一類根與系數關系不對稱解析幾何題解法探究與原因探析

王弟成

(江蘇省蘇州實驗中學 215011)

1 困惑

在解析幾何問題求解中多次遇到韋達定理不好用的問題，主要是兩根之和用不上，求解過程中會出現形如2x1-3x2不對稱結構形式．面對這樣結構如何解決？又為什么會出現這種情況呢？遇到問題解決問題，是提升學生核心素養的最好契機，本文對此進行探究．

(1)若QF=2FP，求直線l的方程；

(2)設直線AP，BQ的斜率分別為k1，k2．是否存在常數λ，使得k1=λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

解(1)略.(2)設P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

直線l的方程為x=my+1，代入橢圓方程，

得(4+3m2)y2+6my-9=0，

x1=my1+1，x2=my2+1，所以

證明設直線l方程為y=k(x-4)，

點P(x1,y1)，Q(x2,y2)．

得(1+4k2)x2-32k2x+64k2-4=0，

則點S的橫坐標滿足方程

代入y1=k(x1-4)，y2=k(x2-4)，得

分子出現-4x1+2x2，分母出現-2x1-4x2，

2 探求

2.1 化為變量k

兩題的本質是相同的，結構相似，以案例2為例進行探究．

2.2 化積為和

所以點S在定直線x=1上．

2.3 消常數

即8=5(x1+x2)-2x1x2．所以

3 追因

這樣探尋到解決此類問題的多種方法，找到造成根與系數關系不能用的原因．在解決此類問題時結合橢圓性質，用同一個頂點(相同點)表示相關直線的斜率，自然出現根與系數關系正適合情況．案例1亦可用上述方法解決．

4 拓展

3.如圖，過點E(4,0)的直線l與圓C:x2+y2=4交于P，Q兩點，圓C與x軸交于A，B，連結AP，BQ，AP，BQ交于點S，求證：點S在一條定直線上．