助下我們就可以處理任意區間間的概率，即若，則

環節16? 若，則對給定的是一個只與k有關的定值.特別地，

環節17? 3σ原則的應用場景

由于服從正態分布的隨機變量在（-∞，+∞）內取值的概念為1，則在區間之外取值的概率只有0.0027，通常認為這種情況幾乎不可能發生.即正態變量的取值幾乎都在距三倍標準差之內，這就是正態分布的3σ原則.

（1）醫學上的很多參考數據就是根據正態分布來制定的，當過高或過低均屬異常這時就需要確定它的雙側范圍，比如白細胞數量;當僅過高為異常只需確定其上限即可，如尿鉛;當僅過低為異常只需要確定其下限，如智商、肺活量等。

（2）工業上在一批產品中隨機抽取一個零件，零件尺寸在以外是幾乎不可能發生的。一旦這種情況發生即零件尺寸超出范圍，我們就有理由認為生產中出現異常情況，需要停機檢查找出原因避免產出更多的次品。

（3）教育上也經常采用正態分布去評定老師的工作業績和學生的學習成績和制定錄取分數線。

環節18? 3σ原則的應用舉例

例2 福建省高考改革實施方案規定：2021年開始，高考總成績由語文、數學、外語3門必考科目和物理、歷史選一門，化學、生物、政治、地理四門選考科目自主選擇2門構成.其中2門選考科目的考生原始成績按照等級賦分規則納入高考錄取總成績，成績呈現方式按照一定比例分為A，B，C，D，E五個等級.參照正態分布的概率原則，確定各等級人數所占比例分別為15%，35%，35%，13%，2%，選考科目成績計入考生總成績時，將A至E等級內的考生原始成績，依照等比例轉換法則，分別轉換到[86，100]，[71，85]，[56，70]，[40，55]，[25，40]五個分數段，得到考生的等級成績.

某校高一年級共有學生1200人，為了給高一學生合理選科提供參考依據，對四門選考科目進行一次測試，其中生物考試的原始成績基本服從正態分布

（1）若生物考試原始成績，求該校高一年級學生生物原始成績在區間[79，97]的人數;

（2）考生甲得知自己的生物原始成績為95分，而考生乙告訴甲：“這次生物測試年級均分為75分，87分以上有27人.”請根據所學的統計學知識幫助甲同學辨別乙同學信息的真偽

環節19? 連續型隨機變量與離散型隨機變量不同，取值和概率都與區間有密切的聯系，因此不能像離散型隨機變量那樣用表格即概率分布列來刻劃概率分布規律，宜采用圖形即鐘形曲線來表示。所以要掌握正態分布就要熟悉正態曲線的解析式和圖形特征。

環節20 ：針對中南大學要求老師改低學生分數以符合正態分布這個事件，請同學結合我們所學的知識分析這種做法是否可取？

結束語

在教學中，以問題為指引，明確學生的思考方向; 以探究活動為平臺，促使學生深度參考教學與學習;創建自主課堂，營造輕松、愉悅的學習氛圍;在信息技術融合的幫助下，有效地突破難點，提高教學效率，實現了高效的生成課堂，達到了預設教學的目標。

參考文獻：

[1]?鮑健.?基于多媒體輔助教學下的正態分布教學設計與思考[J].?數學教學通訊，2017，8：7-10.

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