以方格為工具，把握度量本質(zhì)

○姜永春

《平行四邊形的面積》是學(xué)生學(xué)習(xí)了長方形、正方形的面積之后，進一步對二維圖形面積的度量進行深入的研究和探索。關(guān)于度量，史寧中教授在《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的若干問題》一書中指出：要度量就必須確定度量單位，而度量就是計算所要度量的圖形包含多少個度量單位。讓學(xué)生體會度量本質(zhì)是圖形測量教學(xué)的核心。但在實際教學(xué)中，卻存在著重公式輕本質(zhì)的現(xiàn)象，教師往往會忽視用面積單位度量的過程，而過早地進行形式化計算，導(dǎo)致學(xué)生無法深入理解面積公式背后的道理。

那么，我們?nèi)绾紊钊霚\出地讓學(xué)生體會度量的本質(zhì)，培養(yǎng)他們的度量意識呢？

【教學(xué)回放】

師：同學(xué)們，觀察這兩個花壇，猜一猜，哪個花壇的面積大一些呢？

生：長方形花壇面積大。

生：平行四邊形花壇面積大。

生：我認(rèn)為兩個花壇的面積一樣大。

師：大家觀察得很仔細(xì)，都作出了自己的猜測。假如這個長方形的花壇長是6m，寬是4m，怎樣計算出它的面積呢？

生：因為長方形的面積=長×寬，可以得到長方形花壇的面積是6×4=24（米2）。

師：平行四邊形面積的計算方法我們以前沒學(xué)過，請同學(xué)們大膽猜測，你認(rèn)為該怎樣計算呢？

【診斷分析】

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在第一學(xué)段要求，結(jié)合生活實際，經(jīng)歷用不同方式測量物體長度的過程，體會建立統(tǒng)一度量單位的重要性。這種要求對面積和體積的單位也同樣適用。本教學(xué)片段，教師用兩個花壇的情境引入，雖然調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，但數(shù)學(xué)意義上的測量是要計算所要度量的圖形包含多少個度量單位，是要對圖形指定一個合適的數(shù)，在這樣的視角下，度量的數(shù)學(xué)意義被淹沒了。為了更好地讓學(xué)生體會度量的本質(zhì)，體會度量單位的重要性，我們不妨直接從面積單位引入。

【教學(xué)重構(gòu)】

師：同學(xué)們，這里有兩條線段，我們怎么知道它們各自有多長呢？

生：用尺子去量一量。

師：對，尺子是測量長度的工具。

師：仔細(xì)看，現(xiàn)在線段運動起來變成了面，我們用什么工具來測量面的大小呢？同學(xué)們可回想學(xué)習(xí)過的長方形面積是怎么得到的。

生：那時我們用小方格來求長方形的面積。

生：用長乘寬就得到了面積。

（教師在二維圖形中加上方格。）

師：對，方格是測量面積的工具，每個方格就是一個面積單位?？磮D說說長方形的長、寬和面積在方格里分別表示什么呢？

生：長方形的長表示一行多少個方格，寬表示一共多少行，乘積就表示一共多少個方格，也就是長方形的面積。

師：看圖接著說明正方形面積公式“邊長×邊長”中兩個邊長又表示什么呢？

生：一個邊長表示一行多少個方格，另一個邊長表示一共多少行，乘積就是正方形的面積。

師：對，要想求一個圖形的面積，只要想辦法計算出它包含多少個面積單位就可以了。其他圖形的面積是否也能這樣來研究呢？今天我們來學(xué)習(xí)另外一個平面圖形——平行四邊形的面積。

圖形大小的測量皆有各自的測量工具（一維長度的測量工具是刻度尺，二維面積的測量工具是大小不同的方格，三維體積的測量工具是大小不同的方塊）以及各自的度量單位。在長方形面積教學(xué)時，學(xué)生用1平方厘米的面積單位去覆蓋，已經(jīng)明白長和寬分別表示一行多少個小正方形和一共多少行，積就是多少個面積單位，也就是所測量的長方形的面積。但后來的求面積變成了用一把尺子去量長和寬，量面積又變成了量長度，造成了學(xué)生在做題目時，周長和面積經(jīng)常搞混。

為了讓學(xué)生深刻體會面積是用面積單位來刻畫的，本教學(xué)片段從一維的線運動到二維的面，讓學(xué)生體驗面積單位“方格”的含義。之后在方格紙上復(fù)習(xí)長方形、正方形面積計算公式所表示的意義，長乘寬以及邊長乘邊長的本質(zhì)皆是：一行多少個面積單位×一共多少行=圖形所包含的面積單位個數(shù)，也就是所測圖形的面積。這樣，學(xué)生既體會了度量單位的重要性，又加深了對“面積單位的累加”度量本質(zhì)的感知，同時對新知平行四邊形面積的探索有了方向上的指引。

