涉及三角形中兩角差正割的不等式

王 文 陳亞平

(1.合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)編輯部 230601；2.安徽省合肥市南門小學(xué)上城國際分校 230061)

三角形ABC中，R,r分別為外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑，匡繼昌在文[1,P262.173]收錄了尹華炎和張小明的一個結(jié)果如下:

但沒有下界估計，我們得到如下一個極為對稱的上下界估計.

定理在三角形ABC中，R,r分別為外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑，則有

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)三角形為等邊三角形.

(2)此不等式也可看成Euler不等式的一個隔離.

證明由積化和差公式和正弦定理可得

(1)

應(yīng)用算術(shù)幾何平均不等式

由Cauchy不等式

及公式a+b+c=2p，abc=4Rrp，

(2)

并應(yīng)用文獻[1,P240, 11]中

則

(3)

從證明過程中每個不等號成立的條件可知等號成立當(dāng)且僅當(dāng)三角形是等邊三角形.

下面證明左端成立.

由式(1)應(yīng)用算數(shù)幾何平均不等式可得

(4)

所以

(5)

從證明過程中每個不等號成立的條件可知等號成立當(dāng)且僅當(dāng)三角形是等邊三角形.再由(3)和(5)即得結(jié)論成立.