由數學問題2268引發的再思考

李永利

(河南質量工程職業學院 467001)

1 引言

《數學通報》2015年10月號問題2268[1]：試證明

原解答利用正弦、余弦的積化和差等公式及一定的運算技巧給出了該恒等式的證明．文[2]、文[3]相繼對該問題進行了探討，從不同角度給出了該等式的精彩解答，文[2]提出了兩個猜想，文[3]還提出了能否將該恒等式一般化的問題.近期，文[4]給出該式一個更為直接的證明，將其進行一般化，利用sin(4n-1)α和sin(4n+1)α所關聯的方程證明了文[2]提出的兩個猜想.受其啟發，本文將對該問題進一步進行拓廣，給出三角函數正弦的奇倍角公式所關聯的一元奇次方程的解，作為推論利用韋達定理給出文[2]兩個猜想的簡單證明，并在文末提出一個有關組合系數A2k的猜想.

2 主要結果

證明令x=sinα，y=cosα，則由平方關系可知y2=1-x2.于是對于正整數n，由棣模弗定理和二項式定理及i2=-1可知

cos(2n+1)α+isin(2n+1)α

比較上式兩邊的虛部可得

sin(2n+1)α

(2)

設(2)式左端為f(x)，則f(x)是一個關于x的2n+1次多項式，其偶次冪的系數全部為0.

令sin(2n+1)α=0，則(2n+1)α=kπ，

至此，定理1得證.

(k=0,1,2,3,…,n)，則方程A0tn-A2tn-1+A4tn-2-…+(-1)n-1A2(n-1)t

證明在方程(1)中，令t=x2，則方程(1)變為方程(3)，于是由定理1可知定理2的結論成立.

推論1設n為正整數，則

(4)

(5)

(6)

證明在定理2中，利用組合數的性質，經計算可知

于是，由定理2和韋達定理及以上三式可得

故(4)，(5)兩式成立， 從而(6)式也成立.

注1(4)，(5)兩式和(6)式分別是文[4]中的定理1和定理2，(6)式和(5)式分別是文[2]中的提出的猜想1和猜想2.

推論2設n為正整數，則

(7)

(8)

(9)

注2(7)，(8)，(9)三式見文[4]定理的證明過程，它們分別是(4)，(5)，(6)三式當n取2n-1時的特例.

推論3設n為正整數，則

(10)

(11)

(12)

注3(10)，(11)，(12)三式見文[4]定理的證明過程，它們分別是(4)，(5)，(6)三式當n取2n時的特款.

推論4設n為正整數，則

(13)

(14)

(15)

注4因sin2α=1-cos2α，故(13)式是(4)式的變形，(14)、(15)兩式分別是(13)式當n取2n-1和n取2n時的特殊情形.

推論5設n為正整數，則

(16)

證明在方程(2)中，令sin(2n+1)α=1，此時方程(2)變為方程(17)，則

取k=0,±1,±2,…,±n，并記

α-n<α-(n-1)<…<α-1<α0<α1<…<αn-1<αn，

x-n

定理3得證.

在方程(2)中，令sin(2n+1)α=-1，此時方程(2)變為方程(18)，仿照定理3的證明可給出定理4的證明，證明過程此處從略.

進一步，我們可將定理3和定理4進行拓廣，得到如下更一般的結論：

(其中，k=0,±1,±2,…,±n)．

由定理5和韋達定理可得如下恒等式：

推論6設n為正整數，α為實數，則

(20)

(21)

注6關于A2k的表達式，除A0=4n外，筆者提出如下猜想，供各位同仁研討.

猜想設n為正整數，