【教學(xué)回放】

師：同學(xué)們手中都有一個平行四邊形，我們現(xiàn)在不知道它的面積如何計算，能不能把它轉(zhuǎn)化成我們已學(xué)過的圖形呢？

生：能！可以轉(zhuǎn)化成學(xué)過的長方形。

師：四人小組合作，用課前準(zhǔn)備好的平行四邊形卡片和剪刀，把平行四邊形剪拼成長方形吧。

（學(xué)生活動后展示兩種轉(zhuǎn)化方法。）

師：請大家認(rèn)真觀察，轉(zhuǎn)化前平行四邊形的面積、底和高分別與轉(zhuǎn)化后的長方形的面積、長和寬有怎樣的聯(lián)系？

生：長方形的長等于平行四邊形的底，長方形的寬等于平行四邊形的高，它們的面積相等。

生：長方形的面積等于長乘寬，平行四邊形的面積等于底乘高。

【診斷分析】

這一教學(xué)片段中淡化了面積單位的使用，而把教學(xué)重點只放在如何轉(zhuǎn)化成長方形的轉(zhuǎn)化思想的滲透，以及尋找圖形各元素之間的關(guān)系并推理得到計算公式上。有的教師引導(dǎo)學(xué)生用面積單位小方格去測量，也只是按“不滿一格的都按半格計算”來解決，這樣的做法顯然遠離了度量的本質(zhì)。這里，應(yīng)該讓學(xué)生體會“面積單位的累加”以及“面積測量的實質(zhì)是要對某些平面圖形指定一個合適的數(shù)”。

【教學(xué)重構(gòu)】

（教師事先發(fā)放給學(xué)生畫有平行四邊形的邊長為1厘米的方格紙。）

師：請同學(xué)們看平行四邊形的面積能否通過數(shù)方格得到呢？

生：沒辦法數(shù)，因為兩邊不是整格。

生：可以把平行四邊形左邊剪掉一部分補到右邊，變成能數(shù)的長方形。

師：同學(xué)們想辦法把平行四邊形轉(zhuǎn)化成能數(shù)的圖形，并求出它的面積。

（學(xué)生活動后展示兩種轉(zhuǎn)化方法。）

生：我們通過圖很清晰地看出，長方形的長和平行四邊形的底同樣是6厘米，長方形的寬和平行四邊形的高都是4厘米。又因為長方形的面積=長×寬，所以平行四邊形的面積=底×高，也就是6×4=24（平方厘米）。

生：我們還從轉(zhuǎn)化的過程中體會到平行四邊形只是把剪下的一部分挪了個位置，面積大小沒變，同樣能得到平行四邊形的面積=底×高。

師：現(xiàn)在同學(xué)們推導(dǎo)出了平行四邊形的面積，誰能說說公式中的底、高和面積在方格中分別表示什么？

生：底表示一行多少個方格，高表示一共多少行，面積就是用一行多少個方格乘一共多少行，求出多少個方格，平行四邊形的面積就是多少平方厘米。

師：對，無論是平行四邊形，還是長方形和正方形，它們的面積公式雖然都是長度的乘積，但它們所表示的都是一行多少個面積單位乘一共多少行，也就是一共包含多少個面積單位。

關(guān)于規(guī)則圖形的度量，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在第二學(xué)段指出，探索并掌握三角形、平行四邊形和梯形的面積公式，并能解決簡單的實際問題。如何探索？三年級教學(xué)長方形的面積時，把重點放在對度量單位的擺放和尋找規(guī)律數(shù)出度量單位的個數(shù)上，而平行四邊形作為對二維圖形面積的第二次探索（正方形的面積是根據(jù)與長方形的關(guān)系得到的），筆者認(rèn)為度量單位的使用是不可或缺的。

這一教學(xué)片段，把方格也就是面積的度量單位貫穿教學(xué)始終。首先讓學(xué)生在方格紙上數(shù)平行四邊形的面積，數(shù)不出來就要想辦法轉(zhuǎn)化成能數(shù)的圖形，這也是解決面積測量的基本方法。在方格紙上，學(xué)生把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，位置不管怎么變化，但是面積單位的總和是不變的，運用了面積的運動不變性；一個單位方格的面積是1，它就是一個標(biāo)準(zhǔn)，即正則性；數(shù)方格的過程就蘊含了面積的有限可加性，最后得出平行四邊形的面積公式，即求面積單位總個數(shù)的簡便方法，同時也設(shè)法給了面積一個確定的數(shù)與之相對應(yīng)。之后，又通過對平行四邊形、長方形、正方形面積的梳理，它們的本質(zhì)都指向：一行多少個面積單位×一共多少行=面積。這樣就把面積測量的基本思想貫通起來，使學(xué)生體會到不管測量什么圖形的面積，其本質(zhì)皆為“度量單位個數(shù)累加的結(jié)果”。度量單位是一切圖形測量的本源，而這種思想和方法為今后學(xué)習(xí)其他平面圖形面積的測量奠定了基礎(chǔ)。